湍流邊界層近壁區(qū)傳熱的三維數(shù)值模擬

切割水流中存在著相干結(jié)構(gòu)，這在促進(jìn)水流的發(fā)生和儲(chǔ)存方面發(fā)揮著重要作用。相干結(jié)構(gòu)的研究已有30年的歷史，但到目前為止，相干結(jié)構(gòu)的研究對(duì)流量計(jì)算沒有影響。因?yàn)橐酝难芯恐饕菍?duì)運(yùn)動(dòng)的描述和檢測，沒有理論模型。近年來，這項(xiàng)研究取得了新的進(jìn)展[1.4]，在流量邊界層的外區(qū)域和近壁區(qū)域提供了相干結(jié)構(gòu)的理論模型。結(jié)果表明，相干結(jié)構(gòu)在流量輸送運(yùn)輸中發(fā)揮著重要作用。這不僅因?yàn)樗哪芰空即蠖鄶?shù)排水能力的，還因?yàn)樗倪\(yùn)動(dòng)具有一定的不確定性，所以小范圍河流的研究基本上是隨機(jī)的。Nagano等人的實(shí)驗(yàn)證實(shí)了相干結(jié)構(gòu)在邊界層近壁區(qū)對(duì)熱量輸運(yùn)起著決定性的作用.本文將把相干結(jié)構(gòu)的理論模型結(jié)合在湍流標(biāo)量輸運(yùn)的計(jì)算問題中,具體說是湍流邊界層近壁區(qū)的傳熱問題,以得到比通常的湍流計(jì)算更合理的模型.1速度分布的演化過程在文獻(xiàn)中采用流動(dòng)穩(wěn)定性理論中的共振三波模型來解釋湍流邊界層近壁區(qū)的相干結(jié)構(gòu)產(chǎn)生機(jī)理,得到了相干結(jié)構(gòu)附近流場的法向剖面中沿某一事先給定的路徑計(jì)算的凈環(huán)量的概率密度分布函數(shù),與由分析直接數(shù)值模擬結(jié)果所得的概率密度分布函數(shù)很相近,間接證明了這一模型是合理的.這一模型的出發(fā)點(diǎn)是一個(gè)包含3個(gè)不穩(wěn)定波(T-S波)的共振三波.其基本波的速度可以表示為:在文獻(xiàn)中采用了弱非線性理論求a1,a2,a3隨時(shí)間的演化規(guī)律,并按它們的增長快慢以確定是否對(duì)應(yīng)于一種可能的相干結(jié)構(gòu).詳細(xì)論述請看文獻(xiàn),這里就不重復(fù)了.由于弱非線性理論本身的限制,不可能計(jì)算幅值很大的情況.但實(shí)際相干結(jié)構(gòu)引起的速度幅值(以外流流速無量綱化)可達(dá)0.14左右,所以我們不能指望用這一模型來全面反映相干結(jié)構(gòu)的流場.但是,Blackwelder早已指出,湍流邊界層近壁區(qū)充分發(fā)展的相干結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)捩區(qū)的大尺度流動(dòng)結(jié)構(gòu),即經(jīng)相位平均濾去小尺度擾動(dòng)后的結(jié)構(gòu),很相似.而Kachanov則給出了人工引發(fā)的轉(zhuǎn)捩區(qū)擾動(dòng)波的各次諧波的演化規(guī)律及速度幅值分布.在文獻(xiàn)的圖13中可以清楚地看到,即使在轉(zhuǎn)捩后期,當(dāng)總擾動(dòng)幅值達(dá)0.14時(shí),其基本波的幅值已達(dá)0.12.基本波與總擾動(dòng)波僅在峰值處稍有差別,而在其他地方則幾乎可以完全代表總擾動(dòng),而且基本波的形狀和T-S波的形狀基本一致.因此在我們的計(jì)算中可以取(1)式所給出的速度分布形式來近似地代表相干結(jié)構(gòu)的速度分布形式,但它們的幅值則不能用弱非線性理論給出的演化規(guī)律來表達(dá),而必須另外設(shè)法給定,具體的給定方法將在下一節(jié)中給出.