課時分層作業(yè)(二十四)橢圓的簡單幾何性質(zhì)一、選擇題1．橢圓3x2＋4y2＝12的長軸長、短軸長分別為()A．2，eq\r(3)B．eq\r(3)，2C．4,2eq\r(3)D．2eq\r(3)，4C[把3x2＋4y2＝12化成標(biāo)準(zhǔn)形式為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得a2＝4，b2＝3，則長軸長為4，短軸長為2eq\r(3)．]2．在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同，離心率相同的橢圓，已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為()A．30cm B．20cmC．10cm D．10eq\r(3)cmB[設(shè)大橢圓的長軸長、短軸長、離心率分別為2a1,2b1，e1，則a1＝20cm，b1＝10cm，e1＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b1,a1)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)，設(shè)小橢圓的長軸長、短軸長、離心率分別為2a2,2b2，e2，則b2＝5cm，e2＝eq\f(\r(3),2)，由eeq\o\al(2,2)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,a2)))eq\s\up12(2)得eq\f(3,4)＝1－eq\f(25,a\o\al(2,2))，解得a2＝10cm，故小橢圓的長軸長為20cm，故選B．]3．某地的旅游地圖如圖所示，它的外輪廓線是橢圓，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該橢圓的離心率為()A．eq\f(2,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2\r(3),5) D．eq\f(2\r(5),5)B[由題意可知2a＝25.5,2b＝20.4，則c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(25.52,4)－\f(20.42,4))＝eq\f(15.3,2)，所以橢圓的離心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(15.3,25.5)＝eq\f(3,5)，故選B．]4．焦點在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為4eq\r(5)，則橢圓的方程為()A．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,36)＝1C．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,4)＝1A[依題意得c＝2eq\r(5)，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4．故選A．]5．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為()A．eq\f(\r(6),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3)D．eq\f(1,3)A[以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，由原點到直線bx－ay＋2ab＝0的距離d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，得a2＝3b2，所以C的離心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3)．]二、填空題6．若橢圓的短軸長為6，焦點到長軸的一個端點的最近距離是1，則橢圓的離心率為________．eq\f(4,5)[依題意，得b＝3，a－c＝1．又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，∴橢圓的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)．]7．已知橢圓x2＋my2＝1的焦點在x軸上，且長軸長是短軸長的2倍，則m＝________．4[將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，所以長軸長為2，短軸長為2eq\r(\f(1,m))，由題意得2＝2×2eq\r(\f(1,m))，解得m＝4．]8．(2022·江蘇蘇州高二期末)如圖所示，將桌面上裝有液體的圓柱形杯子傾斜α角(母線與豎直方向所成角)后，液面呈橢圓形，當(dāng)α＝30°時，該橢圓的離心率為________．eq\f(1,2)[設(shè)圓柱形杯子的底面半徑為b，示意圖如圖，則OC是橢圓的長半軸長，OB是橢圓的短半軸長，則BC＝eq\r(|OC|2－|OB|2)＝eq\r(a2－b2)＝c．又∠COB＝α＝30°，則e＝eq\f(c,a)＝sinα＝eq\f(1,2)．]三、解答題9．橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M為其上的動點，當(dāng)∠F1MF2為鈍角時，求點M的縱坐標(biāo)的取值范圍．[解]設(shè)M(x，y)，焦點F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)．因為∠F1MF2為鈍角，所以cos∠F1MF2＝eq\f(|MF1|2＋|MF2|2－|F1F2|2,2|MF1|·|MF2|)＜0，即|MF1|2＋|MF2|2＜|F1F2|2?(x＋eq\r(3))2＋y2＋(x－eq\r(3))2＋y2＜12．整理得x2＋y2＜3．因為點M(x，y)在橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上，將x2＝4－4y2代入x2＋y2＜3，解得y＞eq\f(\r(3),3)或y＜－eq\f(\r(3),3)．又因為－1≤y≤1，所以點M的縱坐標(biāo)y的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(3),3)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))．10．