試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat19頁2023-2024學年遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體高二上學期10月月考數(shù)學試題一、單選題1．已知向量，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由向量平行關(guān)系可求得的值，進而求得結(jié)果.【詳解】，，，.故選：A.2．若，則直線與平面的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．在平面內(nèi) D．平行或在平面內(nèi)【答案】D【分析】利用向量的基本定理及線面平行的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以由平面向量基本定理知，三向量共面，所以直線與平面的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi).故選：D.3．已知平面直角坐標系中點且直線的法向量是，則實數(shù)的值是（

）A． B． C．3 D．1【答案】C【分析】根據(jù)與法向量垂直可求實數(shù)的值.【詳解】，因為直線的法向量是，故，故，故選：C.4．直線l經(jīng)過兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．∪C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意先求出直線的斜率，再由斜率與傾斜角可求得答案.【詳解】直線l的斜率，因為，所以，設(shè)直線l的傾斜角為，則，因為，所以或，所以直線l的傾斜角的取值范圍是故選：D.5．直線的方程為，當原點到直線的距離最大時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線所過定點的坐標，分析可知當時，原點到直線的距離最大，利用兩直線垂直斜率的關(guān)系可求得實數(shù)的值.【詳解】直線方程可化為，由可得，所以，直線過定點，當時，原點到直線的距離最大，且，又因為直線的斜率為，解得.故選：B.6．直線的方向向量為，且過點，則點到l的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線的方向向量為，取直線的一個單位方向向量為，計算代入空間中點到直線的距離公式即可求解.【詳解】依題意，因為直線的方向向量為，所以取直線的一個單位方向向量為，由，可得，所以，，所以.故選：B.7．柏拉圖多面體是柏拉圖及其追隨者對正多面體進行系統(tǒng)研究后而得名的幾何體．下圖是棱長均為1的柏拉圖多面體，分別為的中點，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量運算得，，再求即可.【詳解】由柏拉圖多面體的性質(zhì)可知，側(cè)面均為等邊三角形，四邊形為邊長為1的菱形，又≌，所以，故四邊形為正方形，同理四邊形也為正方形．

取的中點，連接，則，同理，．故選：A．8．已知為平面外一點，到兩邊的距離都為，則到面的距離（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作，交于，作，交于，過作平面，交平面于，則，從而，由此能求出到平面的距離．【詳解】，為平面外一點，，點到兩邊，的距離均為，過點作，交于，作，交于，過作平面，交平面于，連接，，則，故所以，又，到平面的距離為．故選：B．二、多選題9．給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B．若對空間中任意一點，有，則四點共面C．若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一個基底D．是共線的充要條件【答案】BC【分析】根據(jù)線面垂直、基底、共面、點面距等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，雖然，但是無法判斷是否在平面外，所以A選項錯誤.B選項，由，得，所以，所以共面，所以四點共面，所以B選項正確.C選項，用反證法，若共面；設(shè)，因為不共面，所以，方程無解，所以不共面，可以構(gòu)成空間的一個基底，所以C選項正確.D選項，是反向共線，同向共線得出，共線不能得出，是共線的充分不必要條件，D選項錯誤.故選：BC.10．下列說法錯誤的是（

）A．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是B．若三條直線不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)的取值集合為C．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或D．過兩點的直線方程為【答案】BCD【分析】求出直線與坐標軸的交點坐標即可判斷A；分兩種情況判斷B；分直線經(jīng)過原點和不經(jīng)過原點兩種情況求解，從而判斷C；由直線的方程的兩點式方程的限制條件可判斷D.【詳解】對于A，直線與軸和軸的交點分別為，，所以與兩坐標軸圍成的三角形的面積，故A正確；對于B，三條直線不能構(gòu)成三角形，分兩種情況：①三條直線相交于一點，即為原點，此時有，所以；②直線與或平行，則或，所以或，所以滿足題意的的實數(shù)的取值集合為，故B錯誤；對于C，當直線過原點時，其方程為；當直線不過原點時，設(shè)其方程為，又直線過點，所以，解得，此時直線方程為，即，綜上，所求直線方程為或，故C錯誤；對于D，由直線的兩點式方程可知，當或時，此方程無意義，即直線的兩點式方程不能表示垂直于坐標軸的直線，故D錯誤.故選：BCD11．在正三棱柱中，所有棱長為1，又與交于點，則（

