專題15：圓錐曲線中的切線方程<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>切線問題的重要性不言而喻，我們前面都盡量避免讓同學(xué)們?nèi)ビ洝┙Y(jié)論。—是有些結(jié)論確實(shí)不好記（比如焦半徑，它取決于曲線的類型和焦點(diǎn)的位置），二是出現(xiàn)的頻率也不是很高。但是在本小節(jié)，建議同學(xué)們要記一些結(jié)論，因?yàn)檫@里的結(jié)論很好記。當(dāng)然最重要的還是掌握推導(dǎo)的過程。<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：題型一：橢圓中的切線問題例1(2023·浙江省溫州市期中)已知橢圓C:x24+y23=1，過橢圓在第二象限上的任意一點(diǎn)P作橢圓的切線與y軸相交于Q點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QR⊥OP，垂足為R【思路點(diǎn)撥】設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用Δ=0得出切線方程，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出|OR|?|OP|為定值3，結(jié)合|OP|例2(2023·湖南省長(zhǎng)沙市模擬)如圖所示，已知橢圓C：x26+y23=1與直線l：x6+y3=1.點(diǎn)P在直線l上，由點(diǎn)P引橢圓C的兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)P為直線l與y軸的交點(diǎn)，求△PAB的面積S；【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)△=0，求出直線的斜率，從而求切點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷△PAB為直角三角形，從而求△PAB的面積．

(2)先寫出切線PA和PB，根據(jù)切線方程，求出直線AB的方程，可得直線AB過定點(diǎn)T(1,1)，故點(diǎn)D在以O(shè)T為直徑，Q(12,練1(2022·安徽省合肥市模擬·多選)如圖，P為橢圓C1：x28+y26=1上的動(dòng)點(diǎn)，過P作C1切線交圓C2：x2+y2=24于MA.S△OPQ的最大值為3B.S△OPQ的最大值為233

C.QD.Q的軌跡是x【思路點(diǎn)撥】由橢圓的性質(zhì)及圓的性質(zhì)求出直線MN的方程，對(duì)比系數(shù)可得xP=xQ3，yP=yQ4，由點(diǎn)練2(2022·安徽省滁州市模擬)已知橢圓C:x2a2(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l方程是x+y-6=0，點(diǎn)M是直線l上任一點(diǎn)，過點(diǎn)M作橢圓C的切線MG，MH，切點(diǎn)分別為G，H，設(shè)切線的斜率都存在.試問∶直線GH是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)已知及橢圓的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程的計(jì)算，求出橢圓C的方程；

(2)根據(jù)已知及橢圓的性質(zhì)及幾何意義，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題的計(jì)算，可知直線GH過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．題型二：題型二：雙曲線中的切線問題例3(2023·河北省石家莊市模擬)如圖，已知雙曲線C：x23-y2=1，過P(1,1)向雙曲線C作兩條切線，切點(diǎn)分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)出切線方程，聯(lián)立后用韋達(dá)定理及根的判別式表示A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出直線方程，化簡(jiǎn)即可；

(2)在第一問的基礎(chǔ)上，利用向量的夾角公式表達(dá)出夾角的余弦值，進(jìn)而證明結(jié)論．例4(2023·浙江省聯(lián)考)設(shè)雙曲線C:x2a2-(1)求雙曲線C的方程；(2)若A-2,1,B2,1，點(diǎn)C在線段AB上(不含端點(diǎn))，過點(diǎn)C分別作雙曲線兩支的切線，切點(diǎn)分別為P,Q.連接PQ，并過PQ的中點(diǎn)F分別作雙曲線兩支的切線，切點(diǎn)分別為D,E【思路點(diǎn)撥】(1)直接利用雙曲線的定義求解即可；(2)設(shè)切線PC為y=kx+b，有切線方程的結(jié)論可求出直線PC和CQ，從而可得直線PQ的方程，同理可求出直線DE的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示練3(2023·湖北省襄陽市模擬·多選)已知點(diǎn)P、Q是雙曲線C:x24-y212=1在第一象限的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A.點(diǎn)P到x軸的距離為4B.△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為2

C.雙曲線C在P處的切線方程為2x-y-2=0【思路點(diǎn)撥】利用雙曲線的性質(zhì)和△PF1F2的周長(zhǎng)，得到PF1-PF2、PF1+PF2，從而計(jì)算出PF1、PF練4(2022·浙江省溫州市期中)已知雙曲線x2a2-y(1)求雙曲線的方程；(2)若點(diǎn)Q是直線l:y=x+1上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q引雙曲線兩條切線，切點(diǎn)為A，B，試探究：直線AB是否恒過定點(diǎn).若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)雙曲線方程為x2-4y2=λ，將點(diǎn)(4,3)代入得到λ，可得雙曲線方程；

