2020年中考數學真題分項匯編（全國通用）專題29幾何綜合壓軸問題【共50題】一．解答題（共50小題）1．（2020?天水）性質探究如圖（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，則底邊AB與腰AC的長度之比為．理解運用（1）若頂角為120°的等腰三角形的周長為4+23，則它的面積為；（2）如圖（2），在四邊形EFGH中，EF＝EG＝EH，在邊FG，GH上分別取中點M，N，連接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求線段MN的長．類比拓展頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為．（用含α的式子表示）2．（2020?青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延長線于點G．特例感知：（1）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經過點B．通過觀察、測量BF與CG的長度，得到BF＝CG．請給予證明．猜想論證：（2）當三角尺沿AC方向移動到圖2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點D，過點D作DE⊥BA垂足為E．此時請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE、DF與CG之間存在的數量關系，并證明你的猜想．聯系拓展：（3）當三角尺在圖2的基礎上沿AC方向繼續(xù)移動到圖3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，請你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明）3．（2020?河北）如圖1和圖2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC=34．點K在AC邊上，點M，N分別在AB，BC上，且AM＝CN＝2．點P從點M出發(fā)沿折線MB﹣BN勻速移動，到達點N時停止；而點Q在AC邊上隨P移動，且始終保持∠APQ＝∠（1）當點P在BC上時，求點P與點A的最短距離；（2）若點P在MB上，且PQ將△ABC的面積分成上下4：5兩部分時，求MP的長；（3）設點P移動的路程為x，當0≤x≤3及3≤x≤9時，分別求點P到直線AC的距離（用含x的式子表示）；（4）在點P處設計并安裝一掃描器，按定角∠APQ掃描△APQ區(qū)域（含邊界），掃描器隨點P從M到B再到N共用時36秒．若AK=94，請直接寫出點4．（2020?襄陽）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，點D在邊BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交邊BC于點F，連接CE．（1）特例發(fā)現：如圖1，當AD＝AF時，①求證：BD＝CF；②推斷：∠ACE＝°；（2）探究證明：如圖2，當AD≠AF時，請?zhí)骄俊螦CE的度數是否為定值，并說明理由；（3）拓展運用：如圖3，在（2）的條件下，當EFAF=13時，過點D作AE的垂線，交AE于點P，交AC于點K，若CK5．（2020?牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，點D，E在射線BA上，BD＝DE，過點E作EF∥BC，交射線CA于點F．請解答下列問題：（1）當點E在線段AB上，CD是△ACB的角平分線時，如圖①，求證：AE+BC＝CF；（提示：延長CD，FE交于點M．）（2）當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的角平分線時，如圖②；當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的外角平分線時，如圖③，請直接寫出線段AE，BC，CF之間的數量關系，不需要證明；（3）在（1）、（2）的條件下，若DE＝2AE＝6，則CF＝．6．（2020?遼陽）如圖，射線AB和射線CB相交于點B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．點D是射線CB上的動點（點D不與點C和點B重合），作射線AD，并在射線AD上取一點E，使∠AEC＝α，連接CE，BE．（1）如圖①，當點D在線段CB上，α＝90°時，請直接寫出∠AEB的度數；（2）如圖②，當點D在線段CB上，α＝120°時，請寫出線段AE，BE，CE之間的數量關系，并說明理由；（3）當α＝120°，tan∠DAB=13時，請直接寫出7．（2020?涼山州）如圖，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P、點Q以相同的速度，同時從點A、點B出發(fā)．（1）如圖1，連接AQ、CP．求證：△ABQ≌△CAP；（2）如圖1，當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，AQ、CP相交于點M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數；（3）如圖2，當點P、Q在AB、BC的延長線上運動時，直線AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數．8．（2020?泰安）小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對頂角，∠ABC＝∠CDE＝90°，連接BD，AB＝BD，點F是線段CE上一點．探究發(fā)現：（1）當點F為線段CE的中點時，連接DF（如圖（2）），小明經過探究，得到結論：BD⊥DF．你認為此結論是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結論互換，即：BD⊥DF，則點F為線段CE的中點．請判斷此結論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．問題解決：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的長．9．（2020?常德）已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過點D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長CE到P，使EP＝CE，連接BE，FP，BP，設BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當D，B，F共線時，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當D，B，F不共線時，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．10．（2020?黔東南州）如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．