2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國III卷）理科數(shù)學選擇題1.已知集合，則（）B.C.D.2.若，則（）A.B.C.D.3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著，某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為（）A.B.C.D.4.的展開式中的系數(shù)為（）A.B.C.D.5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，則（）A.B.C.D.6.已知曲線在點處的切線方程為，則（）A.,B.,C.,D.,7.函數(shù)在的圖像大致為（）A.B.C.D.8.如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點，則（）A.，且直線是相交直線B.，且直線是相交直線C.，且直線是異面直線D.，且直線是異面直線9.執(zhí)行右邊的程序框圖，如果輸出為，則輸出的值等于（）A.B.C.D.10.雙曲線：的右焦點為，點為的一條漸近線的點，為坐標原點.若則的面積為（）A:B:C:D:11.若是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則（）A.B.C.D.12.設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有個零點，下述四個結(jié)論：eq\o\ac(○,1)在有且僅有個極大值點eq\o\ac(○,2)在有且僅有個極小值點eq\o\ac(○,3)在單調(diào)遞增eq\o\ac(○,4)的取值范圍是其中所有正確結(jié)論的編號是A.eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,4)B.eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)C.eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)D.eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)二.填空題13.已知，為單位向量，且，若，則.答案：解析：∵，∴，∵，∴.14.記為等差數(shù)列的前項和，若，，則.15.設(shè) 、為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則的坐標為________.16.學生到工廠勞動實踐，利用D打印技術(shù)制作模型。如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點，，,D打印機所用原料密度為，不考慮打印損耗，則作該模型所需原料的質(zhì)量為.三．解答題17.為了解甲，乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下實驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同，摩爾溶度相同。經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記為事件“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到的估計值為0.70.求乙離子殘留百分比直方圖中的值；分別估計甲，乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.18.的內(nèi)角的對邊分別為.已知.（1）求;（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍；19.圖1是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中，.將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2.（1）證明：圖2中的四點共面，且平面平面；（2）求圖2中的二面角的大小.20.已知函數(shù).討論的單調(diào)性；是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.21.已知曲線，為直線上的動點.過作的兩條切線,切點分別是,,（1）證明：直線過定點;（2）若以為圓心的圓與直線相切,且切點為線段的中點,求四邊形的面積.選做題（2選1）22.如圖，在極坐標系中，,,,,弧,,所在圓的圓心分別是，，，曲線是弧,曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫出,,的極坐標方程；（2）曲線由,,構(gòu)成，若點在上，且,求的極坐標.23.設(shè)，且.（1）求的最小值；（2）若成立，證明：或.2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國III卷）理科數(shù)學答案一、選擇題1.答案：A解答：，所以.2.答案：D解答：,.3.答案：C解答：4.答案：A解答：由題意可知含的項為，所以系數(shù)為.5.答案：C解答：設(shè)該等比數(shù)列的首項，公比，由已知得，，因為且，則可解得，又因為，即可解得，則.6.答案：D解析：令，則，，得.，可得.故選D.7.答案：B解析：∵，∴，∴為奇函數(shù)，排除選項C.又∵，根據(jù)圖像進行判斷，可知選項B符合題意.8.答案：B解析：連結(jié)，因為點為正方形的中心，所以點為的中點，可知直線都是平面內(nèi)的直線，且不平行，即直線是相交直線，設(shè)正方形的邊長為，則由題意可得：，根據(jù)余弦定理可得：，，所以，故選B.9.答案：C解析：第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；第四次循環(huán)：；…第七次循環(huán)：，此時成立，循環(huán)結(jié)束，可得輸出的.故選C.10.答案:A解析：由雙曲線的方程可得一條漸近線方程為；在中過點做垂直因為得到;所以;故選A;11.答案：C解析:依據(jù)題意函數(shù)為偶函數(shù)且函數(shù)在單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；因為；又因為；所以；故選C.12.答案：D解析：根據(jù)題意，畫出草圖，由圖可知，由題意可得，，解得，所以，解得，故eq\o\ac(○,4)對；令得，∴圖像中軸右側(cè)第一個最值點為最大值點，故eq\o\ac(○,1)對；∵，∴在有個或個極小值點，故eq\o\ac(○,2)錯；∵，∴，故eq\o\ac(○,3)對.二.填空題13.答案：解析：∵，∴，∵，∴.14.答案：解析：設(shè)該等差數(shù)列的公差為，∵，∴，故，∴.15.答案：解析：已知橢圓可知，，，由為上一點且在第一象限，故等腰三角形中，,,，代入可得.故的坐標為.16.答案：解答：，..三．解答題17.解答:依題意得，解得.得到甲離子殘留百分比的平均值為4.05,，乙離子殘留百分比的平均值為6.18.答案：（1）；（2）.解答：（1）由題設(shè)及正弦定理得.因為，所以.由，可得，故.因為，故，因此.（2）由題設(shè)及（1）知的面積.由正弦定理得.由于為銳角三角形，故，，由（1）知，所以，故，從而.因此，面積的取值范圍是.19.解析：證明：（1）四邊形為矩形，又四邊形為菱形與重合即圖2中的四點共面由題意知，，，又，平面，又平面，平面平面.(2)分別取的中點為，連結(jié)，則，即有平面，四邊形為棱形，且，，又平面，，即平面，以點為坐標原點，分別為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標系，，，可得，設(shè)平面的一個法向量為,，令，則,得到，平面的一個法向量為，,故二面角的大小.20.解析：當時，，此時在單調(diào)遞增.當時，令，解得或，令，解得.此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當時，令，解得或，令，解得.此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上可得，當時，在單調(diào)遞增.當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.由（1）中結(jié)論可知，當時，在單調(diào)遞增，此時，∴，滿足題意.當時，若，即，則在單調(diào)遞減，此時，∴，滿足題意.若，即，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.此時∵∴當時，，由可得，與矛盾，故不成立.當時，，由可得，與矛盾，故不成立.綜上可知，或滿足題意.21.答案：解答：（1）當點在時，設(shè)過的直線方程為，與曲線聯(lián)立化簡得，由于直線與曲線相切，則有，解得，并求得坐標分別為，所以直線的方程為；當點橫坐標不為時，設(shè)直線的方程為（），由已知可得直線不過坐標原點即，聯(lián)立直線方程與曲線的方程可得，，消并化簡得，∵有兩個交點∴，設(shè)，，根據(jù)韋達定理有，，，由已知可得曲線為拋物線等價于函數(shù)的圖像，則有，則拋物線在上的切線方程為①，同理，拋物線在上的切線方程為②，聯(lián)立①，②并消去可得，由已知可得兩條切線的交點在直線上，則有，化簡得，，∵，∴，即，即為，解得，經(jīng)檢驗滿足條件，所以直線的方程為過定點，綜上所述，直線過定點得證.（2）由（1）得直線的方程為，當時，即直線方程為，此時點的坐標為，以為圓心的圓與直線相切于恰為中點，此時；當時，直線方程與曲線方程聯(lián)立化簡得，，，，則中點坐標為，由已知可得，即，