2022-2023學年高二數(shù)學上學期期末測試（考試范圍：選擇性必修第一、二冊）基礎鞏固卷滿分150分考試時間120分鐘一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．在四面體中，空間的一點M滿足，若M，A，B，C共面，則【】A． B． C． D．【答案】A【解析】利用空間四點共面可知，直接求的值.【詳解】因為M，A，B，C共面，則，得.故選：A2．設，，直線過點且與線段相交，則的斜率的取值范圍是【】A．或 B．C． D．或【答案】D【分析】如圖，求出可得斜率的取值范圍.【詳解】由題設可得，因為直線與線段相交，則或，故選：D.3．圓的圓心和半徑分別是【】A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】先化為標準方程，再求圓心半徑即可.【詳解】先化為標準方程可得，故圓心為，半徑為.故選：D.4．已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為【】A． B． C． D．【答案】D【詳解】在中，設，則，又由橢圓定義可知則離心率，故選D.5．在數(shù)列中，，（，），則【】A． B．1C． D．2【答案】A【分析】通過遞推式求出數(shù)列前幾項可得數(shù)列為周期數(shù)列，利用數(shù)列的周期性可得答案.【詳解】，，，可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，.故選：A.6．設是等比數(shù)列，且，，則【】A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.7．若過點可以作曲線的兩條切線，則【】A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根據(jù)導數(shù)幾何意義求得切線方程，再構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，當時，，當時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.8．設定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為【】A． B．C． D．【答案】A【分析】構造函數(shù)，則可判斷，故是上的增函數(shù)，結(jié)合即可得出答案.【詳解】解：設，則，∵，，∴，∴是上的增函數(shù)，又，∴的解集為，即不等式的解集為.故選A.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．已知拋物線的焦點坐標為F，過點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，點在拋物線上．則【】A． B．當軸時，C．為定值1 D．若，則直線的斜率為【答案】BCD【分析】將點代入可判斷A；求出焦點可判斷B；設直線的方程為，將直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理即可判斷C；由向量的坐標表示以及韋達定理可判斷D.【詳解】對于選項A，將點代入拋物線方程，可得，故選項A錯誤；對于選項B，焦點，點在拋物線上，可得，故選項B正確；對于選項C，設點A，B的坐標分別為，，直線的方程為，聯(lián)立方程消去y后整理為，可得，有，故選項C正確；對于選項D，有，可得，由有解得，故選項D正確．故選：BCD10．如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD-A1B1C1D1，其中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是【】A．AC1=6B．AC1⊥DBC．向量與的夾角是60°D．BD1與AC所成角的余弦值為【答案】AB【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運算和數(shù)量積運算，對選項中的命題分析，判斷正誤即可.【詳解】因為以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，所以·=·=·=6×6×cos60°=18，(++)2=+++2·+2·+2·=36+36+36+3×2×18=216，則||=|++|=6，所以A正確；·=(++)·(-)=·-·+-·+·-=0，所以B正確；顯然△AA1D為等邊三角形，則∠AA1D=60°.因為=，且向量與的夾角是120°，所以與的夾角是120°，所以C不正確；因為=+-=+，所以||==6，||==6，·=(+-)·(+)=36，所以cos<>===，所以D不正確.故選:AB.11．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則下列說法正確的是【】A．數(shù)列的前n項和為 B．數(shù)列的通項公式為C．數(shù)列為遞增數(shù)列 D．數(shù)列為遞增數(shù)列【答案】AD【分析】先根據(jù)和項與通項關系化簡條件，再構造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列定義與通項公式求，最后根據(jù)和項與通項關系得.【詳解】因此數(shù)列為以為首項，為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，即D正確；所以，即A正確；當時所以，即B，C不正確；故選：AD12．下列結(jié)論中正確的有【】A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】根據(jù)常見的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和常用的導數(shù)運算法則求解即可.【詳解】選項A中，若，則，故A正確；選項B中，若，則，令，則，解得，故B正確；選項C中，若，則，故C正確；選項D中，若，則x，故D錯誤．故選:ABC三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長為，則a＝________.【答案】1【分析】先求得相交弦所在直線方程，然后利用勾股定理列方程，解方程求得的值.【詳解】將兩圓的方程相減，得相交弦所在的直線方程為.圓的圓心為，半徑為.到直線的距離為：，解得.故答案為：14．已知數(shù)列滿足則的最小值為__________.【答案】【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，設f（n），由此能導出n＝5或6時f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【詳解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴當n≥2時，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33且對n＝1也適合，所以an＝n2﹣n+33．從而設f（n），令f′（n），則f（n）在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因為n∈N+，所以當n＝5或6時f（n）有最小值．又因為，，所以的最小值為故答案為15．