考研數(shù)學一（多元函數(shù)微分學）模擬試卷7(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．設f(x，y)=則f(x，y)在點(0，0)處A．連續(xù)，偏導數(shù)存在．B．連續(xù)，偏導數(shù)不存在．C．不連續(xù)，偏導數(shù)存在．D．不連續(xù)，偏導數(shù)不存在．正確答案：C解析：這是討論f(x，y)在點(0，0)處是否連續(xù)，是否可偏導．先討論f(x，y)在點(0，0)出是否可偏導．由于f(x，0)=0(x∈(－∞，+∞))，則=0．因此(B)，(D)被排除．再考察f(x，y)在點(0，0)處的連續(xù)性．令y=x3，則≠f(0，0)，因此f(x，y)在點(0，0)處不連續(xù)．故應選(C)．知識模塊：多元函數(shù)微分學2．在曲線的所有切線中，與平面x+2y+z=4平行的切線A．只有一條．B．只有兩條．C．至少有三條．D．不存在．正確答案：B解析：t0∈(－∞，+∞)，該曲線在點M0(x(t0)，y(t0)，z(t0))=(t0，)的切線方程為該切線與平面x+2y+z=4平行的充要條件是，切線的方向向量(1，－2t0，)與平面的法向量(1，2，1)垂直，即(1，－2t0，或t0=1，且M0不在該平面上．因此選(B)．知識模塊：多元函數(shù)微分學3．設f′(u)≠0，上點P0(x0，y0，z0)(x0=f())處的法線與z軸的關系是A．平行．B．異面直線．C．垂直相交．D．不垂直相交．正確答案：D解析：曲面在點P0處的法向量為其中r0=因f′(r0)≠0，x0與y0不同時為零n與k不平行(即n與z軸不平行)．又法線與z軸相交．又k.n≠0法線與z軸不垂直．因此選(D)．知識模塊：多元函數(shù)微分學4．下列函數(shù)在點(0，0)處不連續(xù)的是A．B．C．D．正確答案：C解析：注意≤1．在(A)，(B)中分別有f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)．因此選(C)．知識模塊：多元函數(shù)微分學5．設z=f(x，y)=，則f(x，y)在點(0，0)處A．可微．B．偏導數(shù)存在，但不可微．C．連續(xù)，但偏導數(shù)不存在．D．偏導數(shù)存在，但不連續(xù)．正確答案：B解析：設△z=f(x，y)一f(0，0)，則可知△z=△z=0．這表明f(x，y)=在點(0，0)處連續(xù)．因f(x，0)=0(f(x，0)｜x=0=0，同理．f′y(0，0)=0．令α=△z一f′x(0，0)△x—f′y(0，0)△y=，當(△x，△y)沿y=x趨于點(0，0)時即α不是ρ的高階無窮小，因此f(x，y)在點(0，0)處不可微，故選(B)．知識模塊：多元函數(shù)微分學6．設z=f(x，y)=則f(x，y)在點(0，0)處A．偏導數(shù)存在且連續(xù)．B．偏導數(shù)不存在，但連續(xù)．C．偏導數(shù)存在，可微．D．偏導數(shù)存在，但不可微．正確答案：C解析：由偏導數(shù)定義可知這說明f′x(0，0)存在且為0，同理f′y(0，0)存在且為0．又所以f(x，y)在點(0，0)處可微分．故選(C)．知識模塊：多元函數(shù)微分學解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。7．求下列極限：正確答案：(Ⅰ)(Ⅱ)由x4+y2≥2x2｜y｜而=0．因此原極限為0．涉及知識點：多元函數(shù)微分學8．證明極限不存在．正確答案：(x，y)沿不同的直線y=kx趨于(0，0)，有再令(x，y)沿拋物線y2=x趨于(0，0)，有由二者不相等可知極限不存在．解析：先考察(x，y)沿不同的直線趨于(0，0)時f(x，y)的極限．若不同，則得證；若相同，再考察點(x，y)沿其他特殊的路徑——曲線趨于(0，0)時f(x，y)的極限．知識模塊：多元函數(shù)微分學9．