微分方程第六章—積分問題—微分方程問題

推廣微分方程的基本概念第一節(jié)微分方程的基本概念引例幾何問題物理問題引例1.一曲線通過點(1,2),在該曲線上任意點處的解:

設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.引例2.列車在平直路上以的速度行駛,制動時獲得加速度求制動后列車的運動規(guī)律.解:設(shè)列車在制動后

t

秒行駛了s

米,已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運動規(guī)律為說明:

利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才能停住,以及制動后行駛了多少路程.即求

s

=s(t).常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程

.方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(所講內(nèi)容)(n

階顯式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n

階常微分方程的形式是的階.分類或引例2—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程—確定通解中任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解引例1

通解:特解:微分方程的解

—不含任意常數(shù)的解,定解條件

其圖形稱為積分曲線.可分離變量方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為非齊次方程

.稱為齊次方程

;可降階的二階微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程常見的微分方程類型用Matlab求解微分方程用Matlab符號工具箱中的函數(shù)dsolve,可求解微分方程，其調(diào)用格式如下：

R=dsolve(‘eq1,eq2,…’,’cond1,cond2,…’,’v’)R=dsolve(‘eq1’,’eq2’,…,’cond1’,’cond2’,…,’v’)說明：求微分方程或微分方程組eq1,eq2,…滿足初始條件cond1,cond2,…關(guān)于自變量v的解。默認(rèn)的自變量為t例1

求微分方程的通解。Dsolve(‘5*D2y-6*Dy+5*y=exp(x)’,‘x’)例2求微分方程組的解。x=

cos(t)*C1+sin(t)*C2

y=

-sin(t)*C1+cos(t)*C2

例3有一彈性系數(shù)c=8N/m的彈簧，上掛有質(zhì)量為2kg的物體，一外力f(t)=16cos4tN作用在物體上，假定物體原來在平衡位置，有向上的初速度2m/s，如果阻力忽略不計，求物體的運動規(guī)律s(t).解第一步

建立微分方程：

有力學(xué)知識，得物體的運動方程為即初始條件為第二步求解：

>>s=dsolve('D2y+4*y=8*cos(4*t)','y(0)=0,Dy(0)=-2')

s=

(sin(2*t)+1/3*sin(6*t))*sin(2*t)+(1/3*cos(6*t)-cos(2*t))*cos(2*t)-sin(2*t)+2/3*cos(2*t)

第三步化簡：上述結(jié)果較復(fù)雜，可用simple函數(shù)化簡>>simp