§9-1§9-2§9-3單元剛度矩陣(整體座標系§9-4§9-5§9-6§9-7§9-8§9-91、矩陣定義一組元素按行、列次序排列成的矩形陣列稱為矩陣。若矩陣的元素排列為m行和列，稱為m·n階矩陣。 12 ? ?

2n ?? ?mn2、方 一個具有相同的行數(shù)和列數(shù)的矩陣，即m=n時，稱為n階方陣 A=11 12 13 21┇ m14、純量僅由一個單獨的元素所組成的1·1 兩個規(guī)則′ l m′ p 12 b b 22212×2

12b 21 222×1 ?A4 A=

12

其轉(zhuǎn)置矩陣

21 31 A= 22 BC ATTCT 元素全部為零的矩陣稱為零矩陣，用0表示若0，但不一定05、對角矩 、單位矩 單位矩陣是一個對角矩陣，它的非零元素全為1用I表示， 6 除法運算由矩陣求逆來完成。例如，若B 稱為矩陣A的逆矩陣一個矩陣的逆矩陣由以下關(guān)系式定義 矩陣是一個方陣 若一方陣A每一行（列）的各個元素平方之和等于1，

A=-

正交矩陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣，即A-1=71 矩陣位移法的理論基礎是傳統(tǒng)的位移法，只是它的表達形式采用矩陣代數(shù)，而這種數(shù)學算法便于編制計算機程序，實現(xiàn)計算過程的程序化。一、矩陣位移法的基本思路 分

8 符號規(guī)則：圖(a)表示單元編號、桿端編號和局部座標，局部座標的

x M29 1 2 D F

1

1

1 1=

=

= D(4)

(4)

Y 2 §9-2進行單元分析，推導單元剛度方程和單元剛度矩陣

DfiF” X X1

2 Y

EAu-u)

4EI q

q

I

-v 2

( = v-v 2) 其次，由桿端橫向位移v,v和轉(zhuǎn)角q,q ) =

( (

1-

=

q+q

v- Y,Y

2和桿端力矩 , q q 2 4I

vX1= 1-u2)

12I

u

q+ 1-v) 1-

) )

12I =- -

e 1 -

1 - 6EI

3

2

3

2 2

= l

-

-

Y2 2 2

4EI

上面的式子可以用矩陣符號記

=局部座標系的單元剛度矩局部座標系的單元剛度矩 1

=1 =1 u2=1v2=

e

e

0

k]

只與桿件本身性質(zhì)

l

0

（1）k

代表單元桿端第2個位移分量 =1時所引起的第5個 即 是對稱矩 一般單元的剛度矩陣 ] e 從力學上的理解是，根據(jù)單元剛度方 } e 1=

1 2 1=

-

vY 6EI v 1 1M

l3l

2ll

3 -

2EI

1= 1 X2 - Y2 4EI 1 2 1=

-

vY 6EI v 1 1M

ll

6 -6

= 1 1= X2 - 0

Y2

M

2 M

e4I 4

1

l = 2

]=

2I

l

Xe=1

Y M M eaeM

X 2 2

=X

1 1

-Xesina+Ye 2

0X1Y - 0Y 1 1 =

}0100010000X00000000 00000000Y2

0

2 2 00 00 0000=

0 0= =

}= e= （解決k與[k]e的關(guān)系 （a）式可轉(zhuǎn)換為 [] [] 兩邊前乘 {e=[]T k [

]Tek k例1.試求圖示剛架中各單元在整體座標系中的剛度矩陣[k] l= 1l= 解:(1)局部座標系中的單元剛度矩陣 l= 0 0 0 =10

2：a90，單元 0

-

- 30 []e = k k 00000100000100-0 單元2：a=90，單元座標轉(zhuǎn)換矩陣 1 l=- l==

00 00 -

l=y -30- 000000 ]T

0 12 1212

1+2

311 21 F311 F1 3 令i2=0，則F31 11

=2i1=2i14i

3F 31[]1 1

312 22 F3 F2F F2 i=0，則F2 12 00= 4i1 00=

2F03 F03}2=]2{ 單元1 2 }2=] 00=1 {}={}1+}2=（]+[] []=（[]1+]e

1 1 1100000041+42

]e 2

4i

[]= 4(1+2) 二、按照單元定位向量由[]e []e

fifififi} 單元定位向量}1=

2fi2fi

3 3 e的具體位置，e

也稱為“單元換碼

（3）單剛]和單元貢獻 單元貢獻矩陣是單元剛度矩陣，利用“單元定位向量”進行“換碼重排位” = = 單元單元

4i1 1

]1 ]1 300011020302222單元 }= 三、單元集成法的實 將[k]的元素在[K]中按{l}定位并進行累加，得

21

2 }

00 1 { 2 }= 2

}=3

l=0 [k]=

[k]= 2

4i3 1[K]=

1+

42+43

1{}3 3 00000000

D1 D ? 00000000 00000000? ? 32 §9-5 （2）[k]經(jīng)由{l進行累加集成[K]與連續(xù)梁相比：(1)各單元考慮軸向變形；(2)每個剛結(jié)點有三個位移；) {D} D43 3

x

= 量，其總碼均編為零 y

①

局部碼總

y 局部碼總

（3）fi = =

（6） 12]

2

=3=

[]= 011122[]= 3121312134333333232

2222