(Ⅰ)設f(x，y)=x2+(y－1)arcsin(Ⅱ)設f(x，y)=正確答案：(Ⅰ)因f(x，1)=x2，故=4．又因f(2，y)=4+(y－1)arcsin，故(Ⅱ)按定義類似可求=0(或由x，y的對稱性得)．涉及知識點：多元函數(shù)微分學10．求下列函數(shù)在指定點處的二階偏導數(shù)：正確答案：(Ⅰ)按定義故(Ⅱ)將上式對y求導，得把x=2，y=代入上式，得=e－2(－π2cos2π+2π3sin2π+2π2cos2π)==－π2[e－x(1－x)cosπx－xe－xπsinπx]｜x=2=涉及知識點：多元函數(shù)微分學11．設z=f(u，v，x)，u=φ(x，y)，v=ψ(y)都是可微函數(shù)，求復合函數(shù)z=f(φ(x，y)，ψ(y)，x)的偏導數(shù)正確答案：由復合函數(shù)求導法可得涉及知識點：多元函數(shù)微分學12．設z=f(u，v)，u=φ(x，y)，v=ψ(x，y)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求復合函數(shù)z=f[φ(x，y)，ψ(x，y)]的一階與二階偏導數(shù)．正確答案：已求得第一步，先對的表達式用求導的四則運算法則得(*)第二步，再求．這里f(u，v)對中間變量u，v的導數(shù)仍然是u，v的函數(shù)，而u，v還是x，y的函數(shù)，它們的復合仍是x，y的函數(shù)，因而還要用復合函數(shù)求導法求，．即第三步，將它們代入(*)式得(**)用類似方法可求得涉及知識點：多元函數(shù)微分學13．設u=f(x，y，z，t)關于各變量均有連續(xù)偏導數(shù)，而其中由方程組①確定z，t為y的函數(shù)，求正確答案：注意z=z(y)，t=t(y)，于是②因此，我們還要求將方程組①兩邊對y求導得記系數(shù)行列式為W=(y－t2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint)，則代入②得涉及知識點：多元函數(shù)微分學14．設u=u(x，y)有二階連續(xù)偏導數(shù)，證明：在極坐標變換x=rcosθ，r=rsinθ下有正確答案：利用復合函數(shù)求導公式，有再對用復合函數(shù)求導法及(*)式可得于是【注】在極坐標變換x=rcosθ，γ=rsinθ下，拉普拉斯方程涉及知識點：多元函數(shù)微分學15．設函數(shù)z=(1+ey)cosx－yey，證明：函數(shù)z有無窮多個極大值點，而無極小值點．正確答案：(Ⅰ)先計算(Ⅱ)求出所有的駐點．由解得(x，y)=(2nπ，0)或(x，y)=((2n+1)π，－2)，其中，n=0，±1，±2，…(Ⅲ)判斷所有駐點是否是極值點，是極大值點還是極小值點．在(2nπ，0)處，由于=(－2)×(－1)－0=2＞0，=－2＜0．則(2nπ，0)是極大值點．在((2n+1)π，－2)處，由于=(1+e－2)(－e－2)=＜0．則((2n+1)π，－2)不是極值點．因此函數(shù)z有無窮多極大值點(2nπ，0)(n=0，±1，±2，…)，而無極小值點．涉及知識點：多元函數(shù)微分學16．求函數(shù)z=x2y(4－x－y)在由直線x+y=6，x軸和y軸所圍成的區(qū)域D上的最大值與最小值．正確答案：區(qū)域D如圖8．1所示，它是有界閉區(qū)域．z(x，y)在D上連續(xù)，所以在D上一定有最大值與最小值，它或在D內(nèi)的駐點達到，或在D的邊界上達到．為求D內(nèi)駐點，先求=2xy(4－x－y)－x2y=xy(8－3x－2y)，=x2(4－x－y)－x2y=x2(4－x－2y)．再解方程組得z(x，y)在D內(nèi)的唯一駐點(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4．