面積射影定理射影定理是我們初中時(shí)就接觸了的幾何定理，它是由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得提出的一個(gè)重要定理，在它的幫助下我們不僅可以證明勾股定理，還可以快捷地解決許多幾何問題。在這里我想介紹一下同樣由他提出的一個(gè)重要定理一一面積射影定理。定理的敘述如下：平面圖形射影面積等于被射影圖形的面積乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的余弦。 （即SCOSO=^射）原相信大家對(duì)這個(gè)定理一定不會(huì)感到陌生，因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)立體幾何時(shí)我們就曾用它來求二面角的余弦值。但是定理的相關(guān)證明并沒給出，所以在這里提供一種方法（可能不是很靠譜-_-）。本著由特殊到一般的理念，我們就先從三角形開始吧。（如圖）/'* W從圖中我們可以看到兩個(gè)三角形所在平面成o角，而為了方便，不妨將它們平移至

特殊位置。（如圖）于是易知特殊位置。（如圖）于是易知蘭絲-竺一cos。。而對(duì)于無法平移至一邊重合的三角形，我SAABDDE們可以采用延長(zhǎng)一邊的辦法補(bǔ)全兩個(gè)三角形，再結(jié)合相似知識(shí)，同樣可以得證，（如圖）識(shí)，同樣可以得證，（如圖）接下來我們開始討論一般圖形了，一般圖形所具有的特點(diǎn)是沒有明顯的高和寬，這就迫使我們不得不轉(zhuǎn)變思路。所以，我們可以嘗試將圖形分割，并且可以想象，當(dāng)圖形被等分成無限多塊時(shí)，如果每一小塊都符合定理，那么整個(gè)圖形也就同樣符合了。因此，我們以一個(gè)不規(guī)則圖形為例進(jìn)行說明。（如圖）明。（如圖）在圖示的心形圖形中，我們將圖形用正方形網(wǎng)格進(jìn)行分割，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)趨于無窮大時(shí)，圖形將被分割為無限多塊面積相等的小正方形（就如同構(gòu)成影像的像素），所以證明一般圖形就轉(zhuǎn)為證明正方形了。在證明正方形時(shí)我們則可以將正方形分成兩個(gè)三角形，再結(jié)合上開頭的結(jié)論，這樣，證明就完成了。關(guān)于面積射影定理的應(yīng)用，當(dāng)屬大家所熟知的求二面角余弦值了。但是在其他地方它也可以大顯身手，比如求橢圓的面積。我們知道橢圓是圓柱體被一斜平面所截時(shí)產(chǎn)生的圖形，

（如圖）所以由圖可知橢（如圖）S圓面與圓柱底面成0角，由面積射影定理得S橢圓=布圓卜，即S橢圓=g。又因?yàn)?a=裒,2b=2r，所以c 丸r2 冗b-a-cos0 7S== =nab橢圓cos0cos0影子不僅為人們提供了陰涼，還將完整的物體展現(xiàn)給了我們。我們學(xué)習(xí)立體幾何的過程實(shí)際上也是在加深我們對(duì)三維世界