現(xiàn)代數(shù)字信號處理課程回顧第一章時域離散隨機(jī)信號的分析第二章維納濾波和卡爾曼濾波第三章自適應(yīng)數(shù)字濾波器第四章功率譜估計(jì)第五章時頻分析第一章時域離散隨機(jī)信號的分析主要內(nèi)容：平穩(wěn)隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)序列數(shù)字特征的估計(jì)平穩(wěn)隨機(jī)序列通過線性系統(tǒng)時間序列信號模型對一個隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)描述，可以由這個序列的自相關(guān)函數(shù)來高度概括。對一平穩(wěn)隨機(jī)信號，只要知道它的自相關(guān)函數(shù)，就等于知道了該隨機(jī)信號的主要數(shù)字特征。自相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)：的特性的特性mm各態(tài)遍歷性：

只要一個實(shí)現(xiàn)時間充分長的過程能夠表現(xiàn)出各個實(shí)現(xiàn)的特征，就可以用一個實(shí)現(xiàn)來表示總體的特性。〈x(n)〉=mx=E［X(n)］〈x*(n)x(n+m)〉=rxx(m)=E［X*(n)X(n+m)］功率密度譜：

維納–––辛欽定理（Wiener-KhinchinTheorem）

Pxx(ω)≥0隨機(jī)序列數(shù)字特征的估計(jì)：估計(jì)準(zhǔn)則：無偏性、有效性、一致性均值的估計(jì)：方差的估計(jì)：自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)：平穩(wěn)隨機(jī)序列通過線性系統(tǒng)：相關(guān)卷積定理：卷積的相關(guān)函數(shù)等于相關(guān)函數(shù)的卷積e(n)=a(n)*b(n)f(n)=c(n)*d(n)

ref(m)=rac(m)*rbd(m)

ryy(m)=rxx(m)*v(m)=rxy(m)*h(-m)時間序列信號模型：MA模型ARMA模型AR模型濾波器階數(shù)：對于IIR濾波器或者AR模型、ARMA模型，階數(shù)是指p的大小，如果用差分方程表示，則p就是差分方程的階數(shù)。對于FIR濾波器或者M(jìn)A模型的階數(shù)，則是指q的大小，或者說是它的長度減1。三種信號模型可以相互轉(zhuǎn)化，而且都具有普遍適用性，但是對于同一時間序列用不同信號模型表示時，卻有不同的效率。這里說的效率,指的是模型的系數(shù)愈少，效率愈高。譜分解定理：

如果功率譜Pxx(ejω)是平穩(wěn)隨機(jī)序列x(n)的有理譜，那么一定存在一個零極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)的有理函數(shù)H(z),滿足式中，ak,bk都是實(shí)數(shù)，a0=b0=1,且|αk|＜1,|βk|＜1。rxx(m)Pxx(z)H(z)Z變換Z反變換譜分解自相關(guān)函數(shù)、功率譜、時間序列信號模型三者之間關(guān)系第二章維納濾波和卡爾曼濾波主要內(nèi)容：FIR維納濾波求解IIR維納濾波求解維納一步線性預(yù)測x(n)=s(n)+v(n)最佳濾波器：維納—霍夫方程：

維納-霍夫（Wiener－Hopf）方程：FIR維納濾波求解：k=0,1,2,…

設(shè)定d(n)=s(n)，對上式兩邊做Z變換，得到Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z)非因果IIR維納濾波求解：

信號和噪聲不相關(guān)時因果IIR維納濾波求解：

對于因果IIR維納濾波器，其維納－霍夫方程為k=0,1,2,…圖2.3.5利用白化x(n)的方法求解維納-霍夫方程

利用白化x(n)的方法求解維納-霍夫方程:

因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解為

因果維納濾波的最小均方誤差為

通過前面的分析,因果維納濾波器設(shè)計(jì)的一般方法可以按下面的步驟進(jìn)行：

(1)根據(jù)觀測信號x(n)的功率譜求出它所對應(yīng)的信號模型的傳輸函數(shù)，即采用譜分解的方法得到B(z)。

(2)求 的Z反變換，取其因果部分再做Z變換，即舍掉單位圓外的極點(diǎn)，得

(3)積分曲線取單位圓，應(yīng)用（2.3.38）式和（2.3.39）式，計(jì)算Hopt(z),E［|e(n)|2］min。維納預(yù)測：圖2.4.1(b)維納預(yù)測器圖2.4.1(a)維納濾波器一步線性預(yù)測：采用p個最近的采樣值來預(yù)測時間序列下一時刻的值，包括前向預(yù)測和后向預(yù)測兩種。

前向預(yù)測：

得到下面的方程組：

將方程組寫成矩陣形式

（Yule-Walker方程）第三章自適應(yīng)數(shù)字濾波器主要內(nèi)容：LMS自適應(yīng)橫向?yàn)V波器LMS自適應(yīng)格型濾波器自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用LMS自適應(yīng)橫向?yàn)V波器：e(n)=d(n)-y(n)

最佳權(quán)矢量W*和最小均方誤差：

其中,μ是一個控制穩(wěn)定性和收斂速度的參量，稱之為收斂因子。方向是性能函數(shù)下降最快的方向，因此稱為最陡梯度下降法。Widrow-HoffLMS算法：

