.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（教學(xué)設(shè)計）課時教學(xué)內(nèi)容橢圓是生產(chǎn)生活中的常見曲線，教材在用細(xì)繩畫橢圓的過程中，體會橢圓的定義，感知橢圓的形狀，為選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、研究橢圓的幾何性質(zhì)做好鋪墊。課時教學(xué)目標(biāo)1.根據(jù)創(chuàng)設(shè)的情景，理解橢圓的定義.2.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，在化簡中提高學(xué)生的運算能力.3.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．教學(xué)重點、難點1.重點：①理解橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．②掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2.難點：理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，領(lǐng)會坐標(biāo)法的應(yīng)用.教學(xué)過程設(shè)計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題橢圓是圓錐曲線的一種，具有豐富的幾何性質(zhì)，在科研、生產(chǎn)和人類生活中具有廣泛的應(yīng)用，那么，問題1：橢圓到底有怎樣的幾何特征？我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)奠定基礎(chǔ)？環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念問題2:取一條定長的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是一個圓．如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點，（圖3.1-1），套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？問題3：在這一過程中，移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？提示橢圓，筆尖到兩個定點的距離的和等于常數(shù)．把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，筆尖移動的過程中，細(xì)繩的長度保持不變，即筆尖到兩個定點的距離的和等于常數(shù)．問題4：應(yīng)該如何完善剛才對橢圓的定義？我們把平面內(nèi)與兩個定點，的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓（ellipse）．這兩個定點叫做橢圓的焦點（focus），兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距（focusdistance），焦距的一半稱為半焦距．由橢圓的定義可知，上述移動的筆尖（動點）畫出的軌跡是橢圓．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念下面我們根據(jù)橢圓的幾何特征，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立橢圓的方程．問題5：觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡單？觀察我們畫出的圖形，可以發(fā)現(xiàn)橢圓具有對稱性，而且過兩個焦點的直線是它的對稱軸，所以我們以經(jīng)過橢圓兩焦點，的直線為軸，線段，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖3.1-2所示．設(shè)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為，那么焦點，的坐標(biāo)分別為，．根據(jù)橢圓的定義，設(shè)點與焦點，的距離的和等于．由橢圓的定義可知，橢圓可看作點集．設(shè)為能為問題研究帶來方便．因為，．所以．①為了化簡方程①，我們將其左邊的一個根式移到右邊，得=2\*GB3②對方程=2\*GB3②兩邊平方，得整理，得=3\*GB3③對方程=3\*GB3③兩邊平方，得整理，得=4\*GB3④將方程=4\*GB3④兩邊同除以，得=5\*GB3⑤由橢圓的定義可知，，即，所以．問題6：觀察圖3.1-3，你能從中找出表示，，的線段嗎？由圖3.1-3可知，，，．令，那么方程⑤就是⑥由于方程②③的兩邊都是非負(fù)實數(shù)，因此方程①到方程⑥的變形都是同解變形．這樣，橢圓上任意一點的坐標(biāo)都滿足方程⑥；反之，以方程⑥的解為坐標(biāo)的點與橢圓的兩個焦點，的距離之和為，即以方程⑥的解為坐標(biāo)的點都在橢圓上．我們稱方程⑥是橢圓的方程，這個方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．它表示焦點在軸上，兩個焦點分別是的橢圓，這里．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念問題7：如圖3.1-4，如果焦點，在軸上，且，的坐標(biāo)分別為，，，的意義同上，那么橢圓的方程是什么？容易知道，此時橢圓的方程是．這個方程也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．例1已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過點，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：由于橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由橢圓的定義知，所以．．所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．你還能用其他方法求它的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？試比較不同方法的特點．解法二：由于橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由橢圓的定義知，所以，所以，將代入，得，整理得，，解得，，所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．例2如圖3.1-5，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足．當(dāng)點在圓上運動時，線段的中點的軌跡是什么?為什么?分析：點在圓上運動，點的運動引起點運動．我們可以由為線段的中點得到點與點坐標(biāo)之間的關(guān)系式，并由點的坐標(biāo)滿足圓的方程得到點的坐標(biāo)所滿足的方程．解：設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，由點是線段的中點，得，．因為點在圓上，所以①把，代入方程①，得，即．所以點的軌跡是橢圓．尋求點的坐標(biāo)中與之間的關(guān)系，然后消去，得到點的軌跡方程．這是解析幾何中求點的軌跡方程常用的方法．利用信息技術(shù)，可以更方便地探究點的軌跡的形狀．思考由例2我們發(fā)現(xiàn)，可以由圓通過“壓縮”得到橢圓．你能由圓通過“拉伸”得到橢圓嗎？如何“拉伸”？由此你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎？環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例3如圖3.1-6，設(shè)，兩點的坐標(biāo)分別為，．直線，相交于點，且它們的斜率之積是，求點的軌跡方程．分析：設(shè)點的坐標(biāo)為，那么直線的斜率就可用含的關(guān)系式分別表示．由直線的斜率圖3.1-6之積是，可得出之間的關(guān)系式，進而得到點的軌跡方程．解：設(shè)點的坐標(biāo)為，因為點的坐標(biāo)是，所以直線的斜率．同理，直線的斜率．由已知，有．化簡，得點的軌跡方程為．點的軌跡是除去，兩點的橢圓．運用信息技術(shù)，可以探究點的軌跡形狀．結(jié)論：已知橢圓方程為，，，為橢圓上任一點，則．推廣：已知橢圓方程為，點，是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，為橢圓上任一點，則．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問題8請同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問題：（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要知識是什么?（2）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常用方法是什么？（3）本節(jié)課涉及到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？知識總結(jié)：活動過程:（師）提問（生）小結(jié)（師生）補充完善.一動二定求和常：兩個方程大對焦；三個字母勾股弦；四個想法留心間：求美，求簡，定義，待定系數(shù)法【設(shè)計意圖】歸納小結(jié)由學(xué)生來完成，讓學(xué)生回顧本節(jié)所學(xué)知識與方法,以逐步提高學(xué)生自我獲取知識的能力，他們及時發(fā)現(xiàn)并糾正自己學(xué)習(xí)中存在的問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.）環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：第109頁練習(xí)第1，2，3,4題第115頁習(xí)題3.1第1,2,5,6,9，10題練習(xí)（第109頁）1．如果橢圓上一點與焦點的距離等于6，那么點與另一個焦點的距離是．1．答案：14解析：由題意知，，由橢圓的定義知，，所以．2．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，，焦點在軸上；(2)，，焦點在軸上；(3)，．2．解析：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）焦點在軸上，∴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（3），，，．由，得．∴當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．3．經(jīng)過橢圓的右焦點作垂直于軸的直線，交橢圓于，兩點，是橢圓的左焦點．（1）求的周長；（2）如果不垂直于軸，的周長有變化嗎?為什么?3．解析：（1）的周長為，所以的