雙曲線及其標準方程一、復習和等于常數(shù)2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡是平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的二

、引入問題：差等于常數(shù)的點的軌跡是什么呢？同學們，先觀察一段動畫，然后總結(jié).平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的橢圓①如圖(A)，|MF1|-|MF2|=|FF2|=2a②如圖(B)，|MF2|-|MF1|=|FF1|=2a上面兩條曲線合起來叫做雙曲線||MF1|-|MF2||=2a（差的絕對值）F①兩個定點F1、F2——雙曲線的焦點;②|F1F2|=2c——焦距.（2a<|F1F2|）

oF2F1M

平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于︱F1F2︱)的點的軌跡叫做雙曲線.三、雙曲線定義

||MF1|-|MF2||

=2a對雙曲線定義的兩點說明：(1)距離的差要加絕對值,否則只為雙曲線的一支.若F1,F2表示雙曲線的左、右焦點,且點P滿足|PF1|-|PF2|=2a,則點P在右支上;若點P滿足|PF2|-|PF1|=2a,則點P在左支上.(2)在雙曲線定義中,規(guī)定2a<|F1F2|,若把|F1F2|用2c表示,則當2a<2c時,P的軌跡為雙曲線.當2a=2c時,P的軌跡為以F1,F2為端點的兩條射線.當2a>2c時,動點P的軌跡不存在.①兩個定點F1、F2——雙曲線的焦點;②|F1F2|=2c——焦距.（2a<2c）

oF2F1M平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)（小于︱F1F2︱)的點的軌跡叫做雙曲線.雙曲線定義思考：（1）若2a=2c,則軌跡是？（2）若2a>2c,則軌跡是？||MF1|-|MF2||

=2a（3）2a=0,則軌跡是？距離的差為什么要加絕對值?以F1,F2為端點的兩條射線.M的軌跡不存在.線段F1F2的中垂線.生活中的雙曲線雙曲線型自然通風冷卻塔雙曲線也是具有廣泛應用的一種圓錐曲線生活中的雙曲線

xyo

設(shè)M(x,y),雙曲線的焦距為2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0),常數(shù)=2aF1F2M即

|(x+c)2+y2-(x-c)2+y2|

=2a

以F1,F2所在的直線為X軸，線段F1F2的垂直平分線為Y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系Oxy1.建系.2.設(shè)點．3.限制條件．||MF1|-|MF2||=2a如何求雙曲線的標準方程？4.坐標代入．5.化簡.移項兩邊平方后整理得：

兩邊再平方后整理得：

由雙曲線定義知：

設(shè)

代入上式整理得：

5.化簡.F1F2yxoy2a2-x2b2=1焦點在Y軸上的雙曲線的標準方程是什么思考F2F1MxOyOMF2F1xy雙曲線的標準方程:焦點在x軸上焦點在y軸上注：雙曲線的標準方程都可化為一個統(tǒng)一的形式,即Ax2+By2=1(AB<0)而橢圓的方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).問題：如何判斷雙曲線的焦點在哪個軸上？F(±c,0)F(0,±c)x2與y2的系數(shù)符號，決定焦點所在的坐標軸，x2,y2哪個系數(shù)為正，焦點就在哪個軸上，而橢圓的焦點所在位置與分母的大小有關(guān),所以由方程定焦點：橢圓看大小，雙曲線看符號F(±c,0)F(0,±c)焦點在x軸上焦點在y軸上練習：寫出以下雙曲線的焦點坐標（請注意焦點的位置）F(±5,0)F(0,±5)F(±c,0)F(0,±c)例1

已知雙曲線的焦點為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點P到F1、F2的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程.∵2a=6,

c=5∴a=3,c=5∴b2=52-32=16所以所求雙曲線的標準方程為：因為雙曲線的焦點在x軸上，設(shè)它的標準方程為：解:課堂練習

1.寫出適合下列條件的雙曲線的標準方程

1)a=4，b=3，焦點在x軸上.

2）a=，c=4，焦點在坐標軸上.2.已知雙曲線過P1(-2,)和P2(,4)兩點,求雙曲線的標準方程.∵雙曲線的焦點位置不確定,∴可設(shè)雙曲線方程為mx2+ny2=1(mn<0).∵P1,P2在雙曲線上,∴解得

故所求雙曲線方程為

使A、B兩點在x軸上，并且點O與線段AB的中點重合解:由聲速及在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,可知A地與爆炸點的距離比B地與爆炸點的距離遠680m.因為|AB|>680m,所以爆炸點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線在靠近B處的一支上.

例2已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程.如圖所示，建立直角坐標系Oxy,設(shè)爆炸點P(x,y)，則即2a=680，a=340

xyoPBA因此炮彈爆炸點的軌跡方程為利用兩個不同的觀測點A，B測得同一點P發(fā)出信號的時間差，可以確定點P所在雙曲線的方程．如果再增設(shè)一個觀測點C，利用B，C（或A，C）兩處測得的點P發(fā)出信號的時間差，就可以確定點P所在另一雙曲線的方程．解這兩個方程組成的方程組，就能確定點P的準確位置，這是雙曲線的一個重要應用.例3.已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：(x-3)2+y2=9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程．解：設(shè)動圓M的半徑為r,則由外切的條件可得|MC1|=r+1|MC2|=r+3這表明動點M與兩定點C2、C1的距離的差是常數(shù)2．根據(jù)雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)，這里a=1，c=3，則b2=8，設(shè)點M的坐標為(x，y)，其軌跡方程為：

2、如果方程

表示雙曲線，求m的范圍.答案：m<1或m>2課堂練習定義圖象方程焦點a.b.c的關(guān)系||PF1|-|PF2||=2a（０<2a<|F1F2|）F(±c,0)

F(0,±c)小結(jié)定義

方程

焦點a.b.c的關(guān)系F(±c,0)F(±c,