理科數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)，其中是實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，則（）A.2 B. C. D.3.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，則（）A.15 B.16 C.17 D.184.若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值為（）A. B. C.1 D.35.我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》有著豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.現(xiàn)擬從這5部專著中選擇2部作為學(xué)生課外興趣拓展參考書目，則所選2部專著中至少有一部不是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為（）A. B. C. D.6.如圖，四棱柱中，為平行四邊形，分別在線段上，且，在上且平面平面，則（）A. B. C. D.7.在直角坐標(biāo)系中，半徑為的在時(shí)圓心與原點(diǎn)重合，沿軸以的速度勻速向右移動(dòng)，被軸所截的左方圓弧長(zhǎng)記為，令，則關(guān)于時(shí)間（，單位：）的函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.8.的展開式中，各二項(xiàng)式系數(shù)和為32，各項(xiàng)系數(shù)和為243，則展開式中的系數(shù)為（）A.40 B.30 C.20 D.109.設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，如果，，且，則（）A. B. C. D.10.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，球的半徑為4，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，記的外心為.若三棱錐的體積為，則（）A. B. C. D.11.設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若圓與直線交于坐標(biāo)原點(diǎn)及另一點(diǎn)，且存在以為圓心的圓與線段相切，切點(diǎn)為的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.312.函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量與的夾角為120°，且，，則________.14.已知函數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的值為________.15.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和________.16.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，弦過(guò)點(diǎn)且中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線交于點(diǎn)，若，則________.三、解答題：（共70分）17.在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且邊上的高為，求的周長(zhǎng).18.如圖，四邊形為平行四邊形，點(diǎn)在上，，且.以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的正弦值.19.為了保障某治療新冠肺炎藥品的主要藥理成分在國(guó)家藥品監(jiān)督管理局規(guī)定的值范圍內(nèi)，武漢某制藥廠在該藥品的生產(chǎn)過(guò)程中，檢驗(yàn)員在一天中按照規(guī)定從該藥品生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取20件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)量其主要藥理成分含量（單位：）.根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條藥品生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的主要藥理成分含量服從正態(tài)分布.在一天內(nèi)抽取的20件產(chǎn)品中，如果有一件出現(xiàn)了主要藥理成分含量在之外的藥品，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)本次的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.（Ⅰ）下面是檢驗(yàn)員在2月24日抽取的20件藥品的主要藥理成分含量：9.7810.049.9210.1410.049.2210.139.919.959.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12經(jīng)計(jì)算得，.其中為抽取的第件藥品的主要藥理成分含量，.用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)本次的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？（Ⅱ）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示某天抽取的20件產(chǎn)品中其主要藥理成分含量在之外的藥品件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).后的周長(zhǎng)為，且橢圓的離心率為.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，直線與分別交于點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求直線的方程.21.已知函數(shù)，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）在函數(shù)的圖象上取定兩點(diǎn)，，記直線的斜率為，問(wèn)：是否存在，使成立？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.請(qǐng)從下面所給的22、23兩題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分；不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一題評(píng)分.22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線交于兩點(diǎn).（Ⅰ）若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的值；（Ⅱ）求曲線的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值.23.選修4-5：不等式選講.已知函數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（Ⅱ）若，，不等式恒成立，求的取值范圍.高2020級(jí)高三（下）3月月考理科數(shù)學(xué)參考答案第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分）題號(hào)123456789101112答案CDCBBBADBDBD10.由題意，，，設(shè)到平面的高為，則由得，所以點(diǎn)在小圓（如圖所示，圓與圓所在平面平行）上運(yùn)動(dòng)，，所以，所以.11.聯(lián)立或，則.因?yàn)榇嬖谝詾閳A心的圓與線段相切于其中點(diǎn)，所以，所以，化簡(jiǎn)即得.12.當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的圖象如圖所示：令，則由上圖可知當(dāng)或1時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根.所以關(guān)于的方程有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，或者，.當(dāng)，解得；當(dāng)，時(shí)，，解得.綜上所述，.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）題號(hào)13141516答案215.由題意，因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，可得，所以，所以.16.由對(duì)稱性，不妨設(shè)在一象限，設(shè)直線的傾斜角為，由得得，所以，，.記與的交點(diǎn)為，軸與的交點(diǎn)為，則，，，所以.三、解答題：（共70分）17.解：（Ⅰ）由正弦定理可知：又因?yàn)橹校?又因?yàn)闉榈膬?nèi)角，故，，（Ⅱ）如圖，，，則又，在中，由余弦定理得：故三角形的周長(zhǎng).18.解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以，，所以平面，所以①因?yàn)?，所以，，又，由余弦定理得：，所以，所以②由①②得平面，所以平面平?（Ⅱ）建系如圖，設(shè)，則，，，因?yàn)橹本€與平面所成角的正切值為，所以直線與平面所成角的正弦值為，又為平面的法向量，所以，即，解得.所以，，則，，設(shè)平面的法向量，則，取得，同理可取平面的法向量，所以，所以，即得二面角的正弦值為.19.解：（Ⅰ）由，，得的估計(jì)值為，的估計(jì)值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一件藥品的主要藥理成分含量在之外，因此需對(duì)本次的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.（Ⅱ）抽取的一件藥品的主要藥理成分含量在之內(nèi)的概率為0.9974，從而主要藥理成分含量在之外的概率為0.0026，故.因此，的數(shù)學(xué)期望為.20.解：（Ⅰ）由題意可得：，，（Ⅱ）點(diǎn)，，設(shè)，，則顯然直線與軸不重合，設(shè)，則可知由得，直線，令，可得，同理，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由于，則，此時(shí)的最小值為，在處取得.綜上，當(dāng)最小時(shí)，直線，即.21.解：（Ⅰ）若，則對(duì)一切，，這與題設(shè)矛盾；若，，令，得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值.于是對(duì)一切，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).①令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，①式成立.綜上所述，.（Ⅱ）由題意知，.令，在區(qū)間上單調(diào)遞增；且，.由（Ⅰ）得恒成立，從而，，又，，所以，.由零點(diǎn)存在性定理得，存在唯一，使，