需要說明的是,這里我們并不是把Kachanov對(duì)層流邊界層所做的實(shí)驗(yàn)和整個(gè)湍流邊界層相比,而只是把它和單個(gè)相干結(jié)構(gòu)在破碎前的情況相比.而單個(gè)相干結(jié)構(gòu)破碎前正好和轉(zhuǎn)捩前的情況相對(duì)應(yīng).而相干結(jié)構(gòu)的破碎伴隨著抬升,其影響區(qū)已經(jīng)超出了我們的計(jì)算區(qū).2實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析不考慮輻射、熱源及粘性引起的摩擦生熱項(xiàng),則不可壓流體的Fourier能量方程為其中ρ是密度,Cv是定容比熱,T是溫度,κ為分子熱擴(kuò)散系數(shù),Δ是梯度算子.將速度分解為其中U是平均流速度,是由(1)式所給的速度(其中的參數(shù)如何選擇將在下面給出),u′則是小尺度湍流脈動(dòng)速度.這里的一個(gè)基本假定就是小尺度湍流脈動(dòng)規(guī)律在不同的流動(dòng)中具有一定的普適性,因而其作用可以用基本相同的公式描述.而相干結(jié)構(gòu)則對(duì)不同流動(dòng)有不同規(guī)律,這正是通常的湍流模式理論中的參數(shù)不具有普適性的原因.由于U及是已知的,用代表,于是(3)式可以改寫為由于小尺度湍流的隨機(jī)性,其作用類似于分子混合的作用,所以可以將與其有關(guān)的項(xiàng)寫成近似于分子傳熱的梯度形式,即設(shè)其中κt是湍流渦傳熱系數(shù).將方程無量綱化,令其中TW是平板壁面溫度,T0是邊界層外來流溫度,U0為來流速度,δ為邊界層名義厚度.為簡單計(jì),以下的公式中略去無量綱量上的*號(hào),則(4)式無量綱化后可寫為其中是Reynolds數(shù),是Prandtl數(shù),在本文中取為0.71.小渦對(duì)動(dòng)量及標(biāo)量輸運(yùn)機(jī)理相近,數(shù)值模擬也證明了這一點(diǎn),因此αt的表達(dá)式可以參照文獻(xiàn)中的小渦渦粘系數(shù)的表達(dá)式而寫為這實(shí)際上是在離壁稍遠(yuǎn)處幾為常數(shù)(小渦的普適性)而在壁面處減為零(壁面修正)的一種分布.其形式與實(shí)驗(yàn)測得的渦粘系數(shù)經(jīng)間歇因子修正后的分布類似.但如文獻(xiàn)中指出的,實(shí)驗(yàn)所測得的值實(shí)際已包含了相干結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的Reynolds應(yīng)力的影響,所以小渦渦粘系數(shù)的值應(yīng)遠(yuǎn)小于實(shí)驗(yàn)之值.在湍流Prandtl數(shù)的值接近于1的情況下,渦粘系數(shù)和渦傳熱系數(shù)的無量綱值也相近.因此,由文獻(xiàn)中所給的渦粘系數(shù)值,可得αt與Re的關(guān)系為將(7)式再簡化為這相當(dāng)于略去了.從計(jì)算后的后驗(yàn)估計(jì)看是可以的.用時(shí)間分裂法積分(11)式,即將其寫為則(12)式是一擴(kuò)散型方程,其意義為熱量由于分子及小渦的影響而得以擴(kuò)散.而(13)式則相當(dāng)于一輸運(yùn)方程,相當(dāng)于流體微團(tuán)在以速度u0輸運(yùn)時(shí)溫度保持不變.由于我們考慮的是湍流邊界層的近壁區(qū),所以從文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)曲線找到y(tǒng)/δ=0.08處的無量綱溫度為0.3作為一個(gè)邊界條件.