三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)專題分析近幾年高考降低了對三角變換的考查要求，而加強(qiáng)了對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因為函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)，又是解決生產(chǎn)實際問題的工具，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。在復(fù)習(xí)時要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來，即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。在求解關(guān)于y＝Asin(x＋)(A＞0，＞0)的問題時合理利用換元的思想可以清晰解題的思路。其中在解決圖形的變換問題是這一部分的難點(diǎn)。教學(xué)目標(biāo)與課時計劃1．掌握三角函數(shù)y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象性質(zhì)：定義域、值域(最值)、單調(diào)性、周期性、奇偶性、對稱性等．2．會用五點(diǎn)法畫出函數(shù)y＝sinx，y＝cosx，y＝Asin(x＋)(A＞0，＞0)的簡圖，掌握圖象的變換方法，并能解決相關(guān)圖象性質(zhì)的問題．3．本節(jié)內(nèi)容應(yīng)與三角恒等變換相結(jié)合，通過變換，整理出三角函數(shù)的解析式，注意使用換元法，轉(zhuǎn)化為最基本的三個三角函數(shù)y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，結(jié)合三角函數(shù)圖象，綜合考察三角函數(shù)性質(zhì)。專題解讀一、知識要點(diǎn)1．函數(shù)y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象性質(zhì)．性質(zhì)y＝sinxy＝cosxy＝tanx一周期簡圖最小正周期2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z上是增函數(shù)減區(qū)間[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z對稱性對稱軸x＝kπ，k∈Z對稱中心對稱中心(kπ，0)，k∈Z2．三角函數(shù)圖象是研究三角函數(shù)的有效工具，應(yīng)熟練掌握三角函數(shù)的基本作圖方法．會用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y＝Asin(x＋)(A＞0，＞0)的簡圖．3．三角函數(shù)是描述周期函數(shù)的重要函數(shù)模型，通過三角函數(shù)體會函數(shù)的周期性．函數(shù)y＝Asin(x＋)(≠0)的最小正周期：；y＝Atan(x＋)(≠0)的最小正周期：．同時應(yīng)明確三角函數(shù)與周期函數(shù)是兩個不同的概念，帶三角函數(shù)符號的函數(shù)不一定是周期函數(shù)，周期函數(shù)不一定帶三角函數(shù)符號．二、例題例1求下列函數(shù)的定義域(1)；(2).解：(1)cosx≠0，定義域為(2)sin2x≥0，由正弦函數(shù)y＝sinx圖象(或利用在各象限中和軸上角的正弦函數(shù)值的符號可得終邊在第一二象限，x軸，y軸正半軸上)可得2k≤2x≤2k＋，定義域為例2求下列函數(shù)的最小正周期(1)；(2)；；(4)y＝2sin2x＋2sinxcosx；(5)y＝｜sinx｜．解：(1)．(2)．(3)，所以.(4)，所以T＝．(5)y＝｜sinx｜的圖象為下圖，可得，T＝．【評析】(1)求三角函數(shù)的周期時，通常利用二倍角公式(降冪升角)和輔助角公式先將函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，然后用(正余弦)或(正切)求最小正周期．(2)對于含絕對值的三角函數(shù)周期問題，可通過函數(shù)圖象來解決周期問題．例3(1)已知函數(shù)f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，則f(x)是()A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)(2)若函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋)為R上的奇函數(shù)，則＝______．(3)函數(shù)的圖象()解：(1)周期為，偶函數(shù)，選D(2)f(x)為奇函數(shù)，f(－x)＝－f(x)，所以2sin(－2x＋)＝－2sin(2x＋)對x∈R恒成立，即sincos2x－cossin2x＝－sin2xcos－cos2xsin，所以2sincos2x＝0對x∈R恒成立，即sin＝0，所以＝k，k∈Z．【評析】三角函數(shù)的奇偶性問題可以通過奇偶性定義以及與誘導(dǎo)公式結(jié)合加以解決．如在本題(2)中除了使用奇偶性的定義之外，還可以從公式sin(x＋)＝－sinx，sin(x＋2)＝sinx得到當(dāng)＝2k＋或＝2k＋，k∈Z，即＝k，k∈Z時，f(x)＝2sin(2x＋)可以化為f(x)＝sinx或f(x)＝－sinx，f(x)為奇函數(shù)．(3)分析：首先考慮奇偶性，f(－x)＝lncos(－x)＝lncosx＝f(x)，為偶函數(shù)，排除掉B，D選項考慮(0，)上的函數(shù)值，因為0＜cosx＜1，所以lncosx＜0，應(yīng)選A【評析】處理函數(shù)圖象，多從函數(shù)的定義域，值域，奇偶性，單調(diào)性等方面綜合考慮．