微專題1比較大小的方法考點一考點一作差、作商法比較大小【方法儲備】若兩個待比較的代數(shù)式為同類型，可直接利用作差法，作商法，比較大小.【典例精講】例1.(2023·山東省青島市月考)（多選）下列不等式不恒成立的是(

)A.a2+3>2a B.a2+b2解：A:a2+3-2a=(a-1)2+2>0恒成立，所以a2+3>2a，故A正確；

B:a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0，所以a2+例2.(2022·四川省成都市月考)已知a=logπe2，b=lnπe，c=A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a解：a=logπ?e2=lne2lnπ=2lnπ，

b=lnπe=lnπ-ln?e=lnπ-1，例3.(2023·湖北省期末)若a=log23，b=log4A.a=b=c B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a解：2a=log23，2b=log∵3>6，2c又c，b都大于0，∴c<b．∴c<b<a，

故選：D．【拓展提升】練11(2023·遼寧省沈陽市模擬)已知a=log53，b=log138，A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a解：∵a-34=log53-34=4log53-34=log581-log51254<0，∴a<34，練12(2023·江蘇省揚州市月考)已知a=5，b=15(ln?4-ln?3)，c=16(lnA.a<c<b B.c<b<a C.b<a<c D.a<b<c解：先比較a與b大小，即比較1與3ln43大小，

比較13與ln43大小，比較e13與43大小，比較e與(43)3大小，

e>2.5，(43)3<2.5，∴e>(43)3，∴a>b，

比較b與c考點二考點二基本不等式法比較大小【方法儲備】利用基本不等式及其變形,比較大小.【典例精講】

例4.(2022·陜西省寶雞市月考)設f(x)=lnx，0<a<b，若p=f(ab)，q=f(a+b2)A.q=r<p B.p=r<q C.q=r>p D.p=r>q解：設f(x)=lnx，0<a<b，即有a+b2>ab，

則p=f(ab)=lnab=12例5.(2023·江蘇省揚州市模擬)設a=log53，b=log85A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b解：∵ab=log53log85=log53?log58<(log53+log58)【拓展提升】練21(2023·江西省南昌市模擬)（多選）設a>0，b>0，則下列不等式中一定成立的是(

)A.2aba+b≥ab B.(a+b)解：對于A，因為a>0，b>0，所以

a+b≥2ab，當且僅當a=b時取等號，

所以a+b?ab≥2ab，

所以2aba+b≤ab，故A中不等式不成立；

對于B，a+b1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba?≥1-3ab22a2·2b練22(2022·廣東省廣州市模擬)（多選）已知a>0,b>0，且2a+8b=1，則A.3a-4b>33 B.解：對于A，因為a>0，b>0，且2a+8b=1，

所以2a-8b=2a-(1-2a)=4a-1>-1，

所以32a-8b>3-1=對于B，(2a+8b)2=2a+8b+22a?8b=1+22a?8b≤1+(2a+8b)=2，

當且僅當對于C，log2(2a)+log2(8b)=log2(2a·8b)≤log2(2a+8b2對于D，已知a>0，b>0，且2a+8b=1，

所以(2a+8b)2≤2(2a)2+(8b)2，

即1故選ABC．考點三性質(zhì)法考點三性質(zhì)法比較大小【方法儲備】1.直接利用不等式的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小.2.化為同分母或同底數(shù)、同指數(shù)、同真數(shù)的對數(shù)式和指數(shù)式，利用其單調(diào)性進行比較.3.借助中間值進行比較：函數(shù)類型、底數(shù)和真數(shù)都不一樣,直接比較或利用函數(shù)性質(zhì)判斷有一定困難時,可以借助一個恰當?shù)闹虚g變量比較大小.4.借助對數(shù)運算的性質(zhì)比較大?。簩?shù)的底數(shù)和真數(shù)都是較小的正整數(shù),或者對數(shù)的真數(shù)和底數(shù)存在一定的倍數(shù)關系,則可采用對數(shù)運算的性質(zhì)，進行化簡變形，再比較大小.【典例精講】