另一條件為y=0時(shí),T=1.T的初值可以任意給定,當(dāng)積分(11)式至溫度準(zhǔn)定常后即可計(jì)算平均溫度剖面,Nusselt數(shù)等.在積分(11)式前,需要解決如何確定的問題.前面已經(jīng)提到,可通過(1)式表達(dá),但有一個(gè)參數(shù)及幅值演化規(guī)律如何確定的問題.首先,在實(shí)際問題中相干結(jié)構(gòu)有無窮多種情況,所以才有一個(gè)概率密度問題.但從平均結(jié)果看是一個(gè)對(duì)稱的流場,所以第一種選擇是取一個(gè)對(duì)稱的共振三波,即令β1=0,α2=α3,β2=-β3,ω2=ω3,且u2=u3,v2=v3,w2=-w3.這里u,v,w是速度沿流向、法向及展向的分量.選取a1和a2的比值,使得的分量的最大值之比與實(shí)驗(yàn)中的比值相等,為0.14/0.04.考慮到實(shí)際情況中相干結(jié)構(gòu)從生成、增長到破碎是準(zhǔn)周期性的,其周期與(1)式所定的周期相近,我們就取(1)式所給定的周期,但人為給定一個(gè)增長率而不用其中的ωi.其條件是當(dāng)a1,a2從一個(gè)初始的小值增長到一個(gè)周期結(jié)束后,在這一個(gè)周期內(nèi)u的最大值的均方根值與實(shí)驗(yàn)中湍流脈動(dòng)最大處的均方根值相等.到下一個(gè)周期中重復(fù)這一過程.當(dāng)然,這一放大率與a1,a2的初值有關(guān).可以給不同的初值及放大率,但都滿足上述條件.計(jì)算結(jié)果表明,只要上述條件滿足,所得Nusselt數(shù)變化很小,所以這一計(jì)算模型是可用的.另一種做法是選取能代表各種相干結(jié)構(gòu)的一個(gè)集合,然后按照它們出現(xiàn)的概率在每一周期內(nèi)隨機(jī)選取其中之一.但這樣做需要事先儲(chǔ)存很多有關(guān)相干結(jié)構(gòu)的流場數(shù)據(jù).在文獻(xiàn)中,為了得到凈環(huán)量概率分布密度,一共有約400個(gè)相干結(jié)構(gòu).所以這樣做很困難.一個(gè)大大簡化的方法是選取有限幾個(gè)作為有代表性的集合.我們一共選取了三個(gè)有代表性的相干結(jié)構(gòu).一個(gè)仍是上述對(duì)稱的,另兩個(gè)分別是對(duì)應(yīng)于概率最大的兩個(gè),而它們實(shí)際上對(duì)于流向是相互對(duì)稱的.在每一周期中,按它們的概率隨機(jī)選取其中之一代表在流場中的相干結(jié)構(gòu).其幅值的變化同樣按上一段所述原則確定.也試了初始、幅值和放大率的不同組合,但要求u在一個(gè)周期內(nèi)均方根值的最大值與實(shí)驗(yàn)中所得的相同.這里和對(duì)稱情況不同,僅有u和v均方根值最大值的比值不足以完全確定a1,a2,a3的相對(duì)比值,其中有一個(gè)還可以任意給定.所以我們還試了幾組不同的比值.但計(jì)算結(jié)果表明,只要滿足了上述均方根值的條件,Nusselt數(shù)基本不變.在積分(12)、(13)式時(shí),顯然,由于(13)式具有溫度隨流體微團(tuán)不變的性質(zhì),用Lagrange觀點(diǎn)去積分更為容易.(12)式可以用隨機(jī)游走法積分,實(shí)際上也是Lagrange觀點(diǎn)的做法.所以,具體的做法是,在事先劃分好網(wǎng)格后,自每一網(wǎng)格點(diǎn)出發(fā),對(duì)每一時(shí)間步長,先按給定的u0行走一步,接著按(12)式對(duì)隨機(jī)游走的要求再隨機(jī)游走一步.在此行走和游走的過程中,流體微團(tuán)溫度不變.