§3.4奇

解

11/14/2023常微分方程一、包絡(luò)和奇解1包絡(luò)的定義定義1：對于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族：

曲線族(3.23)的包絡(luò)是指這樣的曲線,它本身不包含在曲線(3.23)中,但過這曲線的每一點(diǎn)有(3.23)中的一條曲線和它在這點(diǎn)相切.11/14/2023常微分方程對于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族：

其中為參數(shù).若存在一條曲線滿足下列條件:(1)(2)對任意的

存在唯一的使得且與在有相同的切線.則稱為曲線族的一條包絡(luò)線,簡稱為包絡(luò).或定義：11/14/2023常微分方程例如單參數(shù)曲線族：（其中R是常數(shù)，c是參數(shù)）表示圓心為（c,0）而半徑等于R的一族圓.如圖R從圖形可見,此曲線族的包絡(luò)顯然為:11/14/2023常微分方程注:并不是每個(gè)曲線族都有包絡(luò).例如:單參數(shù)曲線族:(其中c為參數(shù))表示一族同心圓.

如圖從圖形可見,此曲線族沒有包絡(luò).11/14/2023常微分方程問題:對于給定的單參數(shù)曲線族:

如何判斷它是否有包絡(luò)?如果有包絡(luò),如何求?根據(jù)定義,假設(shè)該單參數(shù)曲線族有包絡(luò)則對任意的存在唯一的使得于是得到對應(yīng)關(guān)系:11/14/2023常微分方程從而得到二元函數(shù)使得若可用參數(shù)形式表示為:記則于是,11/14/2023常微分方程上任取一個(gè)固定點(diǎn)M,則M在某一條曲線上.由于與在M點(diǎn)有相同的切線,而與在M點(diǎn)的切線的斜率分別為與所以,有從而由于在上不同的點(diǎn)也在不同的上,即因此現(xiàn)在11/14/2023常微分方程因此,包絡(luò)線任意一點(diǎn)M不僅要滿足而且還要滿足把聯(lián)立方程組:中消去參數(shù)c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲線稱為曲線族的c-判別曲線11/14/2023常微分方程2包絡(luò)的求法曲線族(3.23)的包絡(luò)包含在下列兩方程注:11/14/2023常微分方程解:記則即例1:的包絡(luò).求曲線族11/14/2023常微分方程因此c-判別曲線包括兩條曲線(3.32)和(3.33),11/14/2023常微分方程xyO11/14/2023常微分方程例2:求直線族:的包絡(luò).這里是參數(shù),是常數(shù).解:記則消去參數(shù)得的c-判別曲線:經(jīng)驗(yàn)證是曲線族的包絡(luò).如圖:11/14/2023常微分方程Oxy11/14/2023常微分方程3奇解定義2:微分方程的某一解稱為奇解,如果在這個(gè)解的每一點(diǎn)還有方程的另外一個(gè)解存在.注:一階微分方程的通解的包絡(luò)一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包絡(luò).例如:11/14/2023常微分方程11/14/2023常微分方程4奇解的求法方程的奇解包含在由方程組注:11/14/2023常微分方程例3:求微分方程的奇解.解:從消去p(實(shí)際上p=0),得到p-判別曲線即由于方程的通解為:11/14/2023常微分方程三、克萊羅（Clairaut）方程1定義3:形如的方程，稱為克萊羅(Clairaut)方程.11/14/2023常微分方程為求它的解,令得經(jīng)化簡,得2克萊羅(Clairaut)方程的求解這是y已解出的一階微分方程.11/14/2023常微分方程如果則得到于是,Clairaut方程的通解為:如果它與等式聯(lián)立,則得到Clairaut方程的以p為參數(shù)的解:或其中c為參數(shù).消去參數(shù)p便得方程的一個(gè)解.11/14/2023常微分方程結(jié)果:Clairaut方程的通解是一直線族,此直線族的包絡(luò)或是Clairaut方程的奇積分曲線,所對應(yīng)的解是奇解.如果令則因此,求得此解的過程正好與從通解中求包絡(luò)的手續(xù)一樣.易驗(yàn)證,此參數(shù)曲線恰為通解的包絡(luò)11/14/2023常微分方程例4:求解方程解:這是Clairaut方程,

因而它有通解:其中因?yàn)樗詮闹邢?shù)c,得到原方程的奇解:11/14/2023常微分方程xyO