2024屆云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在四面體中，，，，且，，則等于（）A. B.C. D.2．若關(guān)于一元二次不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．下列關(guān)于斜二測(cè)畫(huà)法所得直觀圖的說(shuō)法中正確的有（）①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③菱形的直觀圖是菱形；④正方形的直觀圖是正方形.A.① B.①②C.③④ D.①②③④4．已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)于任意的，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A. B.C. D.5．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X~B(4，)，（）A. B.C. D.6．120°的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知，，，則CD的長(zhǎng)為()A. B.C. D.7．拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P，R為C上位于F右側(cè)的兩點(diǎn)，若存在點(diǎn)Q使四邊形PFRQ為正方形，則（）A. B.C. D.8．已知是橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最大值為（）A. B.13C.3 D.59．已知關(guān)于的不等式的解集是，則的值是（）A. B.5C. D.710．已知函數(shù)，，若對(duì)于任意的，存在唯一的，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A（e，4） B.（e，4]C.（e，4） D.（，4]11．下列曲線中，與雙曲線有相同漸近線是（）A. B.C. D.12．從集合中任取兩個(gè)不同元素，則這兩個(gè)元素相差的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在四棱錐中，O是AD邊中點(diǎn)，底面ABCD..在底面ABCD中，，，，.（1）求證：平面POC；（2）求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.14．已知直線與之間的距離為，則__________15．已知數(shù)列中，，，則_______.16．已知函數(shù)，則的值為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心C在直線上（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)向圓C引兩條切線PD，PE，切點(diǎn)分別為D，E，求切線PD，PE的方程，并求弦DE的長(zhǎng)18．（12分）如圖，在正四棱錐中，為底面中心，，為中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）求：（?。┲本€到平面的距離；（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值19．（12分）自我國(guó)爆發(fā)新冠肺炎疫情以來(lái)，各地醫(yī)療單位都加緊了醫(yī)療用品的生產(chǎn)．某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計(jì)了口罩生產(chǎn)車間每名工人的生產(chǎn)速度，并將所得數(shù)據(jù)分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．已知前四組的頻率成等差數(shù)列，第五組與第二組的頻率相等（1）估計(jì)口罩生產(chǎn)車間工人生產(chǎn)速度的中位數(shù)（結(jié)果寫成分?jǐn)?shù)的形式）；（2）為了解該車間工人生產(chǎn)速度是否與他們的工作經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，現(xiàn)從車間所有工人中隨機(jī)抽樣調(diào)查了5名工人的生產(chǎn)速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數(shù)據(jù)如下表：工齡x（單位：年）4681012生產(chǎn)速度y（單位：件/小時(shí)）4257626267根據(jù)上述數(shù)據(jù)求每名工人的生產(chǎn)速度y關(guān)于他的工齡x的回歸方程，并據(jù)此估計(jì)該車間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式為：，20．（12分）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，，且，求a.22．（10分）已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)為，是上一點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形（1）證明：是中點(diǎn)；（2）求點(diǎn)到平面的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】解：由題知，故選：B.2、B【解析】結(jié)合判別式求得的取值范圍.【詳解】由于關(guān)于的一元二次不等式的解集為，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B3、B【解析】根據(jù)斜二側(cè)直觀圖的畫(huà)法法則，直接判斷①②③④的正確性，即可推出結(jié)論【詳解】由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知：三角形的直觀圖仍然是三角形，所以①正確；根據(jù)平行性不變知，平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以②正確；根據(jù)兩軸的夾角為45°或135°知，菱形的直觀圖不再是菱形，所以③錯(cuò)誤；根據(jù)平行于x軸的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的長(zhǎng)度減半知，正方形的直觀圖不再是正方形，所以④錯(cuò)誤.故選：B.4、B【解析】由等差數(shù)列基本量法求出通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)相消法求得，求出的最大值，然后利用關(guān)于的不等式是一次不等式列出滿足的不等關(guān)系求得其范圍【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則由已知得，解得，∴，，∴，易知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，∴若對(duì)于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查不等式恒成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，不等式恒成立首先轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的單調(diào)性與最值，其次轉(zhuǎn)化為一次不等式恒成立5、D【解析】利用二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式，計(jì)算出正確選項(xiàng).【詳解】∵隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X~B(4，)，∴.故選：D.6、B【解析】由，把展開(kāi)整理求解【詳解】由已知可得：，，，，＝41，∴.故選：B7、A【解析】不妨設(shè)，不妨設(shè)，則，利用拋物線的對(duì)稱性及正方形的性質(zhì)列出的方程求得后可得結(jié)論【詳解】如圖所示，設(shè)，不妨設(shè)，則，由拋物線的對(duì)稱性及正方形的性質(zhì)可得，解得（正數(shù)舍去），所以故選：A8、B【解析】利用橢圓的定義求解.