(1)求與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦點，且離心率為eq\f(\r(5),5)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓的兩個焦點間的距離為8，兩個頂點坐標(biāo)分別是(－6,0)，(6,0)，求焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[解](1)∵c＝eq\r(9－4)＝eq\r(5)，∴所求橢圓的焦點為(－eq\r(5)，0)，(eq\r(5)，0)．設(shè)所求橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，c＝eq\r(5)，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，∴所求橢圓的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1．(2)∵橢圓的焦點在x軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20．∴橢圓的方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1．1．(多選題)某宇宙飛船的運行軌道是以地球中心F為焦點的橢圓(地球看作是球體)，測得近地點A距離地面mkm，遠(yuǎn)地點B距離地面nkm，地球半徑為Rkm，關(guān)于這個橢圓有下列說法，正確的有()A．長軸長為m＋n＋2RB．焦距為n－mC．短軸長為eq\r(m＋Rn＋R)D．離心率e＝eq\f(n－m,m＋n＋2R)ABD[由題意，得n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，可解得2c＝n－m，a＝eq\f(m＋n＋2R,2)，2a＝m＋n＋2R．∴2b＝2eq\r(a2－c2)＝2eq\r(m＋Rn＋R)，e＝eq\f(n－m,m＋n＋2R)，故ABD正確，C不正確．]2．(多選題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上存在點P，使得|PF1|＝3|PF2|，其中F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率可能為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．3eq\r(5)－6D．eq\f(3,4)BCD[設(shè)橢圓的焦距為2c(c＞0)，由橢圓的定義可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝3|PF2|，,|PF1|＋|PF2|＝2a，))解得|PF1|＝eq\f(3a,2)，|PF2|＝eq\f(a,2)，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≥a－c，,\f(3a,2)≤a＋c，))解得eq\f(c,a)≥eq\f(1,2)．又0＜eq\f(c,a)＜1，所以eq\f(1,2)≤eq\f(c,a)＜1，所以該橢圓離心率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，故符合條件的選項為BCD．]3．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)短軸的一個端點和兩個焦點相連構(gòu)成一個三角形．若該三角形內(nèi)切圓的半徑為eq\f(b,5)，則該橢圓的離心率為________．eq\f(1,4)[由橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)短軸的一個端點和兩個焦點所構(gòu)成的三角形面積S＝bc，周長為2a＋2c．由題意可得S＝bc＝eq\f(1,2)(2a＋2c)·eq\f(b,5)，得a＋c＝5c，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，因此該橢圓的離心率為eq\f(1,4)．]4．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左頂點為A，左焦點為F，若該橢圓的上頂點到焦點的距離為2，離心率e＝eq\f(1,2)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．若點P為橢圓上任意一點，則eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))的取值范圍是________．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[0,12][因為橢圓的上頂點到焦點的距離為2，所以a＝2．因為離心率e＝eq\f(1,2)，所以c＝1，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)，則橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，所以點A的坐標(biāo)為(－2,0)，點F的坐標(biāo)為(－1,0)．設(shè)P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))＝(x＋2，y)·(x＋1，y)＝x2＋3x＋2＋y2．由橢圓的方程，得y2＝3－eq\f(3,4)x2，所以eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))＝x2＋3x－eq\f(3,4)x2＋5＝eq\f(1,4)(x＋6)2－4．因為x∈[－2,2]，所以eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))∈[0,12]．]設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，|AF1|＝3|F1B|．(1)若|AB|＝4，△ABF2的周長為16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝eq\f(3,5)，求橢圓E的離心率．[解](1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1．因為△ABF2的周長為16，所以由橢圓定義可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8．故|AF2|＝8－3＝5．(2)設(shè)|F1B|＝k，則k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k．由橢圓定義可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．在△ABF2中，由余弦定理可得，