沖刺2022高考：高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)及重難點(diǎn)全梳理

小編老師整理沖刺2022高考之高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)及重難點(diǎn)，和大家分享,

為您的高考助一臂之力。

基本初等函數(shù)I

一、概念與符號(hào)

1.函數(shù)的概念

一般地，我們有：設(shè)4B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)

關(guān)系;＞，使對(duì)于集合力中的任意一個(gè)數(shù)支，在集合B中都有唯一確定的

數(shù)/'(%)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A為從集合力到集合B的一個(gè)函數(shù)

(function),記作：y=/(%),xEA.

2.映射的概念

一般地，我們有：設(shè)4B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的

對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合4中的任意一個(gè)元素工,在集合B中都有唯一

確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A-B為從集合A到集合B的

一個(gè)映射(mapping)。

3.函數(shù)的最值

一般地，設(shè)函數(shù)y=/(%)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

(1)對(duì)于任意的％eI,都有f(%)<M(/(%)>M)；

(2)存在%使得7?Go)=M.

那么稱M是函數(shù)y=f(%)的最大(小)值，通常記為：

3max=M或/"(X)max=M(3'min="或/'(%)min=")?

4.奇偶函數(shù)等式的等價(jià)形式：

奇函數(shù)O/(-%)=-/(%)=/(-%)+/(%)=0

—%)

=埸-=-1(/(九)工0)；

/(x)

偶函數(shù)=/(-%)=/(%)=/,(-%)-/(X)=0

Q號(hào)彳=1(/WW0).

/(x)

二、常用公式

1.幕指數(shù)運(yùn)算法則

War-as=ar+s,(ar)s=ars,(abY=arbr.(a>0,r,seQ)

(2)當(dāng)ri為奇數(shù)時(shí)，W=a；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，忖=|a|=f'°‘°’

—a,a<0.

m___

(3)規(guī)定：aG=胃沆(a>0,m,neN*,且?i>l)；

a~n=~m(a>0,m,nGNM,且n>l)；

an

a0=l(aH0).

2.對(duì)數(shù)恒等式

〃ogaN=N,logaa=l,logal=0?（其中N>0,a>0,且awl）

3.對(duì)數(shù)運(yùn)算法則

設(shè)a>0,且awl,M>0,N>0,貝?。?/p>

loga（MN）=logaM+logaN,

loga0=logaM-10gaN,

n

10gaN=nlogaN

4.對(duì)數(shù)換底公式

10gb廠r

logab=---c-（a>0且aW1；c>0且cW1；b>0）

logca

函數(shù)的應(yīng)用

一、概念與符號(hào)

1.函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于函數(shù)),=/(X),我們把使/?(%)=0的實(shí)數(shù)%叫做函數(shù))，=/?(%)的零

點(diǎn)(zero)

2.二分法

對(duì)于在區(qū)間［a,可上的連續(xù)不斷且/'(a)?/?(0)<0的函數(shù)y=f(x),

通過(guò)不斷地把函數(shù)/1(%)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端

點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法(bisection)。

斷的一條曲線，并且有f(a)?/?(2?)<0,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間

(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,b),使得/1(c)=0,這個(gè)c也就是方

程人幻=0的根。

2.二分法的操作步驟

給出精確度￡,用二分法求函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上零點(diǎn)近似值的步

驟如下：

(1)確定區(qū)間［a,b］,驗(yàn)證f(a)?/'(b)V0,給定精確度￡；

(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c；

(3)計(jì)算f(c);

空間幾何體

一、常用公式

S圓柱全=2m-(r+I),%=S九；

S圓椎="(「+>'椎=九；

S圓臺(tái)=?i(r'2+r2+rzZ+rZ),%=；(S+V^+S')/i；

S球=4兀R2,%="R3.

二、常用定理

(1)用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面.

(2)球心和截面圓心的連線垂直于截面.

(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面半徑r有下面關(guān)系：

r=>jR2-d2.

(4)球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過(guò)球心的截

面截得的圓叫做小圓.

(5)在球面上兩點(diǎn)之間連線的最短長(zhǎng)度，就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在

這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)間的球面距離.

點(diǎn)、直線和平面位置關(guān)系

二、常用定理

1.異面直線判斷定理

過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面

直線.

2.線與線平行的判定定理

(1)平行于同一直線的兩條直線平行.

(2)垂直于同一平面的兩條直線平行.