已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)m的取值范圍為___________.【答案】【分析】把函數(shù)有兩個極值點，轉(zhuǎn)化為有兩個不同正根，利用分離參數(shù)法得到.令，，只需和有兩個交點.利用導數(shù)研究的單調(diào)性與極值，即可求出m的取值范圍.【詳解】的定義域為，.要使函數(shù)有兩個極值點，只需有兩個不同正根，并且在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，在的兩側(cè)的單調(diào)性相反.由得，.令，，要使函數(shù)有兩個極值點，只需和有兩個交點.，令得：x>1；令得：0<x<1；所以在上單減，在上單增.當時，；當時，；作出和的圖像如圖，所以-1<m<0即實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：16．某投資公司評估一個需要投資980萬的項目，該項目從第1年年末開始，每一年的凈利潤是萬元，而且收益可以持續(xù)50年.若年利率為8%，記第年年末的收益現(xiàn)值為（，），___________；若該項目值得投資，則的最小值為___________萬元.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】

；

.【分析】根據(jù)折現(xiàn)率的公式，求出每一年的收益現(xiàn)值，再利用等比數(shù)列的前項和，若項目值得投資，則可求出的取值，進而求出最小值.【詳解】依題意，根據(jù)折現(xiàn)率公式，得：第1年年末，凈利潤萬元的收益現(xiàn)值為；第2年年末，凈利潤萬元的收益現(xiàn)值為；第3年年末，收益現(xiàn)值為；以此類推，第年年末，凈利潤萬元的的收益現(xiàn)值為；則年后的總收益現(xiàn)值為若該項目值得投資，則解得：，.故答案為：；.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知為實數(shù)，函數(shù)．(1)若，求實數(shù)的值(2)若時，求函數(shù)在處的切線方程；【答案】(1)，(2)切線方程為【分析】（1）首先對求導，再根據(jù)求解即可.（2）利用導數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，因為，解得.（2）若時，則，，，，所以在處的切線方程為，即.18．（12分）記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項的性質(zhì)求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得．【詳解】（1）因為，即①，當時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當或時，．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項變號法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當或時，．19．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，從而得到平面；（2）方法一：根據(jù)題意，建立相應的空間直角坐標系，得到相應點的坐標，設出點，之后求得平面的法向量以及向量的坐標，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.【詳解】（1）證明：在正方形中，，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，因為在四棱錐中，底面是正方形，所以且平面，所以因為，所以平面．（2）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法因為兩兩垂直，建立空間直角坐標系，如圖所示：因為，設，設，則有，設平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于，當且僅當時取等號，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.［方法二］：定義法如圖2，因為平面，，所以平面．在平面中，設．在平面中，過P點作，交于F，連接．因為平面平面，所以．又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，從而即為與平面所成角．設，在中，易求．由與相似，得，可得．所以，當且僅當時等號成立．［方法三］：等體積法如圖3，延長至G，使得，連接，，則，過G點作平面，交平面于M，連接，則即為所求．設，在三棱錐中，．在三棱錐中，．由得，解得，當且僅當時等號成立．在中，易求，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為．20．（12分）已知雙曲線的左?右焦點分別為，雙曲線C的右頂點A在圓上，且.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）動直線與雙曲線C恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M?N，問為坐標原點)的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，定值2.【分析】（1）由題得關于的方程組，解方程組即得解；（2）先證明當直線的斜率在存在時，2；當直線的斜率存在時，設其方程為，顯然，聯(lián)立直線和雙曲線的方程得到，設,求出即得解.【詳解】解：（1）設雙曲線C的半焦距為c，由點在圓上，得，由-2，得，所以，所以雙曲線C的標準方程為.（2）設直線與軸相交于點D，雙曲線C的漸近線方程為當直線的斜率在存在時，直線為，得2當直線的斜率存在時，設其方程為，顯然，則把直線的方程與聯(lián)立得由直線與軌跡C有且只有一個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別相交可知直線與雙曲線的漸近線不平行，所以，且，于是得,得，得或,設,由，得,同理得,所以綜上，的面積恒為定值2.21．（12分）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設求數(shù)列的前項和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項公式得到結(jié)果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項和，然后利用作差法證明即可；(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時數(shù)列的通項公式，然后分別利用指數(shù)型裂項求和和錯位相減求和計算和的值，據(jù)此進一步計算數(shù)列的前2n項和即可.【詳解】(Ⅰ)設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，對任意的正整數(shù)n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數(shù)列的前2n項和為.22．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【