2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步精品課堂3.1.2排列與排列數(shù)第三章

排列、組合和二項(xiàng)式定理高二選擇性必修第二冊(cè)（2019人教B版）第1課時(shí)

排列與排列數(shù)01學(xué)習(xí)目標(biāo)01學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握排列及排列數(shù)的概念，能正確寫出一些簡(jiǎn)單問題的所有排列.（重點(diǎn)）2.理解排列數(shù)公式的推導(dǎo)，并能利用公式進(jìn)行計(jì)算和證明.（難點(diǎn)）核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算02新知導(dǎo)入【情境一】

試回答下列三個(gè)計(jì)數(shù)問題（1）小張要在三所大學(xué)中選擇2所，分別作為自己的第一志愿和第二志愿，校長(zhǎng)共有多少種不同的選擇方式？（2）班里要在3名同學(xué)里選2名，分別在某話劇中扮演A和B兩個(gè)角色，共有多少種不同的選擇方式？（3）學(xué)校要在3名能力相當(dāng)?shù)慕處熤羞x出2人，分別取上海和浙江交流教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，共有多少種不同的指派方案？02新知導(dǎo)入它們的答案是否一致？【情境一】

試回答下列三個(gè)計(jì)數(shù)問題（1）小張要在三所大學(xué)中選擇2所，分別作為自己的第一志愿和第二志愿，校長(zhǎng)共有多少種不同的選擇方式？（2）班里要在3名同學(xué)里選2名，分別在某話劇中扮演A和B兩個(gè)角色，共有多少種不同的選擇方式？（3）學(xué)校要在3名能力相當(dāng)?shù)慕處熤羞x出2人，分別取上海和浙江交流教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，共有多少種不同的指派方案？02新知導(dǎo)入如果用A,B,C分別表示上述問題（1）中的三所大學(xué)，用（A,B）表示第一志愿是A，第二志愿是B，你能列出小張所有的選擇方式嗎？上述問題（2）和（3）是否也能用類似方法表示？【分析】

這三個(gè)問題雖然背景不同，但所求的本質(zhì)都是“從3個(gè)對(duì)象中選取2個(gè)并排成先后順序，有多少種不同的排法”，因此它們的答案是一致的。根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理，方法種數(shù)都是3×2=6。02新知導(dǎo)入03新知探索排列的定義

一般地，從n個(gè)不同對(duì)象中，任取m（m≤n）個(gè)對(duì)象，按照一定的順序排成一列，成為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的一個(gè)排列。特別地，m=n時(shí)的排列（即取出所有對(duì)象的排列）稱為全排列。注意點(diǎn)：互異性，有序性一、排列注意(1)定義的兩個(gè)要素：一是“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素”，要求取出的元素不能重復(fù)；二是“按照一定的順序排列”．(2)定義中“一定順序”就是說與位置有關(guān)，選取的元素相同但順序不同是不同的排列，在實(shí)際問題中，要由具體問題的性質(zhì)和條件決定．(3)對(duì)于兩個(gè)排列，只有各元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同時(shí)，才是相同排列．（4）在定義中規(guī)定m≤n，如果m<n，這樣的排列只是取一部分元素進(jìn)行排列，稱選排列；如果m＝n，這樣的排列是取出所有元素進(jìn)行排列，稱全排列．一、排列【例1】

判斷下列問題是否是排列問題：(1)從2，3，4，5，6，7，8，9中任取兩數(shù)相乘可得多少個(gè)不同的積？乘法交換律與順序無(wú)關(guān)，不是排列問題．(2)一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法？各取一盤菜，跟順序有關(guān)，是排列問題．一、排列【例1】

判斷下列問題是否是排列問題：(3)學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種菜，共有多少種不同的選法？各選一種菜，每人都有5種選法，不是排列問題．(4)一位老師要給4個(gè)班輪流做講座，每個(gè)班講一場(chǎng)，有多少種輪流次序？講座分先后，是排列問題．一、排列總結(jié)

判斷一個(gè)問題是否是排列問題考慮“取”和“排”（1）“取”檢驗(yàn)取出的m個(gè)元素是否重復(fù)；（2）“排”檢驗(yàn)取出的m個(gè)元素是否有順序性，其關(guān)鍵方法是交換兩個(gè)位置看其結(jié)果是否發(fā)生變化，有變化就是有順序，沒有變化就是是沒有順序。

【練習(xí)1】

判斷下列問題是否是排列問題，并說明理由。（1）從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做加法，其結(jié)果有多少種不同的可能？不是（2）從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做除法，其結(jié)果有多少種不同的可能？是（3）會(huì)場(chǎng)有30個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種選法？若選出的3個(gè)座位安排三位客人入座，又有多少種選法？第一問不是