最陡下降法：Widrow-HoffLMS算法：采用梯度的估計(jì)值代替梯度的精確值。

LMS算法加權(quán)矢量是在最陡下降法加權(quán)矢量附近隨機(jī)變化的，

其統(tǒng)計(jì)平均值等于最陡下降法的加權(quán)矢量。圖

3.2.10LMS算法穩(wěn)態(tài)誤差

μ值的影響

對穩(wěn)定性的影響：

對收斂速度的影響：預(yù)測誤差格型濾波器：LMS自適應(yīng)格型濾波器：在滿足預(yù)測誤差的均方值最小的準(zhǔn)則下，最佳自適應(yīng)格型濾波器求解關(guān)鍵在于計(jì)算出反射系數(shù)。其方法有：自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用：

自適應(yīng)抵消器：（只有與參考輸入相關(guān)的信號才能被抵消）參考輸入端存在一定的有用信號：

當(dāng)有信號分量泄漏到參考輸入中時，噪聲的抵消能力可以通過比較輸入端的信噪比、參考輸入端的信噪比及輸出端的信噪比數(shù)值大小來評價。

泄露到參考輸入端的有用信號越少，抵消效果越好。

自適應(yīng)逆濾波：自適應(yīng)均衡器與自適應(yīng)解卷積問題都可歸結(jié)為用自適應(yīng)的方法求逆濾波系統(tǒng)的問題。自適應(yīng)均衡器用以補(bǔ)償信道干擾的影響，使接收信號與發(fā)送信號完全一致。h(n)w(n)第四章功率譜估計(jì)主要內(nèi)容：經(jīng)典譜估計(jì)：BT法、周期圖法、修正周期圖法；現(xiàn)代譜估計(jì)：AR模型法BT法：周期圖法：

周期圖屬于漸近無偏估計(jì)，方差很大，不是一致估計(jì)。修正周期圖法：Bartlett平均周期圖法窗口處理法平均周期圖Welch法（修正的周期圖求平均法）

結(jié)論：傳統(tǒng)的功率譜估計(jì)方法，采用觀測到的N個樣本值估計(jì)功率譜，認(rèn)為在此觀察到的N個數(shù)據(jù)以外的x(n)=0。因此，無論采取哪一種改進(jìn)方法，總是以減少分辨率為代價，換取估計(jì)方差的減少，提高分辨率的問題無法根本解決。

估計(jì)功率譜的方法：首先根據(jù)信號觀測數(shù)據(jù)估計(jì)信號自相關(guān)函數(shù)；求出模型參數(shù)；最后按照下式求出信號的功率譜:AR模型法：AR模型隱含著自相關(guān)函數(shù)外推的特性，使它具有高分辨率的優(yōu)點(diǎn)。

m≥1m=0

0≤m≤p

m>p

信號預(yù)測誤差最小原則（或預(yù)測誤差功率最?。┳韵嚓P(guān)法（Levinson遞推法）Burg法協(xié)方差法修正協(xié)方差法關(guān)于AR模型階次的選擇如果是純P階AR信號，應(yīng)選擇模型階次k≥P。

如果選擇模型階次k＜P時，將產(chǎn)生對譜的平滑作用，降低譜的分辨率。對于白噪聲中的AR信號，其階次的選擇應(yīng)折衷考慮。如選擇AR模型，其階次應(yīng)加大，較低的階次會使譜估計(jì)產(chǎn)生偏移，降低分辨率。信噪比愈低，平滑作用愈嚴(yán)重，愈需要高的階次，因此信噪比低應(yīng)選高的階次。階次愈高，分辨率愈高；但階次太高，會使估計(jì)誤差加大，譜峰分裂。第五章時頻分析主要內(nèi)容：線性時頻分析：短時傅里葉變換、小波分析；雙線性時頻分析：維格納變換（WD）。傅立葉變換的不足：缺乏時間和頻率的定位功能；分析時變信號和非平穩(wěn)信號的局限性；分辨率上的局限性，受不確定原理的約束。STFT特點(diǎn)：STFT要求窗口內(nèi)信號平穩(wěn)，即窗口不能太長；時間分辨率和頻率分辨率受不確定定理限制，不能同時任意??；窗口固定不變，分辨率單一；窗函數(shù)選擇難；STFT建立在信號穩(wěn)態(tài)基礎(chǔ)之上，不能及時反映信號頻譜隨時間變化的情況。小波分析：小波基函數(shù)

當(dāng)用較小的a對信號作高頻分析時，實(shí)際上是用高頻小波對信號作細(xì)致觀察;當(dāng)用較大的a對信號作低頻分析時，實(shí)際上是用低頻小波對信號作概貌觀察。

a取不同值時小波變換對信號分析的時－頻區(qū)間

小波變換的特點(diǎn)多分辨率分析方法；小波變換的時頻關(guān)系受不確定原理的制約，在時頻平面上的分析窗是可調(diào)的，但分析窗的面積保持不變；采用不同的尺度a作處理時，各個Ψ(aΩ)的中心頻率和帶寬都不一樣，但是它們的品質(zhì)因數(shù)Q卻是相同的，即“中心頻率／帶寬”為常數(shù)。維格納變換：（最簡單的時頻分布形式）WD服從二次疊加原理。

時頻域(t,f)——時間-頻率平面。模糊函數(shù)：

模糊域（θ,τ）——