第四講數列求和課標要求考情分析探索并掌握等差數列、等比數列的前n項和的公式1.從近兩年的高考試題來看，對等差、等比數列的求和，以考查公式為主；對非等差、非等比數列的求和，主要考查分組求和法、裂項相消法、錯位相減法等.2.題型既有選擇題、填空題，又有解答題，屬中檔題目1.特殊數列的求和公式(1)等差數列的前n項和公式：2.數列求和的幾種常用方法(1)分組轉化法把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解.(2)裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.(3)錯位相減法

如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，這個數列的前n項和可用錯位相減法求解.(4)倒序相加法

如果一個數列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解.號；結論中形如an，an＋1的式子應進行合并.【名師點睛】(1)在應用錯位相減法時，注意觀察未合并項的正負(2)在應用裂項相消法時，要注意消項的規(guī)律具有對稱性，即前剩多少項則后剩多少項.題組一走出誤區(qū)1.(多選題)下列命題正確的是()答案：BCD答案：A題組三真題展現答案：A

5.(2020年江蘇)設{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列.已知數列{an＋bn}的前n項和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，則d＋q的值是________.答案：4考點一分組轉化法求和[例1](2021年慈利期中)已知{an}是等差數列，{bn}是等比數列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通項公式；(2)設cn＝an＋bn，求數列{cn}的前n項和.

【題后反思】

(1)若數列{cn}的通項公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數列，可采用分組求和法求數列{cn}的前n項和.其中數列{an}，{bn}是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求{an}的前n項和.【變式訓練】(2021年南昌一模)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5.(1)求數列{an}的通項公式；(2)令bn＝(－1)n－1an，求數列{bn}的前2n項和T2n.解：(1)設等差數列{an}的公差為d，由S3＋S4＝S5可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5，∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1).∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(4n－3)－(4n－1)＝(－2)×n＝－2n.

考點二裂項相消法求和【題后反思】

(1)利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項.

(2)將通項公式裂項后，有時候需要調整前面的系數，使裂開的兩項之差和系數之積與原通項公式相等.【變式訓練】考點三錯位相減法求和[例3](2020年全國Ⅰ)設{an}是公比不為1的等比數列，a1

為a2，a3

的等差中項.(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求數列{nan}的前n項和.解：(1)設{an}的公比為q，由題意得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2.所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.故{an}的公比為－2.【規(guī)律方法】(1)一般地，如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法.(2)用錯位相減法求和時，應注意：①要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形.②在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式.【變式訓練】已知等差數列{an}滿足：an＋1>an(n∈N*)，a1＝1，該數列的前三項分別加上1,1,3后成等比數列，an＋2log2bn＝－1.(1)分別求數列{an}，{bn}的通項公式；(2)求數列{an·bn}的前n項和Tn.

⊙并項法求和及倒序相加法求和

[例4](1)(2020年全國Ⅰ)數列{an}滿足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16項和為540，則a1＝______.

解析：an＋2＋(－1)nan＝3n－1，

當n為奇數時，an＋2＝an＋3n－1；當n為偶數時，an＋2＋an＝3n－1.答案：7設數列{an}前n項和為Sn，S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16＝a1＋a3＋a5＋…＋a15＋(a2＋a4)＋…＋(a14＋a16)＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102)＋(a1＋140)＋(5＋