第一章算法初步閱讀與思考割圓術(shù)求圓周率教學(xué)設(shè)計(jì)重慶市開州臨江中學(xué)李靜一、本課教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、地位、作用分析割圓術(shù)求圓周率是算法初步這一章結(jié)束后設(shè)置的閱讀與思考內(nèi)容，是對(duì)本章所學(xué)知識(shí)的具體應(yīng)用?！案顖A術(shù)”是由中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家劉徽提出的，是當(dāng)時(shí)計(jì)算圓周率的比較先進(jìn)的算法，至今仍有一定的應(yīng)用價(jià)值。它體現(xiàn)了以直代曲、無(wú)限趨近、“內(nèi)外夾逼”的思想，這些思想是人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)最基本、最樸素的思想，在其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用?！案顖A術(shù)”這個(gè)算法本身很有趣，操作性強(qiáng)，“算理”明確，能被翻譯成計(jì)算機(jī)程序上機(jī)運(yùn)行，體現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的算法特征。同時(shí)，圍繞著圓周率的計(jì)算這個(gè)問(wèn)題有很多有趣的故事，例如從古至今許多數(shù)學(xué)家孜孜不倦的計(jì)算圓周率的故事及一些經(jīng)典而有趣的算法等，從而激發(fā)了學(xué)生的民族自豪感和愛(ài)國(guó)精神，培養(yǎng)了追求科學(xué)真理、為科學(xué)而獻(xiàn)身的精神，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和對(duì)新事物的敏感性。二、學(xué)生學(xué)情分析在深化課改的背景下，現(xiàn)階段的學(xué)生并沒(méi)有學(xué)過(guò)如何求圓周率，只有人教A版必修3中的第一章《算法結(jié)構(gòu)》的“閱讀與思考”內(nèi)容是以劉徽的“割圓術(shù)”為載體，通過(guò)算法知識(shí)來(lái)介紹求圓周率，但是，教學(xué)條件和學(xué)生沒(méi)有prime手持計(jì)算器的限制，在算法的建構(gòu)方面存在一定的困難，同時(shí)對(duì)圓周率的認(rèn)知基本上停留在能背出小數(shù)點(diǎn)后多少位，卻不知圓周率是如何得到的。三、教學(xué)目標(biāo)分析1.知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生在明確問(wèn)題的基礎(chǔ)上，能設(shè)計(jì)方法，通過(guò)編寫計(jì)算機(jī)程序求出圓周率。2.能力目標(biāo)：在教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)割圓術(shù)算法步驟，使學(xué)生深刻理解由特殊到一般的歸納推理思維。在讓學(xué)生自主探究利用計(jì)算機(jī)計(jì)算圓周率的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)主動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：在學(xué)生通過(guò)課前閱讀與課外查閱與研究所了解的有關(guān)求圓周率的方法的基礎(chǔ)上，對(duì)各種不同的方法進(jìn)行簡(jiǎn)要的介紹與對(duì)比，同時(shí)深入探究劉徽割圓術(shù)的思想方法，獲得面積遞推公式，同時(shí)體會(huì)其中蘊(yùn)含的遞推思想與迭代算法．難點(diǎn)：割圓術(shù)中“內(nèi)外夾逼”的極限思想與算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程中遞推關(guān)系的建立．教學(xué)過(guò)程：（一）、課堂引入，課前準(zhǔn)備，學(xué)生自學(xué)微視頻，老師利用已錄好的微視頻對(duì)圓周率的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行介紹。要求對(duì)圓周率的歷史及現(xiàn)狀有基本的了解。鼓勵(lì)學(xué)生查閱資料進(jìn)一步了解相關(guān)知識(shí)。同時(shí)提出上課時(shí)要問(wèn)的問(wèn)題。設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)微課的形式讓學(xué)生了解本堂課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生探求知識(shí)的欲望，在微視頻中尤其強(qiáng)調(diào)了劉徽、祖沖之利用的割圓術(shù)算出的圓周率，領(lǐng)先國(guó)外1000多年，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感。（二）課堂提問(wèn)根據(jù)已學(xué)的微視頻和你對(duì)π的了解，以及我們已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，你能想到那些計(jì)算圓周率的方法？（可能有的回答）學(xué)生1：畫一個(gè)圓，用繩子測(cè)量出周長(zhǎng)，除以直徑。學(xué)生2:用圓的正內(nèi)接多邊形的周長(zhǎng)去趨近圓的周長(zhǎng)，從而得出π。學(xué)生3：可以用幾何概型，用實(shí)驗(yàn)的方法的圓周率。學(xué)生4:在必修1時(shí)我們學(xué)了函數(shù)的零點(diǎn)，我覺(jué)得可用二分法來(lái)求出π的值。設(shè)計(jì)說(shuō)明：讓學(xué)生回答可提升學(xué)生探究問(wèn)題的興趣，在此過(guò)程中，應(yīng)對(duì)學(xué)生提出的想法給予鼓勵(lì)，同時(shí)要從實(shí)施的可行性，科學(xué)性、可操作性進(jìn)行判斷。（三）小組活動(dòng)：利用圓的正內(nèi)接多邊形，無(wú)限逼近求π。（1）原理：利用單位圓的內(nèi)接正六邊形，逐次分割為12邊形，24邊形，48邊形，反復(fù)利用勾股定理計(jì)算多邊形的周長(zhǎng)。如圖示：在圓內(nèi)接正六邊形中，將各邊取其中點(diǎn)，做垂線，上如圖可得,由勾股定理可得，，,這樣可得圓內(nèi)接正12邊形的邊長(zhǎng)，同理可得圓內(nèi)接正24邊形的邊長(zhǎng)，遞推下去，可得正邊形的周長(zhǎng)，當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，正多邊形的周長(zhǎng)會(huì)無(wú)限接近圓的周長(zhǎng)，從而可以用周長(zhǎng)公式求出π的近似值。學(xué)生在小組討論時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生新的想法，在成果匯報(bào)階段時(shí)，老師給予展示的空間和大力的表?yè)P(yáng)。（2）利用prime手持計(jì)算器，進(jìn)行數(shù)據(jù)試驗(yàn)，分別記錄邊長(zhǎng)為6,12,24,48，……的π的近似值，可以發(fā)現(xiàn)隨著邊數(shù)的增多，π的值會(huì)越來(lái)越精確。（四）請(qǐng)學(xué)生講解用幾何概型的方法求π（1）原理：把一個(gè)圓放在正方形里，并且與正方形各邊相切，利用幾何概型，隨機(jī)撒一把豆子，每個(gè)豆子落在正方形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)與這個(gè)區(qū)域的面積近似成正比，即=，假設(shè)圓的半徑為1，則=，可得，=π，這樣就可以得到π的近似值。（2）撒豆子的試驗(yàn)可以用隨機(jī)數(shù)試驗(yàn)來(lái)模擬?？梢杂胮rime手持計(jì)算器中的電子表格得到隨機(jī)數(shù)。也可用prime編寫程序得到?；蛘哂肊xcel軟件的統(tǒng)計(jì)功能解決。小組分別進(jìn)行次數(shù)為500,1000,1500，,2000，……并記錄π的近似值。（五）學(xué)生講解：利用二分法求π的近似值。（1）原理：構(gòu)建一個(gè)函數(shù)如：，易知在區(qū)間有唯一零點(diǎn)，即，設(shè)計(jì)程序框圖如下（六）學(xué)生總結(jié)收獲與還存在的問(wèn)題，并總結(jié)π的記憶方法。3.14159265358979323846