在D的邊界y=0，0≤x≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0；在邊界x+y=6(0≤x≤6)上將y=6－x代入得z(x，y)=x2(6－x)(－2)=2(x3－6x2)，0≤x≤6．令h(x)=2(x3－6x2)，則h′(x)=6(x2－4x)，h′(4)=0，h(0)=0，h(4)=－64，h(6)=0，即z(x，y)在邊界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值為0，最小值為－64．因此，z(x，y)=－64．涉及知識點：多元函數(shù)微分學17．已知平面曲線Ax2+2Bxy+Cy2=1(C＞0，AC－B2＞0)為中心在原點的橢圓，求它的面積．正確答案：橢圓上點(x，y)到原點的距離平方為d2=x2+y2，條件為Ax2+2Bxy+Cy2－1=0．令F(x，y，λ)=x2+y2－λ(Ax2+2Bxy+Cy2－1)，解方程組將①式乘x，②式乘y，然后兩式相加得[(1－Aλ)x2－Bλxy]+[－Bλxy+(1－Cλ)γ2]=0，即x2+y2=λ(Ax2+2Bxy+Cy2)=λ，于是可得d=．從直觀知道，函數(shù)d2的條件最大值點與最小值點是存在的，其坐標不同時為零，即聯(lián)立方程組F′x=0，F(xiàn)′y=0有非零解，其系數(shù)行列式應為零，即該方程一定有兩個根λ1，λ2，它們分別對應d2的最大值與最小值．因此，橢圓的面積為解析：只需求橢圓的半長軸a與半短軸b，它們分別是橢圓上的點到中心(原點)的距離的最大值與最小值．因此，歸結為求解條件極值問題．知識模塊：多元函數(shù)微分學18．求函數(shù)u=ln(x+)在點A(1，0，1)沿點A指向B(3，－2，2)方向的方向?qū)?shù)．正確答案：先求=(3－1，－2－0，2－1)=(2，－2，1)，l=(2，－2，1)．再求于是涉及知識點：多元函數(shù)微分學19．設有曲面S：=1，平面∏：2x+2y+z+5=0．(Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程；(Ⅱ)求曲面S與平面∏之間的最短距離．正確答案：(Ⅰ)先寫出曲面S上任意點(x0，y0，z0)處的切平面方程．記S的方程為F(x，y，z)=0，F(xiàn)(x，y，z)=－1，則S上點M0(x0，y0，z0)處的切平面方程為F′x(M0)(x－x0)+F′y(M0)(y－y0)+F′z(M0)(z－z0)=0，其中F′x(M0)=x0，F(xiàn)′y(M0)=2y0，F(xiàn)′z(M0)=z0．該切平面與平面∏平行它們的法向量共線即成比例=λ，且2x0+2y0+z0+5≠0．因為M0(x0，y0，z0)在S上，所以它滿足方程即4λ2=1．λ=±于是，(x0，y0，z0)=±(1，，1)顯然，(x0，y0，z0)不在平面∏上．相應的切平面方程是即x+y+z－2=0，x+y+z+2=0．這就是曲面S上平行于平面∏的切平面方程．(Ⅱ)橢球面S是夾在上述兩個切平面之間，故曲面S上切點到平面∏的距離最短或最長因此，曲面S到平面∏的最短距離為d2=涉及知識點：多元函數(shù)微分學20．求曲線Г：在點M0(1，1，3)處的切線與法平面方程．正確答案：這兩個曲面在點M0的法向量分別為n0=(2x，0，2z)｜(1，1，3)=2(1，0，3)，n2=(0，2y，2z)｜(1，1，3)=2(0，1，3)．切線的方向向量與它們均垂直，即有l(wèi)=n2×n2==－3i－3j+k．可取方向向量l=(3，3，－1)，因此切線方程為法平面方程為3(x－1)+3(y－1)－(z－3)=0，即3x+3y－z－3=0．解析：關鍵是求切線的方向向量．這里沒給出曲線的參數(shù)方程，而是給出曲面的交線方程，曲面的交線的切線與它們的法向均垂直，由此可求出切線的方向向量l．知識模塊：多元函數(shù)微分學21．設z(x，y)滿足求z(x，y)．正確答案：把y看作任意給定的常數(shù)，將等式①兩邊對x求積分得z(x，y)=－xsiny－ln｜1－xy｜+φ(y)，其中φ(y)為待定函數(shù)．