然后用網(wǎng)格點(diǎn)附近的點(diǎn)的溫度插值而重新求得網(wǎng)格點(diǎn)上的溫度值后再重新開始下一步.由于靠近壁面處網(wǎng)格很密,所以時(shí)間步長必須很小,這是這種積分方法的缺點(diǎn).積分的區(qū)間是對(duì)共振三波來說具有周期性的一個(gè)區(qū)域.在只有一個(gè)共振三波時(shí),這一區(qū)域是固定的,積分不存在問題.而對(duì)隨機(jī)選取一組共振三波這種做法,不同的共振三波其積分區(qū)域是不同的.故在每個(gè)周期開始時(shí),其初值不滿足周期性條件.但積分幾步后即可把這種不連續(xù)性光滑掉.3不同相干結(jié)構(gòu)下的熱效應(yīng)對(duì)實(shí)際問題最有興趣的是計(jì)算單位面積平均熱流量,這可以用Nusselt數(shù)來表達(dá).對(duì)邊界層流,Nusselt數(shù)Nu可定義為這里q是平均熱流量.由于在壁面處,無論是相干結(jié)構(gòu)還是小尺度湍流的影響都不存在,所以只要先算出平均溫度在壁面處的梯度dT/dyy=0,就可以算出平均熱流量(有量綱的),這里T是平均溫度:所以實(shí)際上圖1是不同Re數(shù)下的平均溫度分布,圖2是Nu和Re數(shù)的關(guān)系.其中實(shí)線是由實(shí)驗(yàn)值用曲線擬合而得的,虛線值是由本文模型算得的.圖3(a)是用本文模型算的用灰度來表示的瞬時(shí)溫度分布,Re=50000,從中可以明顯的看出條紋結(jié)構(gòu),其中共振三波只是一組對(duì)稱的.圖3(b)取自文獻(xiàn),是由直接數(shù)值模擬而得的.圖3(b)無論在展向還是流向都包含了很多相干結(jié)構(gòu).可以看出其條紋大多數(shù)都不是純流向的.如果我們隨機(jī)選取相干結(jié)構(gòu),然后把不同相干結(jié)構(gòu)引起的條紋結(jié)構(gòu)在空間上拼接起來,則也可以得到不十分規(guī)則的條紋結(jié)構(gòu).在y+=30的圖中,條紋結(jié)構(gòu)十分清楚,說明這時(shí)相干結(jié)構(gòu)的作用是主要的.而y+=10及y+=80的兩圖中,條紋結(jié)構(gòu)規(guī)則性差得多,這是因?yàn)樵谀抢锵喔山Y(jié)構(gòu)的作用與小尺度湍流比已不占絕對(duì)優(yōu)勢.這從圖2中平均溫度分布在y/δ≈0.01～0.03間有一個(gè)梯度平臺(tái)可以看出來.在那個(gè)范圍,熱量輸運(yùn)主要是相干結(jié)構(gòu)的輸運(yùn),而梯度型的擴(kuò)散只占次要部分,順便說一下,在湍流Prandtl數(shù)近似于1的情況下,速度分布條紋結(jié)構(gòu)和溫度分布條紋結(jié)構(gòu)很相似.4相干結(jié)構(gòu)問題利用相干結(jié)構(gòu)的知識(shí),的確可以給出物理意義更明確的湍流計(jì)算模型.其中盡管還有一些參數(shù)需利用實(shí)驗(yàn)確定,但它們都有明確的物理意義.不像普通模式理論中的參數(shù)沒有明確的物理意義.而且這種模型是符合“魯棒性(Robustness)”的要求的.本文提出的模型的一個(gè)缺點(diǎn)是在計(jì)算相干結(jié)構(gòu)時(shí)未考慮到熱流的影響.但壁湍流是在強(qiáng)剪切下產(chǎn)生的,熱流的影響估計(jì)不是主要的因素.另一個(gè)缺點(diǎn)是用Lagrange觀點(diǎn)去積分(12)、(13)式,雖然物理概念很清楚,但是比較費(fèi)時(shí),需要尋找更有效的積分方法.其中u1,u2,u3是由特征值問題解出的特征函數(shù),已按一定條件正規(guī)化,因而a1,a2,