青島十七中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題命題人：李春娟審核人：王克輝、孫安濤本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試限定用時(shí)120分鐘.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座號(hào)、考號(hào)分別填寫(xiě)在試卷和答題紙規(guī)定的位置.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由特稱命題的否定是全稱命題判斷.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題可得，“”的否定為“”.故選：B2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式確定集合后再求交集即可．【詳解】由題意，，所以．故選：A．更多優(yōu)質(zhì)滋元可家威杏MXSJ6633.設(shè)，則“”是“”A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求得不等式的解集，由此判斷出充分、必要條件.【詳解】由得，即，所以“”是“”充分不必要條件.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查絕對(duì)值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)有意義，則滿足，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B5.已知函數(shù)，則的大致圖象是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用特殊值、、，排除錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，排除A，當(dāng)時(shí)，，排除D，當(dāng)時(shí)，，排除C，故選B.【點(diǎn)睛】從函數(shù)解析式結(jié)合選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)、單調(diào)性、奇偶性、過(guò)特殊點(diǎn)等性質(zhì)，是求解函數(shù)圖象問(wèn)題常見(jiàn)方法.6.已知關(guān)于的不等式的解集是，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的解集確定是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，進(jìn)而得，化簡(jiǎn)為，即可求得答案.【詳解】由題意關(guān)于的不等式的解集是，可知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則，則，故即，即或，即不等式的解集是，故選：C.7.當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳會(huì)按確定的規(guī)律衰減.按照慣例，人們將每克組織的碳含量作為一個(gè)單位，大約每經(jīng)過(guò)年一個(gè)單位的碳衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.當(dāng)死亡生物組織內(nèi)的碳的含量不足死亡前的萬(wàn)分之一時(shí)，用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到碳了.如果用一般的放射性探測(cè)器不能測(cè)到碳，那么死亡生物組織內(nèi)的碳至少經(jīng)過(guò)了（）個(gè)“半衰期”.（參考數(shù)據(jù)）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)生物組織內(nèi)原有的碳含量為，經(jīng)過(guò)n個(gè)半衰期后含量為，根據(jù)題意建立不等式求解即可.【詳解】由題意可設(shè)生物組織內(nèi)原有的碳含量為，需要經(jīng)過(guò)個(gè)半衰期才能不被測(cè)到碳，則，即，所以，，，所以.故選：B8.已知是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及在上的單調(diào)性確定函數(shù)值的正負(fù)情況，結(jié)合可得相應(yīng)不等式組，即可求得答案.【詳解】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以在上也是單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由可得或,即或，解得或，即的解集為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查抽象不等式的解法，解答時(shí)要明確函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)，進(jìn)而判斷函數(shù)值的正負(fù)情況，解答的關(guān)鍵時(shí)根據(jù)不等式結(jié)合函數(shù)值情況得到相應(yīng)不等式組，求得結(jié)果.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若冪函數(shù)的圖象過(guò)，下列說(shuō)法正確的有（）A.且 B.是偶函數(shù)C.在定義域上是減函數(shù) D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緼B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，由經(jīng)過(guò)可得，進(jìn)而得，結(jié)合選項(xiàng)即可根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)逐一求解.【詳解】對(duì)于A;由冪函數(shù)定義知，將代入解析式得，A項(xiàng)正確；對(duì)于B;函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)定義域內(nèi)的任意x滿足，故是偶函數(shù)，B項(xiàng)正確；對(duì)于C;在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；對(duì)于D;的值域不可能取到0，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB10.已知，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用可推導(dǎo)出，然后利用不等式的基本性質(zhì)可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由可得，，則，由不等式的性質(zhì)可得，即.對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，則，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，即，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，由不等式的基本性質(zhì)可得，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.11.下列說(shuō)法正確的為（）A.對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)B.C.與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像及性質(zhì)可判斷，；結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)可判斷；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷.【詳解】對(duì)于，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，則，即，，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，，因?yàn)?，所?而，所以，故正確；對(duì)于，令，則，因?yàn)?所以，同理，當(dāng)時(shí)，也成立，當(dāng)時(shí)，,綜上所訴，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故正確；對(duì)于，令，則在上單調(diào)遞減，而單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤.故選：.12.設(shè)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為 B.的最大值為1C.的最小值為 D.的最大值為6【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)，且，結(jié)合基本不等式逐項(xiàng)求解最值即可判斷正誤.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)：，當(dāng)成立，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)成立，故無(wú)最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，又能取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，當(dāng)成立，故最小值為6，故D錯(cuò)誤.故選：AC.第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則=___________.【答案】1【解析】【分析】先求出，繼而計(jì)算.【詳解】.故答案為：1.14.命題：，.