例4求下列函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間(1);(2)；(3)；(4)解：(1)y＝cosx的增區(qū)間為[2k＋，2k＋2]，k∈Z，由可得的增區(qū)間為，(2)先求出函數(shù)的增區(qū)間然后與區(qū)間[－，0]取交集得到該函數(shù)的增區(qū)間為和，(3)，轉(zhuǎn)化為問題(1)，增區(qū)間為(4)原函數(shù)變?yōu)?，需求函?shù)的減區(qū)間，，得，的增區(qū)間為【評析】處理形如y＝Asin(x＋)＋k，(＜0)的函數(shù)單調(diào)性時，可以利用誘導(dǎo)公式將x的分?jǐn)?shù)化正，然后再求相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般方法：(1)利用三角變換將解析式化為只含有一個函數(shù)的解析式，利用換元法轉(zhuǎn)化到基本三角函數(shù)的單調(diào)性問題．(2)對于給定區(qū)間上的單調(diào)性問題，可采用問題(2)中的方法，求出所有的單調(diào)增區(qū)間，然后與給定的區(qū)間取交集即可．例5求下列函數(shù)的值域(1)函數(shù)的最大值以及此時x的取值集合(2)(3)(4)y＝cos2x－2sinx解：(1)當(dāng)時，，函數(shù)的最大值為3，此時x的取值集合為(2)結(jié)合正弦函數(shù)圖象得：當(dāng)時，該函數(shù)的值域為(－1，2](3)分析：利用換元法，轉(zhuǎn)化為題(2)的形式．，設(shè)，則原函數(shù)變?yōu)?，結(jié)合余弦函數(shù)圖象得：，所以函數(shù)的值域為(－1，2]．(4)y＝－2sin2x－2sinx＋1，設(shè)t＝sinx，則函數(shù)變?yōu)閥＝－2t2－2t＋1，t∈[－1，1]，因為結(jié)合二次函數(shù)圖象得，當(dāng)t＝1時，函數(shù)最小值為－3，當(dāng)時，函數(shù)最大值為，所以函數(shù)的值域為【評析】處理三角函數(shù)值域(最值)的常用方法：(1)轉(zhuǎn)化為只含有一個三角函數(shù)名的形式，如y＝Asin(x＋)＋k，y＝Acos(x＋)＋k，y＝Atan(x＋)＋k等，利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)圖象進(jìn)行處理．(2)轉(zhuǎn)化為二次型：如Asin2x＋Bsinx＋C，Acos2x＋Bcosx＋C形式，結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象性質(zhì)求值域．例6函數(shù)y＝sin(x＋)的圖象(部分)如圖所示，則和的取值是()A． B．C． D．解：，即，所以，當(dāng)時，，所以，選C例7(1)將函數(shù)的圖象如何變換可得到函數(shù)的圖象(2)已知函數(shù)y＝sinx的圖象，將它怎樣變換，可得到函數(shù)的圖象解：(1)(2)法一：y＝sinx法二：y＝sinx【評析】由y＝sinx的圖象變換為y＝Acos(x＋)(＞0)的圖象時，特別要注意伸縮變換和橫向平移的先后順序不同，其橫向平移過程中左右平移的距離不同．例8(1)函數(shù)的一條對稱軸方程為()A． B． C． D．(2)函數(shù)的對稱軸方程和對稱中心的坐標(biāo)解：(1)法一：的對稱軸為，即，當(dāng)k＝－1時，，選C法二：將四個選項依次代入中，尋找使得函數(shù)取得最小值或最大值的選項當(dāng)時，，選C(2)的對稱軸為，即對稱中心：此時所以對稱中心的坐標(biāo)為【評析】正余弦函數(shù)的對稱軸經(jīng)過它的函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對稱中心是正余弦函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，處理選擇題時可以靈活運(yùn)用．例9已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值．(2)求f(x)在區(qū)間上的值域．(3)畫出函數(shù)y＝2f(x)－1在一個周期[0，]上的簡圖(4)若直線y＝a與(3)中圖象有2個不同的交點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)因為函數(shù)f(x)的最小正周期為，且＞0，所以，解得＝1(2)由(1)得，因為，所以，結(jié)合正弦函數(shù)圖象，得因此，即f(x)的取值范圍為(3)由(1)得列表0πx0πy－1020－2－1(4)由圖象可得，－2＜a＜2且a≠－1．【評析】本節(jié)內(nèi)容應(yīng)與三角恒等變換相結(jié)合，利用降冪升角公式和輔助角公式等三角公式化簡三角函數(shù)解析式，整理、變形為只含有一個函數(shù)名的解析式，如y＝Asin(x＋)(＞0)或y＝Acos(x＋)(＞0)的形式，利用換元法，結(jié)合y＝sinx、y＝cosx的圖象，再研究它的各種性質(zhì)，如求函數(shù)的周期，單調(diào)性，值域等問題，這是處理三角函數(shù)問題的基本方法．練習(xí)一、選擇題1．設(shè)函數(shù)x∈R，則f(x)是(）A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)2．把函數(shù)y＝sinx(x∈R)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的圖象所表示的函數(shù)是()A． B．C． D．3．函數(shù)的圖象()A．關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱 D．關(guān)于直線對稱4．函數(shù)y＝tanx＋sinx－｜tanx－sinx｜在區(qū)間內(nèi)的圖象大致是(）二、填空題5．函數(shù)的最大值是______．6．函數(shù)的最小正周期為______．7．函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則該函數(shù)的解析式為y＝______．8．函數(shù)y＝cos2x＋cosx的值域為______．三、解