第二節(jié)一階微分方程2

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第二節(jié)

一階微分方程一、可分離變量方程二、齊次方程三、一階線(xiàn)性微分方程一、可分離變量方程可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解.分離變量法例1

求解微分方程解分離變量?jī)啥朔e分典型例題例2.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說(shuō)明:

在求解過(guò)程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時(shí)丟失的解y=0)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

解初值問(wèn)題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束通解為解二、齊次方程形如的方程叫做齊次方程

.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.解微分方程解:代入原方程得分離變量?jī)蛇叿e分得故原方程的通解為(

當(dāng)C=0

時(shí),

y=0

也是方程的解)(C

為任意常數(shù))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說(shuō)明:

顯然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

為任意常數(shù))求解過(guò)程中丟失了.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3

求解微分方程微分方程的解為解三、一階線(xiàn)性微分方程一階線(xiàn)性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱(chēng)為非齊次方程

.1.解齊次方程分離變量?jī)蛇叿e分得故通解為稱(chēng)為齊次方程

;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令則代入非齊次方程得解得

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