若為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，分離參數(shù)，再由二次函數(shù)的最值，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，為真命題，則在上恒成立，令，，則，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：15.若lg2＝a，lg3＝b，則log512等于________．【答案】【解析】【分析】先用換底公式把換成常用對(duì)數(shù)，再把真數(shù)12化為，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則.【詳解】解：故答案為：.16.已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】分段函數(shù)單調(diào)，則每一段均單調(diào)，并且注意分界點(diǎn)位置高度判斷.【詳解】∵函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，①是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則，無(wú)解；②是上的單調(diào)遞減函數(shù)，則，解得.綜上所述：的取值范圍.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.化簡(jiǎn)求值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪以及根式的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求值，可得答案;（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值，可得答案.【小問(wèn)1詳解】;【小問(wèn)2詳解】.18.已知函數(shù)（且）圖象過(guò)點(diǎn).（1）求的值及的定義域；（2）判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由.【答案】（1）,（2）奇函數(shù)【解析】【分析】（1）代點(diǎn)求值，對(duì)數(shù)真數(shù)大于0.（2）一求定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，二找的關(guān)系.【小問(wèn)1詳解】已知函數(shù)（且）的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，即.又，即,解得.∴的定義域?yàn)?【小問(wèn)2詳解】為奇函數(shù)，理由如下：由（1）知：，的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，即，∴為奇函數(shù).19.已知二次函數(shù)滿足，且.（1）求的解析式；（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為()，根據(jù)題意利用待定系數(shù)法求出a、b、c即可；(2)將原不等式化為，分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法求出不等式當(dāng)、、時(shí)的解集即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由，得又，則，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由已知，即，即，①當(dāng)時(shí)，原不等式即為：，解得；②當(dāng)時(shí)，解得；③當(dāng)時(shí)，解得綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為：，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為：，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為：.20.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）求函數(shù)的解析式；（3）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明.【答案】（1）（2）（3）在上單調(diào)遞增；證明見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式及函數(shù)是奇函數(shù)，先求出，進(jìn)一步計(jì)算即可；（2）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，，，求出解析式，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)知，最后寫(xiě)成分段函數(shù)形式；（3）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，用單調(diào)性定義證明即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，故，所以，則【小問(wèn)2詳解】依題，當(dāng)時(shí)，，，又，故.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：任取且，則，因?yàn)榍?，所以，故，即所以函?shù)在上單調(diào)遞增.21.截至2022年10月，杭州地鐵運(yùn)營(yíng)線路共12條.杭州地鐵經(jīng)歷了從無(wú)到有，從單線到多線，從點(diǎn)到面，從面到網(wǎng)，形成網(wǎng)格化運(yùn)營(yíng)，分擔(dān)了公交客流，緩解了城市交通壓力，激發(fā)出城市新活力.已知某條線路通車后，列車的發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車的載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)，列車為滿載狀態(tài)，載客量為600人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)的載客量為502人，記列車載客量為（1）求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)的載客量；（2）若該線路每分鐘凈收益為（單位：元），則當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.【答案】（1），發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)的載客量為550人（2）當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，最大值為116元【解析】【分析】（1）由已知函數(shù)模型求出解析式，然后計(jì)算時(shí)的發(fā)車量；（2）由（1）的函數(shù)式求出該線路每分鐘凈收益，然后分段求最大值，一段利用基本不等式，一段利用函數(shù)的單調(diào)性求解后比較可得．【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)而，，∴，，即發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)的載客量為550人.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取到最大為當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，最大值為116元．22.設(shè)函數(shù)（，且）．（1）若，證明是奇函數(shù)，并判斷單調(diào)性（不需要證明）；（2）若，求使不等式恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，，且在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析，是減函數(shù)；（2）(－3，5)；（3）2﹒【解析】【分析】(1)f(x)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，判斷f(－x)與f(x)關(guān)系，以此確定奇偶性；f(x)的單調(diào)性可以通過(guò)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷；(2)利用條件，得到在R上單調(diào)遞減，從而將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得，研究二次函數(shù)得到結(jié)論；(3)令，得到二次函數(shù)h(t)，分類討論研究得到，得到結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】證明：的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，∴為奇函數(shù)，∵，∴遞減，遞減，故是減函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】(且)，∵，∴，又，且，∴，故在上單調(diào)遞減，不等式化為，∴，即恒成立，∴，解得；【小問(wèn)3詳解】∵，∴，即，解得或(舍去)，∴，令，由(1)可知為增函數(shù)，∵，∴，令，若，當(dāng)時(shí)，，∴；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，無(wú)解；綜上，．五、附加題（本小題滿分10分）23.（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，若，則的值為_(kāi)__________.（2）已知關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根據(jù)為奇函數(shù)