例6.(2023·山東省新高考聯(lián)合模擬)（多選）已知實數(shù)a，b，c滿足a>b>c，且a+b+c=0，則下列說法正確的是(

)A.1a-c>1b-c B.a-c>2b解：由題意得實數(shù)a，b，c滿足a>b>c，且a+b+c=0，則由題干得a>0，c<0，a-c>0，b-c>0，b-a<0，

對于A：1a-c-1b-c=b-c-a+ca-cb-c=b-aa-cb-c<0，則1a-c<1b-c，故A錯誤；

對于B：由題意得a-b>0，-a<0，可得a-b>-a，即a-b>b+c，也即a-c>2b，故B正確；

對于C：a2例7.(2022·浙江省金華市月考)

設a=0.540.45，b=0.450.54，c=log0.540.45A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.c>a>b解：因為f(x)=0.54x在R上遞減，

所以1=0.540>0.540.45>0.540.54，

又因為h(x)=x0.54在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以0.540.54>0.450.54>0，

由1=0.540例8.(2023·安徽省亳州市模擬)已知a=23ln10，b=103ln2，c=3A.a<c<b B.b<c<a C.c<a=b D.a=b<c解：由a=23ln10，b=103ln2，c=34ln3，整理變形為，

lna=3ln10·ln2，lnb=3ln2·ln10，lnc=4ln3·ln3，

可得lna=ln例9.(2022·云南省曲靖市模擬)已知定義在R上的函數(shù)fx=x?2x,a=flogA.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a解：因為定義在R上的函數(shù)fx對于?x∈R，都有f(-x)=-x?2所以函數(shù)fx=x?2當x∈(0,+∞)時，函數(shù)f(x)=x?2x，則所以函數(shù)f(x)=x?2x在因為a=f(log5由對數(shù)函數(shù)y=log5x(x>0)所以f(log52)>f(lo又因為ln72>lne=1>lo所以b>c>a，故選：B．【拓展提升】練31(2022·廣東省汕頭市模擬)（多選）已知x，y均大于0，ex+x=ey+2y，則下列結論正確的是A.log3x<log3y B.解：∵x，y均大于0，ex+x=ey+2y>ey+y，而f(x)=ex+x是增函數(shù)，∴x>y>0，

對于A，y=log3x在(0,+∞)上是增函數(shù)，∴l(xiāng)og3x>log3y，故A錯誤；

對于B，y=x-23在(0,+∞)上是減函數(shù)，∴x-23<y練32(2022·期末)已知0<a<b，logax+logby<logay+logA.當logab>0時，x>y B.當logab>0時，x<y

C.當logab<0時，x<y D.當解：由0<a<b，logax+logby<logay+logbx，可得logaxy1-1log又y>0，則x<y;

若0<a<1，則0<a<b<1，所以logab<1，則1-1logab<0,

所以logaxy>0=loga1,

所以0<xy<1，又y>0，則x<y，故B正確，A錯誤；

當logab<0時，又0<a<b，所以0<a<1考點四考點四數(shù)形結合比較大小涉及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的方程，比較方程根大小，對方程進行同底化恒等變形,引入?yún)?shù),把方程問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標問題,利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確根的大小關系，進而比較大小.【典例精講】例10.(2023·江西省南昌市模擬)若正數(shù)x，y，z滿足5x=6y=A.z>y>x B.z>x>y C.y>z>x D.x>z>y解：設5x=6y=log7z=k>1，則x=log5k，易得7k>log5k>例11.(2022·湖南省邵陽市模擬)已知a=x13，b=(13)xA.當a=b時，c<a B.當b=c時，a<c

