第九節(jié)函數(shù)的連續(xù)與間斷一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算四、初等函數(shù)的連續(xù)性五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)六、小結(jié)思考題2021/5/91一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量2021/5/922.連續(xù)的定義2021/5/932021/5/94例1證由定義2知2021/5/953.單側(cè)連續(xù)定理2021/5/96例2解右連續(xù)但不左連續(xù),2021/5/974.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,2021/5/98例3證2021/5/99二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類2021/5/9101.跳躍間斷點(diǎn)例4解2021/5/9112.可去間斷點(diǎn)例52021/5/912解注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).2021/5/913如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)2021/5/9143.第二類間斷點(diǎn)例6解2021/5/915例7解注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).2021/5/916狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.★★2021/5/917在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù).★判斷下列間斷點(diǎn)類型:2021/5/918例8解2021/5/919三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算定理1例如,2021/5/920定理2嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).2021/5/921定理3證2021/5/922將上兩步合起來:2021/5/923意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;例9解2021/5/924例10解同理可得2021/5/925定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,2021/5/926四、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★2021/5/927定理5基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))定理6一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.2021/5/9281.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.注意注意2.初等函數(shù)求極限的方法代入法.2021/5/929例11例12解解2021/5/930五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義:例如,2021/5/931定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.2021/5/932定理2(有界性定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.證2021/5/933定義:2021/5/934幾何解釋:2021/5/935幾何解釋:MBCAmab證由零點(diǎn)定理,2021/5/936推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例13證由零點(diǎn)定理,2021/5/937例14證由零點(diǎn)定理,2021/5/938六、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)(見下圖)2021/5/939可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx2021/5/9404.連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.6.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.7.初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.兩個(gè)定理;兩點(diǎn)意義.5.反函數(shù)的連續(xù)性.2021/5/9418.有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．閉區(qū)間；2．連續(xù)函數(shù)．這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立．解題思路直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;輔助函數(shù)法:先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點(diǎn)定理;2021/5/942思考題12021/5/943思考題1解答且2021/5/944但反之不成立.例但2021/5/945思考題22021/5/946思考題2解答是它的可去間斷點(diǎn)2021/5/947思考題3下述命題是否正確？2021/5/948思考題3解答不正確.例函數(shù)2021/5/949練習(xí)題12021