章二、函數(shù)的極限節(jié)

極限的概念一、數(shù)列的極限2021/5/91一、數(shù)列的極限定義在正整數(shù)集上的某一函數(shù)，按照自變量的增大，將其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值排成一列，一些數(shù)列的例子1.數(shù)列極限的定義這樣的一列數(shù)稱為一個(gè)數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，2021/5/92例如2021/5/93隨著的增大，越來(lái)越小，且當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，可以任意小!趨勢(shì)?問(wèn)：2021/5/94如果不存在這樣的常數(shù)A,其中

或

定義1

設(shè)數(shù)列A是一常數(shù)，(不論它多么小),使得對(duì)于時(shí)的一切都成立,是數(shù)列的極限,記為如果對(duì)于任意給定總存在正整數(shù)那么就稱?；蛘叻Q數(shù)列是發(fā)散的.就說(shuō)數(shù)列沒(méi)有極限,稱數(shù)列2021/5/952021/5/96例1證所以,習(xí)題用定義證明數(shù)列極限時(shí),去證滿足條件的正整數(shù)的存在性.關(guān)鍵是對(duì)于任意給定的2021/5/97例2證所以,說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).2.數(shù)列極限與子列極限的關(guān)系這樣得到2021/5/98定理1(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）收斂數(shù)列的證證畢．任一子數(shù)列也收斂．且極限相同．2021/5/99定理(收斂子數(shù)列與數(shù)列間的關(guān)系）對(duì)于數(shù)列若證明：證證畢．2021/5/910二、函數(shù)的極限1.自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向無(wú)窮大的三種情況:定義2.設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若則稱時(shí)的極限,記作常數(shù)A

為函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的數(shù)趨于無(wú)窮大時(shí)的極限.2021/5/911

自變量趨向無(wú)窮大的其余兩種情況:2021/5/9122021/5/913例3

用定義證明證:取因此就有故欲使即2021/5/9142.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限若函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量時(shí),若對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)則稱為函數(shù)在時(shí)的極限.定義5.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,使得當(dāng)

時(shí),有則稱常數(shù)

A

為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或若記作2021/5/915使當(dāng)時(shí),有的幾何意義:2021/5/916那么就證明了的存在性,也就證明了極限的存在.用定義證函數(shù)極限存在時(shí),關(guān)鍵是對(duì)于任意給定的尋找滿足條件的正數(shù)如果找到了這樣的2021/5/917例62021/5/918單側(cè)極限:右極限左極限2021/5/919左右極限存在但不相等,例6證2021/5/920

作業(yè)

P36

1.(2)2.(2)3.(1)(4)5.2021/5/921思考題解答~（等價(jià)）證明中所采用的實(shí)際上就是不等式即證明中沒(méi)有采用“適當(dāng)放大”的值2021/5/922從而時(shí)，僅有成立，但不是的充分條件．反而縮小為2021/5/923練習(xí)題2021/5/924“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引?021/5/925“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引?021/5/926“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找弧⒏拍畹囊?021/5/927“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引?021/5/9281、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒找?、概念的引?021/5/9291、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒找?、概念的引?021/5/930“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引?021/5/931“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引?021/5/932“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引?021/5/933三、數(shù)列的極限2021/5/934三、數(shù)列的極限2021/5/935三、數(shù)列的極限2021/5/936三、數(shù)列的極限2021/5/937三、數(shù)列的極限2021/5/938三、數(shù)列的極限2021/5/939三、數(shù)列的極限2021/5/940