由②式得－siny－ln｜1－y｜+φ(y)=siny,故φ(y)=2siny+ln｜1－y｜．因此，z(x，y)=(2－x)siny+．解析：實質(zhì)上這是一元函數(shù)的積分問題．當y任意給定時，求z(x，y)就是x的一元函數(shù)的積分問題，但求積分后還含有y的任意函數(shù)，要由z(1，y)定出這個任意函數(shù)．知識模塊：多元函數(shù)微分學22．設f(x，y)=(Ⅰ)求；(Ⅱ)討論f(x，y)在點(0，0)處的可微性，若可微并求df｜(0，0)．正確答案：(Ⅰ)當(x，y)≠(0，0)時，當(x，y)=(0，0)時，因f(x，0)=0由對稱性得當(x，y)≠(0，0)時(Ⅱ)考察在點(0，0)處的連續(xù)性．注意即在點(0，0)處均連續(xù)，因此f(x，y)在點(0，0)處可微．于是涉及知識點：多元函數(shù)微分學23．設z=(x2+y2)求dz與正確答案：由一階全微分形式不變性及全微分四則運算法則得由dz的表達式得(2x+y)．對y求導得涉及知識點：多元函數(shù)微分學24．設z=f(xy)+yφ(x+y)，且f，φ具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求正確答案：先求．由于f(xy)是一元函數(shù)f(u)與二元函數(shù)u=xy的復合，u是中間變量，φ(x+y)是一元函數(shù)φ(Ⅴ)與二元函數(shù)v=x+y的復合，v是中間變量．由題設知方便，由復合函數(shù)求導法則得=f′(xy)+φ(x+y)+yφ′(x+y)，=yf″(xy)+φ′(x+y)+yφ″(x+y)．涉及知識點：多元函數(shù)微分學25．設u=，求du及．正確答案：u=復合而成的x，y，z的三元函數(shù)．先求du(從而也就求得也就可求得du，然后再由由一階全微分形式的不變性及全微分的四則運算法則，得從而因此涉及知識點：多元函數(shù)微分學26．設z=z(x，y)是由方程xy+x+y－z=ez所確定的二元函數(shù)，求dz，正確答案：將方程兩邊求全微分后求出出，由dz可求得分別對x，y求導求得將方程兩邊同時求全微分，由一階全微分形式不變性及全微分的四則運算法則，得ydx+xdy+dx+dy－dz=ezdx，解出dz=[(y+1)dx+(x+1)dy]．從而再將對x求導得代入的表達式得最后求出涉及知識點：多元函數(shù)微分學27．設由方程φ(bz－cy，cx－az，ay－bx)=0(*)確定隱函數(shù)z=z(x，y)，其中φ對所有變量有連續(xù)偏導數(shù)，a，b，c為非零常數(shù)，且bφ′1－aφ′2≠0，求a+b正確答案：將方程(*)看成關于x，y的恒等式，兩邊分別對x，y求偏導數(shù)得由①×a+②×b，可得因此涉及知識點：多元函數(shù)微分學28．設求．正確答案：將方程組對x求偏導數(shù)得解得將方程組對y求偏導數(shù)同樣可得解析：在題設的兩個方程中共有五個變量x，y，z，t和u．按題意x，y是自變量，u是因變量，從而由第二個方程知z應是因變量，即第二個方程確定z是x，y的隱函數(shù)．這樣一來在五個變量中x，y和t是自變量，u與z是因變量．知識模塊：多元函數(shù)微分學29．設z=z(x，y)有連續(xù)的二階偏導數(shù)并滿足①(Ⅰ)作變量替換u=3x+y，v=x+y，以u，v作為新的自變量，變換上述方程；(Ⅱ)求滿足上述方程的z(x，y)．正確答案：(Ⅰ)將z對x，y的偏導數(shù)轉換為z對u，v的偏導數(shù)．由復合函數(shù)求導法得這里仍是u，v的函數(shù)，而u，v又是x，y的函數(shù)，因而將②，③，④代入原方程①得即原方程①變成=0⑤(Ⅱ)由題(Ⅰ)，在變量替換u=3x+y，v=x+y下，求解滿足①的z=z(x，y)轉化為求解滿足⑤的z=z(u，v)．