第三章中值定理應用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導數(shù)解決實際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三節(jié))推廣微分中值定理與導數(shù)的應用一、羅爾(Rolle)定理第一節(jié)二、拉格朗日(Lagrange)中值定理

三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章費馬(fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理且存在證:

設則證畢羅爾（Rolle

）定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(3)

f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,則因此在(a,b)內(nèi)至少存在一點若M>

m

,則M

和m

中至少有一個與端點值不等,不妨設則至少存在一點使注意:1)定理條件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.則由費馬引理得例如,例1.

證明方程有且僅有一個小于1的正實根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設另有為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件,至少存在一點但矛盾,故假設不真!設二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導至少存在一點使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結(jié)論成立.證畢拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論:若函數(shù)在區(qū)間I

上滿足則在

I上必為常數(shù).證:

在

I

上任取兩點格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).令則例2.

證明等式證:

設由推論可知

(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經(jīng)驗:欲證時只需證在

I

上例3.

證明不等式證:

設中值定理條件,即因為故因此應有三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點使?jié)M足:問題轉(zhuǎn)化為證構(gòu)造輔助函數(shù)證:

作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:

柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同錯!上面兩式相比即得結(jié)論.柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率例4.設至少存在一點使證:

問題轉(zhuǎn)化為證設則在[0,1]上滿足柯西中值定理條件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點

,使即證明例5.

試證至少存在一點使證:

法1

用柯西中值定理.則f(x),F(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理條件,令因此

即分析:例5.

試證至少存在一點使法2令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理條件,使因此存在內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵:

利用逆向思維設輔助函數(shù)費馬引理思考與練習1.填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理條件,則中值2)設有個根,它們分別在區(qū)間上.方程2.

設且在內(nèi)可導,證明至少存在一點使提示:由結(jié)論可知,只需證即驗