(3)如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平

面相交，那么這條直線和交線平行.

(4)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平

行.

(5)如果一條直線平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線平行于兩個(gè)

平面的交線.

空間向量與立體幾何

一、常用公式

1?設(shè)a—(a]，a2，。3)‘b—(b],l)2?b?)‘4(X[,)'i,zj，

B(X2,y2,z2),則

⑴|Q|=Ja；+叱+送；

⑵COS〈Q,b>=1a血+。2罕〃%；

—+磴+哈J毋+叢+環(huán)

⑶畫=J01—&)2+。，1一%)2+(Z1—Z2)2.

2.中點(diǎn)坐標(biāo)公式

z

已知%,zjB(X2,火，2)>若M(%,y,z)是線段43的中

點(diǎn)，則有尤=山，y="學(xué)，2=生員.

2J22

3.異面直線所成的角

設(shè)異面直線48、CD所成角為6,則

cos0=|cos寇CD)\=曾智.

11\AB\-\CD\

1?設(shè)a=,%，zj,b=(%29yz,句),貝！I

汽1~~入第2,

%=%，

(Z]=Az2;

⑵若％2y2Z2H°，則QII-b—=—=—;

x2y-zz2

zz

(3)a1b=xxx2+%先+iz=0.

2.共面向量定理：如果兩個(gè)向量a、b不共線，則向量c與向量a、b共

面的充要條件是存在唯一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)%、y,使。=尤。+3小.

直線與方程

一、概念與符號(hào)

L傾斜角

在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與％軸相交的直線，如果把%軸繞著交

點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為叫那么a

就叫做直線的傾斜角，當(dāng)直線和入軸平行或重合時(shí)，規(guī)定其傾斜角為0°,

因此，傾斜角的取值范圍是0,<a<180：

2.斜率

傾斜角不是90’的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，常

用上表示,即k=tana,常用斜率表示傾斜角不等于90,的直線對(duì)于%軸

的傾斜程度.

34到%的角

、依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與%重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角.

44和a所成的角

。和%相交構(gòu)成的四個(gè)角中不大于直角的角叫這兩條直線所成的角，

簡(jiǎn)稱夾角.

圓與方程

一、概念與符號(hào)

1.曲線的方程、方程的曲線

在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看做適合某種條件的點(diǎn)的集合或

軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程/（第，y）=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)

系：

①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的

點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).

那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.

二、常用公式

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

方程（％-a）2+⑶-b）2=產(chǎn)是圓心為（匿b）,半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程.其中當(dāng)a=b=0時(shí)，x2+y2=產(chǎn)表示圓心為（0,0）,半徑為r的

圓.

2.圓的一般方程

方程+y2+Dx+Ey+F=0,當(dāng)。2十七2-4/>0時(shí)，稱為圓的

一般方程.其中圓心為（一3-1）,半街=；3+E2-4F

3.圓的參數(shù)方程

設(shè)C（a,b）,半徑為R,則其參數(shù)方程為

x=a+Rcos6

y=b+Rsin6（6為參數(shù)，0=6<2兀）.

4.直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)直線1：Ax+By+C=0,圓C：（尢一a）?十°,—b）2=產(chǎn).圓心

C（a,b）至"的距離為d="黑蓑、

圓錐曲線與方程

一、橢圓

1.橢圓、+^=1(a>b>0),c2=a2-b2(c>0),焦距IF/2I=2c.

2.如圖5-3-13

5-3-11

橢圓卷?+左=l(a>b>0)的離心率有：e=：=Jl一宗

二、雙曲線

1.雙曲線1一1=1(。>0,b>0),有。2=小+/,焦距

az爐

IF/2I=2c.

且設(shè)4(%,%),B(X2,y2),48所在直線的傾斜角為6,則

2

①％1?%2=彳，％?先=一口2.

②[4F|=x+\BF\=打+'，1=/+打+P=-/;>.特別

122sm，6

地，當(dāng)時(shí)6=]弦長(zhǎng)|4B|=2p,此時(shí)即為拋物線的通徑長(zhǎng).

③S'AOB=號(hào)？

④高+高W

⑤過(guò)B作8。〃入軸，點(diǎn)。在準(zhǔn)線上，貝必、B、F三點(diǎn)共線=4、0、。三

點(diǎn)共線.

四、直線與圓錐曲線的關(guān)系

2

1.弦長(zhǎng)公式：\AB|=V1+fcl%i-x21=Jl+^-|yx-y21.

