山西省風陵渡中學2023年高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一質點的運動方程為（位移單位：m，時間單位：s），則該質點在時的瞬時速度為（）A.4 B.12C.15 D.212．若雙曲線的一條漸近線方程為.則（）A. B.C.2 D.43．過兩點、的直線的傾斜角為，則的值為（）A.或 B.C. D.4．已知中心在坐標原點，焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B.C. D.5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，則b等于（）A. B.C. D.6．已知為圓：上任意一點，則的最小值為（）A. B.C. D.7．已知直四棱柱的棱長均為，則直線與側面所成角的正切值為（）A. B.C. D.8．方程表示的曲線經(jīng)過的一點是（）A. B.C. D.9．在正方體中中，，若點P在側面（不含邊界）內運動，，且點P到底面的距離為3，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.10．過點的直線與圓相切，則直線的方程為（）A.或 B.或C.或 D.或11．直線與曲線相切于點,則()A. B.C. D.12．若數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，若，且，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一個球表面積為，則該球的半徑為____________14．滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而名傳千古，流芳后世.如圖，在滕王閣旁地面上共線的三點，，處測得閣頂端點的仰角分別為，，.且米，則滕王閣高度___________米.15．已知橢圓，分別是橢圓的上、下頂點，是左頂點，為左焦點，直線與相交于點，則________16．已知在時有極值0，則的值為____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（…是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求的單調區(qū)間；（2）求函數(shù)的零點的個數(shù).18．（12分）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習慣，每年4月23日為世界讀書日.某研究機構為了解當?shù)啬贻p人的閱讀情況，通過隨機抽樣調查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：（1）求的值；（2）為了進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于，和的年輕人中抽取5人，再從中任選2人進行調查，求其中至少有1人每天閱讀時間位于的概率.19．（12分）某市對新形勢下的中考改革工作進行了全面的部署安排.中考錄取科目設置分為固定賦分科目和非固定賦分科目，固定賦分科目（語文、數(shù)學、英語、物理、體育與健康）按卷面分計算；非固定賦分科目（化學、生物、道德與法治、歷史、地理）按學生在該學科中的排名進行等級賦分，即根據(jù)改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為A，，，，，，，共個等級.參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為，，，，，，，.等級考試科目成績計入考生總成績時，將A至等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到，，，，，，，八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績.該市學生的中考化學原始成績制成頻率分布直方圖如圖所示：（1）求圖中的值；（2）估計該市學生中考化學原始成績不少于多少分才能達到等級及以上（含等級）？（3）由于中考改革后學生各科原始成績不再返回學校，只告知各校參考學生的各科平均成績及方差.已知某校初三共有名學生參加中考，為了估計該校學生的化學原始成績達到等級及以上（含等級）的人數(shù)，將該校學生的化學原始成績看作服從正態(tài)分布，并用這名學生的化學平均成績作為的估計值，用這名學生化學成績的方差作為的估計值，計算人數(shù)（結果保留整數(shù)）附：，，.20．（12分）進入11月份，大學強基計劃開始報名，某“五校聯(lián)盟”統(tǒng)一對五校高三學生進行綜合素質測試，在所有參加測試的學生中隨機抽取了部分學生的成績，得到如圖2所示的成績頻率分布直方圖：（1）估計五校學生綜合素質成績的平均值和中位數(shù)；(每組數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點值表示)（2）某校決定從本校綜合素質成績排名前6名同學中，推薦3人參加強基計劃考試，若已知6名同學中有4名理科生，2名文科生，試求這3人中含文科生的概率.21．（12分）已知數(shù)列的首項，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設，求數(shù)列的前項和.22．（10分）如圖，在三棱柱中，，D為BC的中點，平面平面ABC（1）證明：；（2）已知四邊形是邊長為2的菱形，且，問在線段上是否存在點E，使得平面EAD與平面EAC的夾角的余弦值為，若存在，求出CE的長度，若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由瞬時變化率的定義，代入公式求解計算.【詳解】由題意，該質點在時的瞬時速度為.故選：B2、C【解析】求出漸近線方程為，列出方程求出.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，因為，所以，所以.故選：C3、D【解析】利用斜率公式可得出關于實數(shù)的等式與不等式，由此可解得實數(shù)的值.詳解】由斜率公式可得，即，解得.故選：D.4、A【解析】根據(jù)離心率求出的值，再根據(jù)漸近線方程求解即可.【詳解】因雙曲線焦點在軸上，所以漸近線方程為：，又因為雙曲線離心率為，且，所以，解得，即漸近線方程為：.故選：A.5、C【解析】先由cosA的值求出，進而求出，用正弦定理求出b的值.【詳解】因為cosA＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故選：C6、C【解析】設，則的幾何意義為圓上的點和定點連線的斜率，利用直線和圓相切，即可求出的最小值；【詳解】圓，它圓心是，半徑為1，設，則，即，當直線和圓相切時，有，可得，，的最小值為：，故選：7、D【解析】根據(jù)題意把直線與側面所成角的正切值轉化為在直角三角形中的正切值，即可求出答案.【詳解】由題意可知直四棱柱如下圖所示：取的中點設為點，連接，在直四棱柱中，面，面，，在四邊形中，，，故且.