章末復習知識結(jié)構(gòu)直角三角形勾股定理勾股定理的逆定理應(yīng)用反證法思考并回答下列問題：問題1：勾股定理與逆定理的內(nèi)容是什么？問題2：勾股定理與逆定理的證明方法是怎樣的，它們各體現(xiàn)什么樣的數(shù)學思想？你是怎樣理解的？問題3：如何判定一個三角形是直角三角形？問題4：反證法的步驟是什么？要點勾股定理

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.abcAB如果在Rt△ABC中，∠C=90°，字母表示：那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理的證明方法：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來，再進行整式運算，從理論上驗證了勾股定理.勾股定理逆定理

如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.abcABC字母表示：如果△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形.勾股數(shù)

滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).反證法是從反面的角度著手的間接證明方法，即：肯定條件而否定結(jié)論，從而得出矛盾，使命題獲得證明.反證法是數(shù)學中常用的一種證明方法.當命題從正面不容易或不能得到證明時，就可以考慮運用反證法.典例精析例1（1）下列命題中正確的是（）A.1.5，2，2.5是勾股數(shù)B.至少有一個角大于60°的反面是至多有一個角大于60°C.邊長為3a，4a，5a的三角形是直角三角形D.直角三角形的兩邊是3和4，它的面積是6C（2）如圖，每個小正方形的邊長為1，點A、B、C是小正方形的頂點，則∠ABC=_________.（3）如圖，長方形ABCD中，AB=15cm，點E在AD上，且AE=9cm，連結(jié)EC將長方形沿BE翻折，點A恰好落在EC上的點A′處，則A′C=____cm.45°8例2如圖圓柱形的玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在外壁離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離是多少厘米？解：畫出全半側(cè)面的展開圖，如圖，則EF=9cm，AE=4cm，CM=4cm，取點A關(guān)于直線EF的對稱點A′，則A′E=4cm，連結(jié)A′C交EF于P，則PA+PC最短，作GC⊥EN于G，在Rt△A′GC中，AP+PC==15(cm).例3在Rt△ABC中，已知兩直角邊a與b的和為pcm，斜邊長為qcm，求這個三角形的面積.解：∵a+b=p，c=q，∴a2+2ab+b2=(a+b)2=p2，a2+b2=q2(勾股定理).∴2ab=p2-q2，∴(cm2).例4如圖所示，有一個正方形水池，每邊長4米，池中央長了一棵蘆葦，露出水面1米，把蘆葦?shù)捻敹艘桨哆叄J葦頂和岸邊水面剛好相齊，你能算出水池的深度嗎？解：設(shè)水池深為x米，BC=x米，AC=(x+1)米，因為池邊長為4米，所以BA′=2米，在Rt△A′BC中，根據(jù)勾股定理得x2+22=(x+1)2，解得x=1.5.例5如圖所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC邊上的中線AD=24，求AC.解：∵AD是邊BC上的中線，且BC=20，∴BD=DC=BC=10.∵AD2+BD2=576+100=676=262=AB2，∴AD2+BD2=AB2，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.(勾股逆定理)在Rt△ADC中，AC=例6已知，如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD于點D，且CD2+AD2=2AB2.(1)求證AB=BC；(2)當BE⊥AD于點E時，試證明：BE=AE+CD.(1)證明：由條件CD2+AD2=2AB2，并結(jié)合圖形，有CD2+AD2=AC2，又AC2=AB2+BC2(連結(jié)AC)，從而2AB2=AB2+BC2，有BC=AB；(2)證明：過C作CF⊥BE于F，由AB=BC，∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠CFB，知△ABE≌△BCF，有BF=AE，且CD=FE，∴BE=BF+EF=AE+CD.F復習題1.求下列各圖形著色部分的面積：(1)著色部分是正方形； (2)著色部分是長方形；A組12cm13cm15cm8cm3cmS=132-122=25(cm2).(3)著色部分是半圓.6cm10cm2.如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作三個等腰直角三角形，試探索這三個等腰直角三角形的面積之間的關(guān)系.解：以a、b為斜邊的兩個等腰直角三角形的面積等于以c為斜邊的等腰直角三角形的面積．3.試判斷由下列三邊圍成的三角形是否是直角三角形：(1)三邊長分別為m2+n2、mn、m2-n2(m>n>0)；(2)三邊長之比為1∶1∶.不是是4.一架2.5米長的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部離建筑物0.7米，如果梯子的頂部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多遠？解：設(shè)下滑之前，梯子頂部到地面的距離為下滑0.4米之后，梯子頂部到地面的距離h2=2.4-0.4=2(米)，梯子底部離建筑物的距離梯子底部向外滑出1.5-0.7=0.8(米).所以梯子底部向外滑出0.8米.5.在如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長為7cm.求正方形A、B、C、D的面積和.ABEFCDG解：SA+SB+SC+SD=SE+SF=SG=72=49(cm2).6.在△ABC中，AB=AC=10，BD是AC邊上的高，DC=2.求BD的長.B組解：因為AD=AC-CD=10-2=8，所以BD==6.7.有一塊四邊形地ABCD(如圖)，∠B=∠90°.AB=4m，BC=3m，CD=12m，DA=13m.求該四邊形地的面積.解：連接AC，由勾股定理得AC==5(m)，AC2+CD2=52+122=132=AD2，由勾股定理的逆定理得∠ACD=90°，所以S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC8.我們已經(jīng)知道，3、4、5，6、8、10等都是一些勾股數(shù).請你再寫出其他5組勾股數(shù).解：5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，12，15；12，16，20(答案不唯一).9.試證明一個五邊形不可能有4個內(nèi)角為銳角.證明：假設(shè)五邊形有四個內(nèi)角是銳角，那么與它們相鄰的四個外角均為鈍角，其和大于360°，與多邊形外角和為360°矛盾，所以假設(shè)不成立，故五邊形不可能有4個內(nèi)角為銳角.C組10.已知△ABC的三邊長a、b、c滿足條件：a4-b4+b2c2-a2c2=0.試判斷△ABC的形狀.解：因為a4-b4+b2c2-a2c2=0，∴(a2+b2)(a2-b2)+c2(b2-a2)=0，∴(a2-b2)·(a2+b2-c2)=0，∴a2-b2=0或a2+b2-c2=0，∴a+b=0(舍)或a=b或a2+b2=c2，∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.11.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°.求∠DAB的大小.解：連接AC，∵AB=BC=2，∠B=90°，∴∠BAC=∠BCA=45°，AC=在△ACD中，AD2+AC2=9=CD2，∴△ACD中是直角三角形，∠DAC=90°，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°.12.如圖，在五邊形ABCDE中，∠B=∠E=90°，AB=5cm，△ABC的面積是30cm2，△ACD與△AED關(guān)于AD所在的直線成軸對稱.求AE的長.解：由題可知S△ABC=∵AB=5cm，S△ABC=30cm2.∴=30cm2，∴BC=12cm.在△ABC中，AC==13(cm).又∵△