(2)把切線AQ的方程代入雙曲線方程，得到(1-4k2)x2-8k(y1-kx題型三：題型三：拋物線中的切線問題特別提醒：過拋物線C:x2=2py上一點(diǎn)過拋物線C:x2=2py外一點(diǎn)例5(2022·江蘇省鹽城市模擬·多選)阿基米德是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào).若拋物線上任意兩點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)P，則稱△PAB為“阿基米德三角形”.已知拋物線x2=8y的焦點(diǎn)為F，過拋物線上兩點(diǎn)A，B的直線的方程為x-y+2=0，弦AB的中點(diǎn)為C，則關(guān)于“阿基米德三角形”△PAB，下列結(jié)論正確的是(

)A.點(diǎn)P3,-2 B.PC⊥x軸 C.PA⊥PB【思路點(diǎn)撥】根據(jù)拋物線的二級(jí)結(jié)論求出直線PA，PB的方程，解出交點(diǎn)P即可逐一判斷選項(xiàng)．例6(2019·全國(guó)新課標(biāo)文科Ⅲ卷)已知曲線C：y=x22，D為直線y=-12上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C(1)證明：直線AB過定點(diǎn)；

(2)若以E(0,52)為圓心的圓與直線AB【思路點(diǎn)撥】(1)利用拋物線二級(jí)結(jié)論求出直線AB的方程，再由直線系方程求直線AB過的定點(diǎn)；

(2)由(1)得直線AB的方程y=tx+12，與拋物線方程聯(lián)立，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及根與系數(shù)的關(guān)系求得AB的中點(diǎn)M(t,t2+12)，再由EM⊥練5(2023·湖北省襄陽市聯(lián)考)過點(diǎn)M(-1,y0)作拋物線y2=2px(p>0)的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，若△MAB面積的最小值為4，則p=A.1 B.2 C.4 D.16【思路點(diǎn)撥】利用拋物線二級(jí)求出直線AB的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離表示△MAB的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.例6(2023·湖南省衡陽市期中)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)P在拋物線C(1)求拋物線C的方程．(2)過拋物線C上的點(diǎn)A作拋物線C的切線l,A與O不重合，過O作l的垂線，垂足為B，直線BO與拋物線C交于點(diǎn)D.當(dāng)原點(diǎn)到直線AD的距離最大時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．【思路點(diǎn)撥】(1)由|PF|=|PO|列式求得p的值，即可得到拋物線的方程；

(2)利用拋物線的二級(jí)結(jié)論求得切線l的方程，進(jìn)而求得直線OB的方程，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，求得直線AD的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式與基本不等式，可得答案．<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.(2023·江蘇省宿遷市模擬)圓x2+y2=R2上一點(diǎn)A(x1,y1)處的切線AP的方程為x1x+y1y=R2，類比可知橢圓x2a2+y2b2A.(1,43) B.(43,1)2.(2023·湖北省武漢市模擬)過雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一點(diǎn)P作雙曲線C的切線l，若直線OP與直線A.295 B.303 C.353.(2022·湖北省武漢市聯(lián)考·多選)已知拋物線x2=2y,點(diǎn)M(t,-1),t∈[12,1],過M作拋物線的兩條切線MA，MB，其中A，B為切點(diǎn),且A在第一象限,A.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1) B.OA⊥OB

C.△MAB的面積的最大值為33 D.|PA||PB|4.(2023·河南省開封市模擬)已知F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作曲線C的一條切線AB,若切點(diǎn)B在第一象限內(nèi),D為C上第四象限內(nèi)的一點(diǎn),且DF?//?AB,則|DF|5.(2023·福建省三明市期末)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左右頂點(diǎn)分別為A、B,P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn),PA、PB斜率之積為-(2)直線PF1交橢圓C于另一點(diǎn)Q，分別過P、Q作橢圓的切線，這兩條切線交于點(diǎn)M.求證：6.(2023·江蘇省南通市模擬)已知橢圓E:x2a2+(1)求E的方程;(2)設(shè)任意過F2的直線為l交E于M，N，分別作E在點(diǎn)M，N上的兩條切線，并記它們的交點(diǎn)為P，過F1作平行于l的直線分別交PM,PN于A，B，求7.(2023·浙江省杭州市模擬)已知雙曲線E:x2a2-(1)求雙曲線E的方程．(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)(2,0)，與雙曲線右支交于P、Q兩點(diǎn)(其中P點(diǎn)在第一象限)，點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為A，點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，且直線AP與BQ交于點(diǎn)M，直線AB與PQ交于點(diǎn)N，證明：雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分線段MN．8.(2023·四川省瀘州市模擬)已知點(diǎn)M是拋物線C1:y=14x2的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作C