面，面，面，.故直線與側面所成角的正切值為.故選：D.8、C【解析】當時可得，可得答案.【詳解】當時可得所以方程表示的曲線經(jīng)過的一點是，且其它點都不滿足方程，故選：C9、A【解析】如圖建立空間直角坐標系，先由，且點P到底面的距離為3，確定點P的位置，然后利用空間向量求解即可【詳解】如圖，以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以，因為,所以平面，因為平面平面，點P在側面（不含邊界）內運動，，所以，因為點P到底面的距離為3，所以，所以，因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：A10、D【解析】根據(jù)斜率存在和不存在分類討論，斜率存在時設直線方程，由圓心到直線距離等于半徑求解【詳解】圓心為，半徑為2，斜率不存在時，直線滿足題意，斜率存在時，設直線方程為，即，由，得，直線方程為，即故選：D11、A【解析】直線與曲線相切于點,可得求得的導數(shù),可得,即可求得答案.【詳解】直線與曲線相切于點將代入可得:解得:由,解得:.可得,根據(jù)在上,解得:故故選:A.【點睛】本題考查了根據(jù)切點求參數(shù)問題,解題關鍵是掌握函數(shù)切線的定義和導數(shù)的求法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.12、B【解析】由等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求出的首項和公差，即可求出.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則解得：，所以.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設球的半徑為，代入球的表面積公式得答案【詳解】解：設球的半徑為，則，得，即或（舍去）故答案為：14、【解析】設，由邊角關系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，結合可解得的值，進而可得長.【詳解】設，因為，，，所以，，，.在中，，即①.，在中，，即②，因為，所以①②兩式相加可得：，解得：，則，故答案為：.15、##【解析】先求出頂點和焦點坐標，求出直線直線與的斜率，利用到角公式求出的正切值，進而求出正弦值.【詳解】由可得：，所以，，，，故，由到角公式得：，其中，所以.故答案為：16、11【解析】由題知，且，所以，得或，①當時，，此時，，所以函數(shù)單調遞增無極值，舍去②當時，，此時，是函數(shù)的極值點，符合題意，∴三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當時，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）時函數(shù)沒有零點；或時函數(shù)有且只有一個零點；時，函數(shù)有兩個零點.【解析】（1）先對函數(shù)求導，然后分和兩種情況判斷導函數(shù)正負，求其單調區(qū)間；（2）由，得，構造函數(shù)，然后利用導數(shù)求出其單調區(qū)間和極值，畫出此函數(shù)的圖像，再判斷圖像與直線的交點情況，從而可得答案【詳解】（1）因為，所以，當時，恒成立，所以的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，令，得；令，得，所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.（2）顯然0不是函數(shù)的零點，由，得.令，則.或時，，時，，所以在和上都是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，時取極小值，又當時，.所以時，關于的方程無解，或時關于的方程只有一個解，時，關于的方程有兩個不同解.因此，時函數(shù)沒有零點，或時函數(shù)有且只有一個零點，時，函數(shù)有兩個零點.【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的零點，解題的關鍵是由，得，構造函數(shù)，然后利用導數(shù)求出其單調區(qū)間和極值，畫出此函數(shù)的圖像，再判斷圖像與直線的交點情況，考查數(shù)形結合的思想，屬于中檔題18、（1）（2）【解析】（1）由頻率之和為1求參數(shù).（2）由分層抽樣的比例可得抽取的5人中，和分別為：1人，2人，2人，再應用列舉法寫出所有基本事件，根據(jù)古典概型的概率計算即可.小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖得：，解得；【小問2詳解】由于，和的頻率之比為：，故抽取的5人中，，和別為：1人，2人，2人，記的1人為，的2人為，，的2人為，，故隨機抽取2人共有，，，，，，，，，10種，其中至少有1人每天閱讀時間位于的包含，，，，，，共7種，故概率.19、（1）（2）85（3）23【解析】（1）根據(jù)所有矩形面積之和等于1可得；（2）先根據(jù)矩形面積之和判斷達到等級的最低分數(shù)為x所在區(qū)間，然后根據(jù)矩形面積之和等于0.9可得；（3）由題知，所以由可得.【小問1詳解】由得【小問2詳解】由題意可知，要使等級達到等級及以上，則成績需超過的學生.因為，記達到等級的最低分數(shù)為x，則，則由，解得所以該市學生中考化學原始成績不少于85分才能達到等級及以上.【小問3詳解】由題知，因為所以故該校學生的化學原始成績達到等級及以上的人數(shù)大約為人.20、（1）平均值為74.6分，中位數(shù)為75分；（2）.【解析】(1)利用頻率分布直方圖平均數(shù)和中位數(shù)算法直接計算即可；(2)將學生編號，用枚舉法求解即可.【小問1詳解】依題意可知：∴綜合素質成績的平均值為74.6分.由圖易知∵分數(shù)在50~60、60~70、70~80的頻率分別為0.12、0.18、0.40，∴中位數(shù)在70~80之間，設為，則，解得，∴綜合素質成績的中位數(shù)為75分.【小問2詳解】設這6名同學分別為，，，，1，2，其中設1，2為文科生，從6人中選出3人，所有的可能的結果為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種，其中含有文科學生的有，，，，，，，，，，，，，，，，共16種，∴含文科生的概率為.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）化簡得到，由此證得數(shù)列為等差數(shù)列.（2）先求得，然后利用錯位相減求和法求得.【小問1詳解】.又數(shù)列是以1為首項，4為公差等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知：，則數(shù)列的通項公式為，則，①，②，①-②得：，，，，.22、（1）證明見解析（2）存在，1【解析】（1）由面面垂直證明線面垂直，進而證明線線垂直；（2）建