第七章

多元微分學空

間

曲

面

與

曲

線2

多元函數(shù)的基本概念③偏微商與全微分

多

元

復(fù)

合

函

數(shù)

及

隱

函

數(shù)

求

導(dǎo)

法

則5

多

元

函

數(shù)

的

極

值

和

最

優(yōu)

化

問

題1本

章

重

點

：

極，

合

函本

章

難

點

：二元復(fù)合函數(shù)微分法，多元函數(shù)的極

值與求法.元的理

解

二

元

函

數(shù)

的

定

義

，

會

求

二

元

函

數(shù)

的

定

義

域

了

解

二

元

函

數(shù)

的

極

限

與

連

續(xù)

概

念理

解

二

元

函

數(shù)

偏

導(dǎo)

數(shù)

定

義

，

學

握

多

元

復(fù)

合

函

數(shù)

求

導(dǎo)法則

理解全微分概念，

會求二元

函

數(shù)

全微

分學

握

多

元

函

數(shù)

的

極

值

概

念

，

會

求

多

元

函

數(shù)

的

極

值會

使

用

拉

格

朗

日

乘

數(shù)

法

求

條

件

極

值

，

會

應(yīng)

用

最

小

二

乘法會

解

一

些

經(jīng)

濟

問

題

中

的

最

優(yōu)

化

問

題教學目的：27.4

多

元

復(fù)

合

函

數(shù)

及

隱

函

數(shù)

求

導(dǎo)

法

則目的要求掌握復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法

則

，

隱

函

數(shù)

求

偏

導(dǎo)

法

則

。重

點

復(fù)

合

函

數(shù)

求

偏

導(dǎo)

法

則難

點

復(fù)

合

函

數(shù)

求

偏

導(dǎo)

法

則37.4

多元復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)法則一

、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理

(1)

u=p(x,y),v=ψ(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)在點

(x,y

)處

連

續(xù)

；(2)函數(shù)z=f(u,v)

的偏導(dǎo)數(shù)在(x,y)的對應(yīng)點

(u,

v)

處

連

續(xù)

.則復(fù)合函數(shù)

z=

φ(x,y),ψ(x,y)]在(x,y)處存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且4af

ouou

axQf

Ouou

Oy復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則z=f(u,v)u=u(x,y),v=v(x,y)Qf

OvOv

dxQf

OvOv

OyOzOxOz

二鏈

式

法

則XyXYz=fUV十5例

求z=exy

sin(x+y)的偏導(dǎo)數(shù)可。角軍

令u=xy,v=x+y,

則z=e“sin

v,-

+=eusin

y.x+eucosy.1=xe*ysin(x+y)+ey

cos(x+y)=e“sinv·y+e”cosv·1=yexysin(x+y)+exycos(x+y)影一影萬

注：此題可不用鏈式法則來解入6例求z=(x2+y2)*

的偏導(dǎo)數(shù)

冪指函數(shù)角軍

令u=x2+y2,v=xy,

∴z=u”,=vu“-1.2y+u”lnu·x

此題必須用鏈式法則來解7=vu”-1.2x+u”Inu·y練

習例

已

知z=(x2+y2)e-ancten

,

求dz.

則

z=ue-arctan”=f(u,v)=e-arctanv

.2x+ue-arctanv·[2x+(x2+

y-=e

—arctany

x(2x+y)8例

已

知z=(x2+y2)e

…

,

求dz.令u=x2+y2,v=y

則z=ue-arcan”=f(u,v)=e-can"·2y+ue-carca"-arctan

(2y-x)x"-arctandz=

dx+dy"·(Zy

—x)考研

題

目例已知z=(x2+y2)e=e

-arctanx[(2x+y)dx+(2y-x)dy],

求dz.10幾種常見的形式(

1

)

若z=f(u,v),u=u(x),v=v(x)只

有

一

個

自

變

量則

z=f[u(x),v(x)]=z(x)這

時

=

張

+11(2)若z=f(u),u=u(x,y),u是一個中間變量z=f[u(x,y)]=z(x,y)器=

器-uafdnCYouGxz=f122-3,

+對于本形式，要注意以下幾占

·k

=(3)若z=f(u,x,y),u=φ(x,y)z=f(φ(x,y),x,y)=z(x,y)z=f13Sz

Qf

ouz=f^

a

n

y

Oy

Ou

Oy1.這里x,y具有雙重身份：既作為自變量

，

也

作

為

中

間

變

量

。2.

與

的差別在于：前

一

個

把x

看

作

自

變

量

，后

一

個

把x

看

作

中

間

變

量

。—_ACuxoOfSSzOx—Xy一Z!

注

意14解

器

-

影

+

+=yxy-lcost+xYlnx·(-sint)+e=(sint)cost-1cos2t-(sint)*~s+Insint+e'.例

設(shè)Z=V+et.X=sint.V=cost.求

zdt15練習例

設(shè)U=f(x,y,z),z=sin(x2+y2),

求

2k=+2ycos(x2+y2)解16例

設(shè)z=f(x2-y2,exy),f有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)解設(shè)u=x2-y2,v

=e×Y,則z=f

-

+

Xy

CYu<v

.17例

設(shè)z=f(x2-y2,exy),f有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求

z=f解設(shè)u=x2-y2,v=exy,=-2ygH+xe則z=fg.X

yCyu

<V.ye18二、

復(fù)合函數(shù)微分法的應(yīng)用隱函數(shù)微分法(1.二元方程確定的一元隱函數(shù))設(shè)F(x,y)=0確

定y是x

的可微函數(shù)y=y(x),則

F[x,y(x)]=0,可知，

F

通過y是x

的函數(shù)。若F,≠0,

則有

dy利

用

復(fù)

合

函

數(shù)

微

分

法Xy

——

X______________________________工F22如求x2+y2=1

所確定的c

的函數(shù)

導(dǎo)數(shù)1..

2x+2y

=02

.

.

令F(x,y)=x2+y2-1則Fx=2x,Fy=2y,23例

設(shè)

方

程xy+x+y=1

確

定y

是

x

的函數(shù)，求

練習解

設(shè)

F(x,y)=xy+x+y-1F=y+1,F,=x+1,則

--

--2+1242.三元方程確定的二元隱函數(shù)設(shè)F(x,y,z)=0確定z是x,y的函數(shù)，根據(jù)鏈式法則有Fx+F

=0FZOZOxOzOy若Fz

去

D,XyXy則乙25例設(shè)方程3-3xyz=a3

確定z=f(x,y

),求

解

設(shè)F(x,y,z,)=z3-3xyz-a3Fx=-3yz,Fy=-3xz,Fz=3z2-3xy.當

3z2-3xy≠0

時，例

設(shè)

e2-xyz=0,解

令F(x,y,z)=e?-xyz,_ze2z-xyz2e2-x2y2z一xy)3求

·Fx=-yz,Fy=-xz,Fz=e2-xy.27小節(jié)

復(fù)

合

函

數(shù)

求

導(dǎo)

法

則影

+一

+隱

函

數(shù)

求

導(dǎo)

法

則設(shè)F(x,y,z)=0確定z是x,y的函數(shù)，根據(jù)鏈式法則有SzOxOz

Oy作業(yè)：5.3節(jié)1,3(1),5,9Oy0xQn之28補充：

關(guān)于齊次函數(shù)的