2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選剖析折疊本質(zhì) 構(gòu)建基本模型 把握問題關(guān)聯(lián)摘要：把正方形折疊使得頂點落在一條邊上，這個圖形中蘊含著豐富的關(guān)系，從的幾何直觀將會大有裨益！關(guān)鍵詞：折疊；正方形；轉(zhuǎn)化；核心素養(yǎng)引言：折疊問題是初中數(shù)學(xué)的重點和難點問題，備受命題老師的青睞，主要考查訣竅.”.本文對一類正方形折疊為背景的圖形多方位分析，理清圖形實質(zhì)，探究拓展，3個例題的應(yīng)用加強幾何推理經(jīng)驗的積累，從而提升學(xué)生的解題能力.一、圖形分析如圖ABCDABM,N分別為邊AD,BCMN，將四邊形DCNM沿著MN折疊至EFNMD恰好落在邊AB上點EC落到點F，EF交BC于點G.A M D A M

D A M DE E EB G N C BF

GH N CF

HB G NCF圖1 圖2 圖3結(jié)論1（正方形十字架結(jié)構(gòu)）連接DE，則MN^DE,MN;2，由折疊易知MN^DE,過點M作MH^BC，則四邊形ABHM為矩12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選形，從而MH=AB=AD,可證(ASA),則MN,即MN^DE,MN.【評析】解題時常常將折痕MN轉(zhuǎn)化為DE，在中進行求解.結(jié)論2（正方形夾半角結(jié)構(gòu)）如圖3，連接DG,則DEDG.分析：圖形的折疊問題本身就是“軸對稱”的全等變換，由折疊性質(zhì)可知MN為線段DE的中垂線，ME,從而DMED，又因為折疊得出DMEF,所以DDEF,而AB//CD,可知DEDC，即DAED,DE為DAEF的角平分線，過點D作DH^EF,則DH從而(HL),(HL),DEDG=1DADC2【評析】正方形夾半角結(jié)構(gòu)中易得EG=AE,平時解題后要善于總結(jié)，仔細琢磨結(jié)構(gòu)，反思其用途，成為今后解題的重要思維源泉.結(jié)論3如圖4，連接DF,CE,則DF.M D DEOPG N C E H GPF圖4 圖5分析：由折疊可知FE，據(jù)結(jié)論2分析知DDEF，而ED,從而)，所以DF.22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選結(jié)論4隨著點E的移動，的周長保持不變，始終為2a.的面積有最大值，當(dāng)BE時，S

=3-22a2.分析：如圖3，由結(jié)論2可知，HE=AE,HG,所以的周長等于BE)=BA，

=S正方形ABCD

2S

2S

=a2-2S，轉(zhuǎn)化為求的最大值，觀察含有定高（DHDEDG）特殊結(jié)構(gòu).如圖5，將單獨分離出來，作的外接圓O，連接OD,OG,OE,由圓周角DEDG,可知圓心角DEOG過圓心O作OP^EG設(shè)半徑OD，則OP=

2r，EG=2

2r，根據(jù)點到線垂線段最短可知OP3DH，即2r3a,解得r3-2

2)a，當(dāng)且僅當(dāng)D,O,P共線時取得最小值，此時AE,所以EG=

2r32-2)a，S =13

12-2)a

2-a2，2 2則

=a2-2S

￡a2-2(

2-a23-22a2.【評析】周長定值的說明也可利用三角形相似性質(zhì)，根據(jù)折疊知DA,不妨設(shè)AE=x,AM=y，則BE-x,EM-

y，在中，由勾股定理可得y=

a2-x22a

，

=AMBE

x-y)+y,即 =

y，a-x所以=

a2-x2y

a2-x2=a2-x22a，這里計算稍顯繁雜，但是這對“一線三直角”相似32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選三角形在解題時值得關(guān)注.對于定高定角問題，輔助圓也是解決此類最值的有效工具，利用斜大于直的思想確定最值.結(jié)論5 隨著點E的移動，=BE,EM=AE.分析：如圖3，由折疊可知FN,EF=AB,根據(jù)結(jié)論2分析可知，HGAE，所以,而BE=AB-

AE,HF-EH,所以,由圖2得MD=AE,根據(jù)折疊可知ME,即ME=AE.A M DE R

A ME 45°

D45°RB G NCF

45°B圖6 圖7結(jié)論6 如圖6，連接對角線BD交折痕MN于點R，連接ER，則DERB.分析：圖6可簡化為圖7，由折疊可知DMER=45o，邊AB上DMER=45o,聯(lián)想“一線三等角”結(jié)構(gòu)，可知DAER，所以DERB.【評析】涉及到DERB的三角函數(shù)問題，不需直接構(gòu)造直角三角形，一般往往轉(zhuǎn)化為MN一般轉(zhuǎn)化為DE的策略有異曲同工之妙.42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選二、結(jié)論應(yīng)用例1（20166的正方形紙片ABCDAB與DC重合，折痕為EF，展平后，再將點B折到邊CD上，使邊AB經(jīng)過點E，折痕為GH，點B的對應(yīng)點為M，點A的對應(yīng)點為N，求折痕GH的長.NG E DMFH C圖8解析：根據(jù)題意可得AE,連接BM，識別正方形折疊中十字架結(jié)構(gòu)，折痕GH轉(zhuǎn)化為BM，由結(jié)論4分析易得周長為12，設(shè)CM=x,則DM-x，EM-DE-DM-3--x)=3，在中，勾股定理得DE222,即26-x23x2，解得x2，在中，勾股定理得BC222,所以BM=