）A．= B．C．三棱錐的體積為 D．與平面BB′C′C所成的角為【答案】AC【解析】畫出正三棱柱，對選項A，由向量的線性運算表示出；對選項B，判斷是否為直角三角形；對選項C，用棱錐體積公式計算；對選項D，利用線面垂直，得出即與平面BB′C′C所成的角，放在直角中求解.【詳解】由題意，畫出正三棱柱如圖所示，向量，故選項A正確；在中，，，，，所以和不垂直，故選項B錯誤；在三棱錐中，，點到平面的距離即中邊上的高，所以，所以，故選項C正確；設(shè)中點為，所以，又三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即與平面BB′C′C所成的角，，所以，故選項D錯誤.故選：AC【點睛】本題主要考查向量的線性運算、求棱錐的體積和線面角的求法，考查學生的數(shù)形結(jié)合能力和計算能力，屬于中檔題.12．已知正方體的棱長為2，點為棱的中點，點在側(cè)面上運動，且直線平面，下列說法正確的是（

）A．點的軌跡長度為B．直線與直線所成的角記為，則的最小值為C．平面與平面所成的銳二面角記為，則D．平面將正方體分成的兩部分體積之比為【答案】ABC【分析】利用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式、棱臺體積公式逐一判斷即可.【詳解】A：建立如圖所示的空間直角坐標系，線段的中點分別為，連接，因為點為棱的中點，點為棱的中點，所以，由正方體的性質(zhì)可知，所以，因此平面就是平面，因為點為棱的中點，點為棱的中點，所以有且，由正方體的性質(zhì)可知且，于是有且，所以四邊形是平行四邊形，則有，而平面，平面，所以平面，因為點為棱的中點，點為棱的中點，所以，由上可知，因此，而平面，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，當點在線段時，則有平面，一定能直線平面，即點的軌跡為線段，顯然，因此本選項正確；B：，，，因為點在線段，所以設(shè)，解得，所以，，，顯然當時，有最小值，最小值為，因此本選項正確；C：，，設(shè)平面的法向量為，因此有，由正方體的性質(zhì)可知平面的法向量為，所以，因此選項C正確；D：由上可知平面就是平面，所以三棱臺的體積為，該正方體的體積為，所以平面將正方體分成的兩部分體積之比為，或者為，因此本選項不正確，故選：ABC

【點睛】關(guān)鍵點睛：利用線面平行的判定定理和面面平行的判定定理確定平面和點的位置是解題的關(guān)鍵.三、填空題13．若直線與直線互相平行，則實數(shù)的值為．【答案】0【分析】根據(jù)題意結(jié)合直線平行運算求解，注意檢驗防止出現(xiàn)重合.【詳解】直線與直線互相平行，則，解得或，當時，直線與直線互相平行，符合題意；當時，直線與直線重合，不符合題意；綜上所述：.故答案為：014．過點且和的距離相等的直線方程是．【答案】或【分析】當斜率不存在時，驗證不滿足條件；當若斜率存在時，設(shè)直線方程為，利用點到直線的距離公式，列出方程求得的值，即可求解.【詳解】若斜率不存在時，過點的直線為，此時不滿足條件；若斜率存在時，設(shè)過點的直線，即．根據(jù)題意，可得，解得或，當時，直線方程為，當時，直線方程為綜上可得，直線方程為或．故答案為：或15．長為4的線段的兩端點在直二面角的兩個面內(nèi)，且與這兩個面都成角，求異面直線與所成的角為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量求出異面直線AB與l所成的角作答.【詳解】依題意，，，過作于，過作于，連，如圖，