2.拋物線的焦點(diǎn)弦MB|=4+%2+P?

3.拋物線的通徑|4B|=2p.

統(tǒng)計(jì)

概率

一、常用公式

1.隨機(jī)事件4的概率：P(4)滿足0<P(4)<1.

2.互斥事件的概率加法公式：

(1)如果力、R是互斥事件，貝!JPQ4UB)=PQ4)+P(R).

(2)如果4B是相互獨(dú)立事件,則P(4B)=P⑷P(B).

(3)如果事件力1，4，…，4n兩兩相斥，貝U

P(4u/u&u…u4)=p(&)+p(x2)+-+P(An).

3.互為對(duì)立事件概率加法公式：P(A)+P(A)=1.

4.古典概型：

p⑷事件」包含的基本事件數(shù)

⑷=試琥的基本事件總數(shù)?

5.幾何概型：

產(chǎn)⑷=構(gòu)成事件4的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)

()=試蛉的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積).

離散型隨機(jī)變量的分布列

特別地：

(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)=p(l-p)

(2)若X?B(n,p),貝UD(X)=np(l-p)

(3)D(aX+b)=a2D(X)

8.正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式:

(工-“產(chǎn)

1

/(%)=2d,X￡R,

其中4，。是參數(shù)，且。>0,-oo<fl<4-oo,式中〃和(7分別是正態(tài)

變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差.期望為〃，標(biāo)準(zhǔn)差為。的正態(tài)分布通常記作

N(]l,(72).

當(dāng)〃=0,。=1時(shí)，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作N(0,1).

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的函數(shù)表示式是

/(%)=%GR.

三角函數(shù)

3.三角函數(shù)的定義

如圖，在a的終邊上取一點(diǎn)P(%,y),\OP\=r=^x2+y2>0,

定義：sina=-,cosa=~,tana=-

rrx

二、常用公式

1.孤長(zhǎng)公式：l=\a\R,R為圓弧所在圓的半徑，a為圓弧所對(duì)圓心角

的弧度數(shù)，1為弧長(zhǎng).

2.扇形的面積公式：S=-IR,R為圓的半徑，1為弧長(zhǎng).

2

3.同角三角函數(shù)的關(guān)系式

(1)商數(shù)關(guān)系：tana=史以，

cosa

(2)平方關(guān)系：sin2a4-cos2a=1

(3)誘導(dǎo)公式：

X

sinxcosxtanx

a+k?2n[k€Z)sinacosatana

;r+a-sina-cosatana

-a-sinacosa-tana

JT-asina-cosa一tana

n

2~acosasina

n

2+acosa-sina

三、常用結(jié)論

1.一些特殊角的集合表示

⑴與a終邊相同的角的集合：｛616=2攵兀+a,keZ)；

⑵終邊在第一、三，二、四象限的平分線上的角的集合:

｛a|a=/c7i+：,kGzj,

｛例6=kn—：,kEzj；

⑶終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：｛a|a=g,kGZ)；

⑷終邊在四個(gè)象限的平分線上的角的集合：

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、常用圖形

1.三角函數(shù)線

二、常用性質(zhì)

函數(shù)名稱正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)

解析式y(tǒng)—sinxy=cos%y=tanx

(x|xeR且犬hkir+g,kez]

定義域RR

值域[-1,1][-1,1]R

奇偶性奇函數(shù)偶兇數(shù)奇國(guó)數(shù)

有界性有界函數(shù)有界函數(shù)

周期性T=2nT=2nT=7T

增區(qū)間熠區(qū)間增區(qū)間

[Zkrc-Tt,2Jbr]

\2kn-,2kn+(kw-g,而+9

(fceZ)

單調(diào)性城區(qū)間減區(qū)間(keZ)

[Zkn,2kir+n]

力2k7r+Tj

(kez)

(keZ)

三、常用公式

L正弦函數(shù)y=Asin(cox4-3)和余弦函數(shù)y=Acos(a)x+3)的周期

T2n

丁=而

2.正切函數(shù)y=4tan(3x+?)的周期為7=—

三角恒等變換

解三角形

平面向量

一、常用公式

設(shè)Q、力表示向量，且a=(%],%),b=(%2,%)，津示實(shí)數(shù).

1.加法原理：

a+b=(Xi+%2，/+y2)-

2.減法原理：

a-b=(x1-x2,y1-y2).