BC22=

6210.根據(jù)正方形十字架結(jié)構(gòu)，GH10.另解：設(shè)CM=x，由折疊知，MH-CH,在中，由勾股定理得CH222,2解得CH-x，212由折疊可知DHME,易得一線三直角相似:,52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選x2=所以HC CM,即3-12=

x，解得xx

=6-x 3從而BM=

BC2210,根據(jù)正方形十字架結(jié)構(gòu)，GH10.GH轉(zhuǎn)化為線段BMCM方便尋找解題策略.例2如圖ABCDABM,N分別為邊AD,BCMNDCNM沿著MN折疊至EFNMD落在邊AB上點EC落到點F，EF交BC于點G.（1）若AE，求CN的長.（2）連接DE,DF，求DE的最小值.A M D A M DE E

M DEG NC BFQG NCF

B G NCF圖9 圖10

圖11解析：（1）解法1：由題意可得::,由折疊可設(shè)AM=x，則MD-x，在中，勾股定理得AE22=ME2,即2x29-x2，解得x4，,=利用相似可得BG=9,EG 15,=2 2所以GF-EG=3,2再利用相似求得NF,從而CN=NF.解法2：雙勾股，設(shè)CN=x，在中，EN2=BE22,在中，DN2=CD22,由折疊知MN為DE的中垂線，則NE=ND,62022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選所以629-x292x2，解得x2，即CN.解法3：如圖10，由結(jié)論5知：EM=AE.過點M作MQ^BC,可得QCQN=AE,所以CN-QN.（2）DE屬于一定（點DE,F4DF,所以DE.如圖11，作點C關(guān)于AB的對稱點C',連接C'E,則C'E,從而DE3C'D5,當(dāng)且僅當(dāng)D,E,C'共線時取得最小值95.【評析】平面幾何中線段計算常用策略勾股定理法、三角函數(shù)法以及相似法，對于模型，假設(shè)所求線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線架結(jié)構(gòu).例3如圖ABCD,AB點E,F分別在邊AB,CDEF折疊，點A恰好落在邊BC上點H處，折痕EF與對角線AC交于點P,連接HP.已知AE，求sinDCPH.B H CEPG AA DF

Q B H CE EDPDFF G B A DF圖12

圖13

圖14解析：由折疊可知AE=DE,APDEHP=45o，將圖11簡化為圖12，72022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選從而為確定的可解三角形，BEHEBH=

HE2-BE22，想法1：如圖13，過點H作HG^AC，在中，可知CH-22,CG2-2,設(shè)AP=x，從而PG=AC-CG-

AP2-2-2)-x2-x，在中，由勾股定理得HG2+PG2=HP2，2 2 222-2 +22-x =x即( ) ( ) ，解得x2-6，22-2 1在中：sinDCPH= = =.62-6 3想法2：由結(jié)論6可知：DHPC.由折疊可知HE=AE,DEHP，從而DHCP,聯(lián)想“一線三等角”結(jié)構(gòu)，可知DBHP，所以DHPC.

1在中，sinDBHE= =,31即sinDHPCDBHE=.3【評析】折疊為背景的圖形變換題目應(yīng)牢牢抓住折疊的本質(zhì)即軸對稱性，保持了折疊前后對應(yīng)線段、對應(yīng)角度的不變性，想法1是從問題直接目標入手，將目標角構(gòu)造在求出目標角的三角函數(shù)值，計算較為復(fù)雜，需要有強大的運算能力作保障.想法2是有DEHP線三等角”中角的處理策略這一經(jīng)驗易得：DHPC，從而將目標角構(gòu)造在確定的中，計算十分簡便.此法需要有一定“經(jīng)驗積累”和轉(zhuǎn)化意識，考查學(xué)生直觀想象能力和邏輯推理能力.82022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選本題還可改變設(shè)問：如圖14，延長FE交CB的延長線于點Q，求線段QB的長.解析：由點Q的形成，關(guān)注到折痕EF，如圖13連接AH，根據(jù)折疊性質(zhì)可知EF垂直平分AH，即點Q在線段AH的垂直平分線上，連接AQ，易得DQAB,從而:,所以QB=AB,即QB=

4，解得QB=2.

1 22，=另解：由以上可知sinDQABDEHB 1，=3即QB

1,又點Q在線段AH的垂直平分線上知：QA,=3=從而QB

1，即QB=2.=3=【評析】圖形的折疊，牢牢抓住折痕具有垂直平分對應(yīng)點連線這一重要性質(zhì)，學(xué)會觀察圖形、分析問題、轉(zhuǎn)化問題，形成解決折疊問題的思維方法.三、教學(xué)思考題載體，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維，進而培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.本文通過對一類以正方形折疊為背景的圖形剖析以及考題應(yīng)用的分析這一典型問題的處變的規(guī)律和方法，逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、抽象模型等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).展的.正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022之間的關(guān)聯(lián).因而必要的探究活動和問題載體能為學(xué)生提供處理問題的思路與方法的平92022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選了內(nèi)涵、找準了突破口，最終形成解題經(jīng)驗.平時堅持這樣的訓(xùn)練，這將對學(xué)生的幾何直觀將會大有裨益！教師在數(shù)學(xué)研究、學(xué)習(xí)、講授中，不僅需要關(guān)注研究圖形的方法、研究圖形的結(jié)果，還需要感悟圖形給我們帶來的好處，幾何直觀就是在“數(shù)學(xué)——