C.當a=c時，b<a D.當c=0時，a<b解：當a=b時，x=13，此時c=log所以當a=b時，有c>a，故A錯誤；

作出a=x13，b=(13)x，c=log13x，的圖象如下圖：

當b=c時，即兩圖象在交點A處相等，

設交點橫坐標為t，此時t13>log13t，所以a>c，故B錯誤；

同理，如圖，當a=c【拓展提升】練41(2022·陜西省寶雞市模擬)已知f(x)=(35)|x-1|，則下列不等關系正確的是(

)A.f(log27)<f(log0.52.5)<f(1)解：畫出函數(shù)f(x)=(3，

函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱，

由函數(shù)f(x)的圖象可知，f(1)是最大值，

∵|log27-1|=|log27-log22|=log272<2練42(2023·湖北省孝感市月考)（多選）已知實數(shù)a，b，c滿足clna=c?eb=1，則下列關系式中可能成立的是(

)A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a解：由clna=c?eb=1可得lna=eb=1c，

設lna=eb=1c=t,t>0,

則a=et,b=lnt,c=1t考點五考點五構造具體函數(shù)比較大小【方法儲備】1.移項構造函數(shù)：已知條件的數(shù)學結構非常對稱,并且含有兩個變量x和y，對于兩個變量的式子，常采用移項構造函數(shù)的方法構造新函數(shù),然后通過求導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并結合對數(shù)運算，從而解決問題.2.單調(diào)性構造法：構造相同函數(shù)，比較不同函數(shù)值.3.作差、作商構造法：構造不同函數(shù)，比較相同函數(shù)值.通過作差、作商構造函數(shù)，研究單調(diào)性，比較函數(shù)值與0或1的大小關系.4.放縮法比較大?。悍趴s法與構造函數(shù)法相結合，利用等式兩邊形式上接近的特點，利用相關結論，進行適當放縮，使其在形式上一致，從而構造函數(shù).常用結論：=1\*GB2⑴與指數(shù)型函數(shù)有關的常見不等式有：=1\*GB3①ex≥x+1，=2\*GB3②ex≥ex，=3\*GB3③當x∈0,1時，ex<11-x，=4\*GB3④ex≥1+x+12=2\*GB2⑵與對數(shù)型函數(shù)有關的常見不等式有：=1\*GB3①lnx≤x-1，=2\*GB3②lnx≥1-1x，=3\*GB3③lnx<x，=4\*GB3④當x∈0,1時，12x-1x<lnx<x-1；當x∈=3\*GB2⑶與三角函數(shù)有關的常見不等式有：=1\*GB3①當x∈0,π2時，sinx<x<tanx，=2\*GB3②當x∈0,+∞時，sinx<x，=3\*GB3③1-12x2【典例精講】例12.(2022·重慶市聯(lián)考)若2a-2bA.3a-b>1 B.(13解：由2a-2b>lnb-lna，可得2a+lna>2b+lnb，

由于函數(shù)f(x)=2x+lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

∴f(a)>f(b)，∴a>b>0，

∴3a-b>30=1，故A正確；

∵y=(1例13.(2023·湖南省長沙市月考)已知a=ln33，b=e-1，c=3ln28A.b>c>a B.a>c>b C.a>b>c D.b>a>c解：a=ln33,b=lnee,c=ln88；

設f(x)=lnxx，x>0，∴x≥e時，f'(x)≤0，

∴f(x)在[e,+∞)上單調(diào)遞減，例14.(2023·江西省百校聯(lián)考)設a=ln1.1,b=e0.1-1,c=A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<a<c解：令fx=ex-x+1，所以f'x=ex-1，

當x>0時f'x>0，當x<0時f'x<0，

即函數(shù)fx在-∞,0上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，

所以fxmin=f0=0，

即ex≥x+1，當且僅當x=0時取等號，

令x=0.1，可得b=e0.1-1>0.1，

令h(x)=tanx-x，x∈(0,π2)，則h'(x)=1cos2x-1>0，

∴h(x)=tanx-x在x∈(0,π2)上單調(diào)遞增，

∴h(x)>tan0-0=0，∴x∈(0,π2)時，tanx>x．∴c=tan0.1>0.1，

令gx=lnx-x+1，則g'x=1x-1=1-xx，

所以當0<x<1時，g'x>0，當x>1時，g'x<0，

即函數(shù)gx在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，

所以g例15.(2023·北京市市轄區(qū)專項測試)設a=e0.01，b=1.01，c=ln1.01，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則(

