一、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)

第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念（1）鄰域一、多元函數(shù)的概念（2）區(qū)域例如，即為開集．連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．例如，例如，有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域．例如，（3）聚點1.內(nèi)點是聚點；說明：2.邊界點是聚點；例(0,0)既是邊界點也是聚點．3.點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點但不屬于集合．例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合．（4）n維空間1.n維空間的記號為說明：2.n維空間中兩點間距離公式3.n維空間中鄰域、區(qū)域等概念

特殊地當時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離．內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義．鄰域：設(shè)兩點為4.直線與線段（5）二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．例1

求的定義域．解所求定義域為（6）二元函數(shù)的圖形（如下頁圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:二、多元函數(shù)的極限說明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似．例2

求證證當時，原結(jié)論成立．例3

求極限解其中例4

證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．確定極限不存在的方法:找兩種不同趨近方式,使二重極限存在,但兩者不相等;令p(x,y)沿某一定曲線趨向于時,極限不存在.利用點函數(shù)的形式有三、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3例5

討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理（3）有界定理

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定有界．多元初等函數(shù)：由常量及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．例6解多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）四、小