顯然，則有，于是，又因為，有，，，，因此，而，則，所以異面直線AB與l所成的角為.故答案為：.16．如圖所示在三棱錐中，側(cè)面底面，底面是邊長為1的正三角形，側(cè)面中，，且為棱中點，則直線上任意一點與上任意一點距離的最小值為．【答案】/【分析】若是中點，連接，過作于，由面面、線面垂直的性質(zhì)找到異面直線、的公垂線，結(jié)合異面直線距離的定義及已知求它們的最小距離.【詳解】若是中點，為棱中點，底面是正三角形，連接，所以，故，由，則，而側(cè)面底面，側(cè)面，側(cè)面底面，故面，又面，則，，面，所以面，面，則，過作于，則，又，所以是異面直線、的公垂線，故直線上任意一點與上任意一點距離的最小值為長度，又是邊長為1，則，故.故答案為：四、解答題17．已知直線．(1)若與垂直，求實數(shù)的值；(2)若直線在兩個坐標軸上的截距的絕對值相等，求實數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)垂直可得參數(shù)滿足的方程，從而可求參數(shù)的值.（2）根據(jù)截距均為0或相等或互為相反數(shù)分類計算后可得參數(shù)的值.【詳解】（1）因為直線與垂直，所以解得.（2）因為直線在兩個坐標軸截距的絕對值相等，所以當直線在兩個坐標軸截距為0時，，解得；當直線在兩個坐標軸截距相等且不為0時，直線的斜率為，故，解得；當直線在兩個坐標軸截距相反且不為0時，直線的斜率為1，故，解得；綜上所述或或.18．在棱長為的正四面體中，．(1)設(shè)，，用，，表示(2)若，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的加、減、數(shù)乘運算即可求得；（2）先表示出，根據(jù)，即可解得．【詳解】（1）因為，所以是棱的中點，所以，則，故．（2）因為，所以，在棱長為的正四面體中，，所以，解得：．19．已知直線，點，點，點在直線上移動，(1)求的最小值：(2)求的最大值，以及最大值時點的坐標【答案】(1)(2)最大值為6，【分析】（1）先把原式轉(zhuǎn)化為兩點間距離，再把兩點間距離最小值轉(zhuǎn)化為點到直線距離；（2）先求的對稱點為，再寫出直線與直線聯(lián)立求點，把最值轉(zhuǎn)化為兩點間距離求解.【詳解】（1）因為，令則原式為，點到直線距離是的最小值，即所以原式最小值為.（2）設(shè)關(guān)于直線的對稱點為則解得所以的最大值為，并且取最小值時，即得，聯(lián)立，此時所以最大值為6，此時.20．如圖，在正四棱錐中，O為底面中心，，，M為PO的中點，.(1)求證：平面EAC；(2)求：（i）直線DM到平面EAC的距離；（ii）求直線MA與平面EAC所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）【分析】(1)建立空間直角坐標系，求出平面EAC的法向量與，即可判斷出線面的位置關(guān)系.(2)利用第一問的法向量，與平行關(guān)系，用點到平面的距離公式可求得，（ii）平面EAC法向量由(1)可得，寫出代入公式即可求得.【詳解】（1）證明：連接BD，則O是BD的中點，且.在正四棱錐中，平面ABCD，，，所以，，以點O為坐標原點，OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，，，，，，，設(shè)平面EAC的法同量，則,即，取，得，∵，∴，∵DM在平面EAC外，∴平面EAC.（2）（i），∴直線DM到平面EAC的距高.（ii），則，∴直線MA與平面EAC所成角的正弦值為.21．在中，已知，，且邊上的中線在軸上的截距為2.(1)求直線的一般式方程；(2)若點在軸上方，的面積為，且過點的直線在軸?軸上的截距相等，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）得到點，然后利用兩點式計算得到結(jié)果.（2）依題意得到的面積，假設(shè)點的坐標，求得點到直線的距離，并得到直線的方程，然后假設(shè)直線方程，代值計算即可.【詳解】（1）根據(jù)題意得到點，又直線過點，根據(jù)兩點式得直線的方程為，即.（2）因為的面積為，點是線段的中點，所以的面積為39.設(shè)點的坐標為，點到直線的距離為，因為，所以，解得.因為直線的方程為，即，所以點到直線的距離解得（舍去），所以點坐標為.當直線過原點時，直線的方程為，即.當直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，將點坐標代入得，，此時直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.22．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，△PAD為等邊三角形，平面平面ABCD，．(1)求點A到平面PBC的距離；(2)E為線段PC上一點，若直線AE與平面ABCD所成的角的正弦值為，求平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）取AD中點O，連接OB，OP.通過證明，可得，.后由等體積法可求得點A到平面PBC的距離；（2）由（1），如圖建立以O(shè)為原點的空間直角坐標系，由直線AE與平面ABCD所成的角的正弦值為，可得.求得平面ADE的法向量后，利用空間向量可得平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值.【詳解】（1）取AD中點O，連接OB，OP.∵為等邊三角形，∴