【詳解】如圖所示：，故選：B9、D【解析】由題意可得的根為，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程組可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，所以方程的根為，所以，得，所以，故選：D10、B【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可求出和的值域，結(jié)合已知條件可得，，從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：g（x）=x2ex的導(dǎo)函數(shù)為g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，當(dāng)時(shí)，，由時(shí)，，時(shí)，，可得g（x）在[–1，0]上單調(diào)遞減，在（0，1]上單調(diào)遞增，故g（x）在[–1，1]上的最小值為g（0）=0，最大值為g（1）=e，所以對(duì)于任意的，．因?yàn)殚_(kāi)口向下，對(duì)稱軸為軸，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在[，2]上的值域?yàn)閇a–4，a]，且函數(shù)f（x）在，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，在（，2]上，函數(shù)單調(diào)遞減．由題意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.本題的難點(diǎn)是這一條件的轉(zhuǎn)化.11、B【解析】求出已知雙曲線的漸近線方程，逐一驗(yàn)證即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為.故選：B12、B【解析】一一列出所有基本事件，然后數(shù)出基本事件數(shù)和有利事件數(shù)，代入古典概型的概率計(jì)算公式，即可得解.【詳解】解：從集合中任取兩個(gè)不同元素的取法有、、、、、共6種，其中滿足兩個(gè)元素相差的取法有、、共3種.故這兩個(gè)元素相差的概率為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由題意，證明BCOA是平行四邊形，從而可得，然后根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明；（2）證明BCDO是平行四邊形，從而可得，由題意，可建立以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABP的法向量，利用向量法即可求解直線PC與平面PAB所成角的正弦值為.【小問(wèn)1詳解】證明：由題意，又，所以BCOA是平行四邊形，所以，又平面POC，平面POC，所以平面POC；【小問(wèn)2詳解】解：，，所以BCDO是平行四邊形，所以，，而，所以，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)平面ABP的一個(gè)法向量為，則，取x=1，則，，所以，設(shè)直線PC與平面PAB所成角為，則，所以直線PC與平面PAB所成角的正弦值為.14、或##或【解析】利用平行直線間距離公式構(gòu)造方程求解即可.【詳解】方程可化為：，由平行直線間距離公式得：，解得：或.故答案為：或.15、【解析】根據(jù)遞推公式一一計(jì)算即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，故答案為?6、【解析】先求出的導(dǎo)函數(shù)，然后將代入可得答案.【詳解】，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）或，【解析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)圓心在直線上及圓過(guò)兩點(diǎn)建立方程求解即可；（2）分切線的斜率存在與不存在分類討論，利用圓心到切線的距離等于半徑求解，再根據(jù)圓的切線的幾何性質(zhì)求弦長(zhǎng)即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓心，因?yàn)閳A心C在直線上，所以①因?yàn)锳，B是圓上的兩點(diǎn)，所以，所以，即②聯(lián)立①②，解得，所以圓C的半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】若過(guò)點(diǎn)P的切線斜率不存在，則切線方程為若過(guò)點(diǎn)P的切線斜率存在，設(shè)為k，則切線方程為，即由，解得，所以切線方程為綜上，過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程為或設(shè)PC與DE交于點(diǎn)F，因?yàn)?，，PC垂直平分DE，所以，所以所以18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）（i）；（ii）.【解析】（1）連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（2）（i）利用空間向量法可求得直線到平面的距離；（ii）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：連接，則為的中點(diǎn)，且，在正四棱錐中，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，因?yàn)?，則，又因?yàn)槠矫?，所以，平?【小問(wèn)2詳解】解：（i），所以，直線到平面的距離為.（ii），則，因此，直線與平面所成角的正弦值為.19、（1）（2）80件/小時(shí)【解析】（1）先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求出各組頻率，再利用頻率分布直方圖求中位數(shù)；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回歸直線方程，再進(jìn)行預(yù)測(cè)其生產(chǎn)速度.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)前4組的頻率分別為，，，，公差為，由頻率分布直方圖，得，即，解得，則，，所以中位數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意，得，，由所給公式，得，，所以回歸直線方程為，則當(dāng)時(shí)，，即估計(jì)該車間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度為80件/小時(shí).20、（1），；（2）.【解析】（1）由，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得、的值，即可得的通項(xiàng)公式，再根據(jù)列出關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程組，解方程組可得與的值，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1）可得，根據(jù)錯(cuò)位相減法，利用等比數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【詳解】（1）等比數(shù)列的公比，所以，設(shè)等差數(shù)列公差為因?yàn)?，，所以，即所以?）由（1）知，，因此從而數(shù)列的前項(xiàng)和,,,兩式作差可得,,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)、等比數(shù)列的求和公式以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用“錯(cuò)位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解,在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)已知條件，運(yùn)用余弦定理化簡(jiǎn)可求出；（2）由可求出，利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求出，再利用正弦定理即求.【小問(wèn)1詳解】）∵且，∴，∴，∴，∵，