3.數(shù)乘：入a=(A%1，入%).

4.數(shù)量積：

ab=xrx2+y，2-ab=|a||b|cosd(其中。為a與b的夾角)

5.平行關(guān)系：

QIIboxxx2—yty2—0.

(1)|a|=y]x2+y2,其中a=(%,y)；

22

(2)|AB|=7(%i-%2)+-y2),其中4(%%),B{X2,y2).

10.角度公式：

,其中。為a與b的夾角.

8s”麗J好+哈荷+及

二、常用定理

1.平面向量基本定理

如果0、62是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的

任一?向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入1、%,使a=七%+"e2.

2.兩向量共線定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有有個(gè)實(shí)數(shù)九使b=Xa.

3.兩向量垂直定理

向量a與向量b垂直的充要條件是a?b=0.

數(shù)列

S奇_5偶=0叫f=三.

S奇、S偶分別為數(shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)的和與所有偶數(shù)項(xiàng)的和.

5.常見(jiàn)數(shù)列的前幾項(xiàng)和的公式

1+2+3+--+九=”出；

2

1+3+5+…+(2n—1)=n2；

l2+22+32+-+n2=?+l)(2n+l)；

6

13+23+33+…+必=怦羅][

二、常用結(jié)論

1.4是a,b的等差中項(xiàng)的充要條件是4=空與

2

2.G是a,b的等比中項(xiàng)的充要條件是G2=ab,其中ab>0.

不等式

1.不等式的性質(zhì)

①a>b<=>b<a

②a>b,b>c=>a>c

③a>b=>a+c>b+c

④Q>b,c>0=>ac>bea>b,c<0=>ac<be

⑤a>b,c>a+c>b+d

⑥a>b>0,c>d>0=>ac>bd

⑦a>b>0=an>bn(neN,n>2)

⑧a>b>0=Va>EN,n>2)

常用邏輯用語(yǔ)

2.在p或q命題中，一真為真.

3.在p且q命題中，一假為假.

4.在非p命題中，與p的真假相反.

5.全稱命題p：VxeM,p(x),它的否定叩：3%GM,?p(x).

6.特稱命題q：BxEM,Q(X),它的否定?q：VxGM,*q(%).

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、常用公式

1.常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式

(1)C，=O(C為常數(shù));

n1

(2)(xy=Tlx*-】(其中neR)；

(3)(sinx)z=cos%；

(4)(cos%)，=—sinx；

(5)(ln%)z=-；

X

(6)(logxY=；

ax\na

⑺("=e'

(8)(axy=axIna.

(9)復(fù)合函數(shù)y=/(g(%))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/(u),u=g(%)的導(dǎo)數(shù)

間的關(guān)系為：%'=%'「％’?

3.一般地，求函數(shù)y=/(%)在［a,可上的最大值與最小值的步驟如

下：

①求函數(shù)y=/(%)在(a,b)的極值；

②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值/'(a),/1(b)比較，其中

最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.

4.微積分基本定理

如果FQ)=/?(%),且/G)在［a,可上可積，則

r/(x)dx=F(x)|?=F(b)-F(a),其中F(x)叫做/'(%)的一個(gè)原函

數(shù).

復(fù)數(shù)

一、常用公式

1.(a+bi)+(c4-di)=(a+c)+(b+d)i,

(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(b—d)i,

(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i,

生包=與當(dāng)+容寫i(c+diWO)(以上a、b、c、dGR).

c+dic2+d2c2+d2v八)

2?Z1土z2——Z1土z?，

Z1,4^2='"Z1'^2，

舊樓仁工。)，

z-z=|z|2,z=z.

3.||zx|-|z2||<|z1±z2|<|zj+|z2|,

\Z1Z2I=

￡1_Iz/

z2\z2f

\z\n=\zn\,

晌二1呵

計(jì)數(shù)原理

7.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式:

nrr

Tr+1=C^a-b（O<r<n,reN,nEN*）.

8.叱+第+鬃+…+圖=2%

C°++C*+…=Q+第+e+…=2f5eN*）

二、常用結(jié)論

1.含有71（71EN）個(gè)元素的集合的子集數(shù)為2%真子集數(shù)為

2.組合數(shù)恒等式5CN*）：（叱）2+（加）2+（第）2+…+（Q）2=

rn_（2n）!

2n=

坐標(biāo)系與參數(shù)方程

1.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化