)A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b解：令f(x)=ex-(x+1)，則f'(x)=ex-1，

當x≥0時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(0.01)=e0.01-1.01>f(0)=0，即e0.01>1.01，

令g(x)=lnx-x，則g'(x)=1x-1=1-xx，

當【拓展提升】練51(2023·浙江省杭州市期中)若7a=5，8b=6，e2c=2+e2，則實數(shù)a，A.a>c>b B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c解：∵7a=5，8b=6，

∴a=log75,b=log86，

∵

e2c=2+e2，∴2+e2c=e2，即c=log2+e2e2，

令f(x)=logx+2x，x∈e,+∞，

則f(x)=lnxln(x+2)，x∈e,+∞，

∴

f'x=1xln(x+2)-1練52(2023·山東省青島市模擬)若ea+lna=eA.a2>b B.2a>b C.a解：ea+lna=eb+12ln(eb)=eb+lneb=eb+練53(2023·江蘇省鎮(zhèn)江市模擬)（多選）e是自然對數(shù)的底數(shù)，m，n∈R，已知mem+lnn>nlnn+A.若m>0，則m-n>0 B.若m>0，則em-n>0

C.若m<0，則m+lnn<0 D.若解：原式變形為mem-m>nlnn-lnn，

構造函數(shù)f(x)=xex-x，f'(x)=ex(x+1)-1，

∵x>0時，ex(x+1)>1，∴f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

∵x<0時，ex(x+1)<1，∴f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減

對于A，取m=n=1滿足原式，所以A錯；

對于原式?f(m)>f(lnn)，∴m>lnn，即em>n，所以B對；

對于C，當lnn≤0時，顯然會有m+lnn<0;

當lnn>0時，根據(jù)單調(diào)性可設f(t)=f(m)>f(lnn)，t>0且∴h(m)<0，即f(t)=f(m)<f(-m)，

又∵x>0時，f(x)單調(diào)遞增，∴t<-m，∴l(xiāng)nn+m<t+m<0，故C對；

對于D，取m=-2，n=1e，滿足原式，但練54(2023·安徽省黃山市月考)已知a，b，c滿足a=sin13，b=e-13A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b解：由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，a=sin?13<sinπ6=1設y=lnxx，則y'=(lnxx)'=1-lnxx2

當x>e時，y'<0，所以函數(shù)y=lnxx在(e,+∞)單調(diào)遞減，

則ln33<lne練55(2023·湖北省黃岡市月考)設a=2ln1.01，b=ln1.A.a<b<c B.b解：∵a=2ln1.01=ln1.0201，b=ln1.02，∴a>b，

令f(x)=2ln(1+x)-(1+4x-1)，0<x<1，

令1+4x=t，則1<t<5，

∴x=t2-14，∴g(t)=2ln(t2+34)-t+1=2ln(t2+3)-t+1-2ln4，

∴g'(t)=4tt2+3-1=4t-t2-3t2+3=-(t-1)(t-3)t2+3>0，1<t<5，

∴g(t)在(1,5)上單調(diào)遞增，

∴g(t)>g(1)=2ln4-1+1-2ln4=0，

∴f(x)>0，即2ln(1+x)>1+4x-1，0<x<1，

取x=0.01，則2ln1.01>1.04考點六考點六構造抽象函數(shù)模型比較大小【方法儲備】根據(jù)題目給定的代數(shù)形式構造抽象函數(shù)模型：=1\*GB2⑴觀察兩個結構：=1\*GB3①等價不等式的變形結構(分離變量)；=2\*GB3②已知條件中關于導數(shù)f'(x)的關系式特征；=2\*GB2⑵構造抽象函數(shù)模型：定義域→觀察結構→結合函數(shù)四則運算的求導公式構造函數(shù)→求導(生成已知條件形式)→單調(diào)性→求解問題的“等價不等式(分離變量)”.另外，選擇題還可以構造特殊的函數(shù)解析式解題.【典例精講】例16.(2022·廣東省東莞市月考)已知定義在(0,π