由⑤式=f(u)，其中f(u)為任意的有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)再對u積分得z=φ(u)+ψ(Ⅴ)，其中φ，ψ為任意的有連續(xù)的二階導數(shù)的函數(shù)．回到原變量得z=φ(3x+y)+ψ(x+y)．涉及知識點：多元函數(shù)微分學30．在半徑為R的圓的一切內(nèi)接角形中．求出其面積最大者．正確答案：用x，y，z表示三角形各邊所對的中心角，則三角形的面積S可用x，y，z，R表示為其中z=2π－x－y，將其代入得S=R2[sinx+siny－sin(x+y)]，定義域是D={(x，y)｜x≥0，y≥0，x+y≤2π}．現(xiàn)求S(x，y)的駐點：R2[cosx－cos(x+y)]，R2[cosy－cos(x+y)]．解=0，得唯一駐點：(x，y)=()在D內(nèi)部，又在D的邊界上即x=0或Yy=0或x+y=2π時S(x，y)=0．因此，S在()取最大值．因x=y=，因此內(nèi)接等邊三角形面積最大．涉及知識點：多元函數(shù)微分學31．在空間坐標系的原點處，有一單位正電荷，設另一單位負電荷在橢圓z=x2+y2，x+y+z=1上移動，問兩電荷間的引力何時最大，何時最小?正確答案：用拉格朗日乘子法．令F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+(x2+y2－z)+μ(x+y+z－1)，解方程組由前三個方程得x=y，代入后兩個方程得解得x=y=．記M1，可算得g(M1)=9－5．從實際問題看，函數(shù)g的條件最大與最小值均存在，所以g在點M1，M2分別達到最小值和最大值，因而函數(shù)f在點M1，M2分別達到最大值和最小值，即兩個點電荷間的引力當單位負電荷在點M1處最大，在點M2處最?。馕觯寒斬擖c電荷在點(x，y，z)處時，兩電荷間的引力大小為f(x,y，z)=．負點電荷又在橢圓上，于是問題化為求函數(shù)f(x，y，z)在條件x2+y2－z=0，x+y+z－1=0下的最大值和最小值．為簡單起見，考慮函數(shù)g(x，y，z)=x2+y2+z2，f的最大值(或最小值)就是g的最小值(或最大值)(差一倍數(shù))．于是問題又化為求函數(shù)g(x，y，z)=x2+y2+z2在條件x2+y2－z=0，x+y+z－1=0條件下的最大值和最小值．知識模塊：多元函數(shù)微分學32．曲面2x2+3y2+z2=6上點P(1，1，1)處指向外側的法向量為n，求函數(shù)u=在點P處沿方向n的方向?qū)?shù)．正確答案：首先求出方向露及其方向余弦．曲面F(x，y，z)=2x2+3y2+z2－6=0，在P處的兩個法向量是±=±(4x，6y，2z)｜p=±2(2，3，1)，點P位于第一卦限，橢球面在P處的外法向的坐標均為正值，故可取n=(2，3，1)．它的方向余弦為涉及知識點：多元函數(shù)微分學33．設在xOy平面上，各點的溫度T與點的位置間的關系為T=4x2+9y2，點P0為(9，4)，求：(Ⅰ)gradT｜p0；(Ⅱ)在點P0處沿極角為210°的方向l的溫度變化率；(Ⅲ)在什么方向上點P0處的溫度變化率取得：1°最大值；2°最小值；3°零，并求此最大、小值．正確答案：(Ⅰ)按梯度的定義gradT｜p0==(8x，18y)｜p0=72(1，1)．(Ⅱ)求P0點處沿l方向的溫度變化率即求．按方向用極角表示時方向?qū)?shù)的計算公式得(Ⅲ)溫度T在P0點的梯度方向就是點P0處溫度變化率(即)取最大值的方向，且最大值為｜gradT｜p0｜=72．溫度T在P0點的負梯度方向，即－gradT｜p0=－72(1，1)就是點P0處溫度變化率取最小值方向，且最小值為－｜gradT｜p0｜=－72．與p0處梯度垂直的方向即±就是點p0處溫度變化率為零的方向．因為涉及知識點：多元函數(shù)微分學34．設F(x，y，z)有連續(xù)偏導數(shù)，求曲面S：F=0上點(x0，y0，z0)處的切平面方程，并證明切平面過定點．正確答案：記G(x，y，z)=F，曲面S的方程可