第二問是一、排列【練習(xí)2】

在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個(gè)數(shù)為________．【解析】能被5整除的四位數(shù)的末位是0或5，因此分兩類，第一類，末位為0時(shí)，其他三位從剩下的數(shù)中任意排3個(gè)即可，有5×4×3＝60(個(gè))，第二類，末位為5時(shí)，首位不能排0，則首位只能從1，2，3，4選1個(gè)，第二位和第三位從剩下的任選2個(gè)即可，有4×4×3＝48(個(gè))，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得可以組成60＋48＝108個(gè)不同的能被5整除的四位數(shù)．一、排列二

排列數(shù)排列數(shù)的定義從n個(gè)不同對(duì)象中取出m(m≤n)個(gè)對(duì)象的所有排列的個(gè)數(shù)，稱為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的排列數(shù)，用符號(hào)Anm表示．二

排列數(shù)

二

排列數(shù)注意（1）乘積是m個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積；（2）第一個(gè)數(shù)最大，是A的下標(biāo)n；（3）第m個(gè)數(shù)最小，是n-m+1.二

排列數(shù)【例2】（1）四個(gè)人A,B,C,D坐成一排照相，有多少種坐法？【解析】四個(gè)人都有順序，所以是A44=4×3×2×1=24（種）二

排列數(shù)【例2】（1）四個(gè)人A,B,C,D坐成一排照相，若A不能在第一個(gè)位置，有多少種坐法？【解析】四個(gè)人全排列：A44=4×3×2×1=24（種）假設(shè)A在第一個(gè)位置，那么就是剩下三個(gè)位置全排列：A33=3×2×1=6（種）因此，符合題意的有24-6=18（種）二

排列數(shù)【例2】（3）四個(gè)人A,B,C,D中任選三人坐在一排照相，有多少種坐法？【解析】四個(gè)選出三個(gè)進(jìn)行排列，就是A43=4×3×2=24（種）二

排列數(shù)【練習(xí)】（1）某校從5名同學(xué)中選擇3人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，則不同選法種數(shù)是()A．10 B．30C．60

D．125【解析】根據(jù)題意，某校從5名同學(xué)中選擇3人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，選出的3人有順序的區(qū)別，則有A53＝60種選法．故選C.二

排列數(shù)【練習(xí)】（2）將4名醫(yī)生與4名護(hù)士分配到4個(gè)不同單位，每個(gè)單位分配1名醫(yī)生和1名護(hù)士，共有________種不同的分配方案．【解析】完成這件事可以分為兩步．第一步，把4名醫(yī)生分配到四個(gè)不同的單位，等價(jià)于從4個(gè)不同元素中取出4個(gè)元素的排列問題，有A44種方法．第二步，把4名護(hù)士分配到四個(gè)不同的單位，也有A44種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的分配方案有A44×A44＝576(種)．【例3】(1)5A53＋4A42＝________．【解析】5A53＋4A42＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.三

排列數(shù)公式計(jì)算【例3】(2)89×90×91×…×100可表示為()A．A10010 B．A10011C．A10012

D．A10013【解析】A10012＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89，故選C.三

排列數(shù)公式計(jì)算【例3】(3)求證：An＋1m－Anm＝mAnm－1.

三

排列數(shù)公式計(jì)算【排列數(shù)公式的選擇】（1）排列數(shù)公式的乘積形式適用于計(jì)算排列數(shù)；（2）排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問題，具體應(yīng)用是要注意階乘的性質(zhì)，提取公因式，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。總結(jié)【練習(xí)】(1)已知

，則x等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．12【解析】三

排列數(shù)公式計(jì)算【練習(xí)】(2)【解析】三

排列數(shù)公式計(jì)算【練習(xí)】（3）【解析】三

排列數(shù)公式計(jì)算04課堂練習(xí)04課堂練習(xí)【練習(xí)1】判斷下列問題是否為排列問題：(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來(lái)回的票價(jià)相同)；(2)選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；(3)選2個(gè)小組去種菜；(4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員；(6)某班40名學(xué)生在假期相互打電話．【解析】(1)不是(2)是(3)不是(4)不是(5)是(6)是04課堂練習(xí)【練習(xí)3】【解析】04課堂練習(xí)【練習(xí)2】【解析】04課堂練習(xí)【練習(xí)4】計(jì)算【解析】05課堂總結(jié)05課堂總結(jié)排列的定義

一般地，從n個(gè)不