探究發(fā)現（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請說明理由．拓展運用（2）若B、C、E三點不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長．（3）若B、C、E三點在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長．11．（2020?金華）如圖，在△ABC中，AB＝42，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC邊上的高線長．（2）點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連結EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．①如圖2，當點P落在BC上時，求∠AEP的度數．②如圖3，連結AP，當PF⊥AC時，求AP的長．12．（2020?江西）某數學課外活動小組在學習了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側作多邊形，它們的面積S1，S2，S3之間的關系問題”進行了以下探究：類比探究（1）如圖2，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為斜邊向外側作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，則面積S1，S2，S3之間的關系式為；推廣驗證（2）如圖3，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為邊向外側作任意△ABD，△ACE，△BCF，滿足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，則（1）中所得關系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明理由；拓展應用（3）如圖4，在五邊形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝23，DE＝2，點P在AE上，∠ABP＝30°，PE=2，求五邊形ABCDE13．（2020?衡陽）如圖1，平面直角坐標系xOy中，等腰△ABC的底邊BC在x軸上，BC＝8，頂點A在y的正半軸上，OA＝2，一動點E從（3，0）出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CB向左運動，到達OB的中點停止．另一動點F從點C出發(fā)，以相同的速度沿CB向左運動，到達點O停止．已知點E、F同時出發(fā)，以EF為邊作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同側，設運動的時間為t秒（t≥0）．（1）當點H落在AC邊上時，求t的值；（2）設正方形EFGH與△ABC重疊面積為S，請問是否存在t值，使得S=9136？若存在，求出t（3）如圖2，取AC的中點D，連結OD，當點E、F開始運動時，點M從點O出發(fā)，以每秒25個單位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO運動，到達點O停止運動．請問在點E的整個運動過程中，點M可能在正方形EFGH內（含邊界）嗎？如果可能，求出點M在正方形EFGH內（含邊界）的時長；若不可能，請說明理由．14．（2020?青島）已知：如圖，在四邊形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，點C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延長DC交EF于點M．點P從點A出發(fā)，沿AC方向勻速運動，速度為2cm/s；同時，點Q從點M出發(fā)，沿MF方向勻速運動，速度為1cm/s．過點P作GH⊥AB于點H，交CD于點G．設運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：（1）當t為何值時，點M在線段CQ的垂直平分線上？（2）連接PQ，作QN⊥AF于點N，當四邊形PQNH為矩形時，求t的值；（3）連接QC，QH，設四邊形QCGH的面積為S（cm2），求S與t的函數關系式；（4）點P在運動過程中，是否存在某一時刻t，使點P在∠AFE的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．15．（2020?山西）綜合與實踐問題情境：如圖①，點E為正方形ABCD內一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，得到△CBE′（點A的對應點為點C）．延長AE交CE′于點F，連接DE．猜想證明：（1）試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說明理由；（2）如圖②，若DA＝DE，請猜想線段CF與FE'的數量關系并加以證明；解決問題：（3）如圖①，若AB＝15，CF＝3，請直接寫出DE的長．16．（2020?內江）如圖，正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（不與A、C重合），連結BP，將BP繞點B順時針旋轉90°到BQ，連結QP交BC于點E，QP延長線與邊AD交于點F．（1）連結CQ，求證：AP＝CQ；（2）若AP=14AC，求CE：（3）求證：PF＝EQ．17．（2020?郴州）如圖1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．點E是AD的中點，以DE為邊作正方形DEFG，連接AG，CE．將正方形DEFG繞點D順時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜90°）．（1）如圖2，在旋轉過程中，①判斷△AGD與△CED是否全等，并說明理由；②當CE＝CD時，AG與EF交于點H，求GH的長．（2）如圖3，延長CE交直線AG于點P．①求證：AG⊥CP；②在旋轉過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．18．（2020?湘西州）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數量關系．小李同學探究此問題的方法是：延長FC到G，使CG＝AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFG≌△BFE，可得出結論，他的結論就是；探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN繞B點旋轉．它的兩邊分別交AD、DC于E、F，上述結論是否仍然成立？請直接寫出結論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由；探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN繞B點旋轉．它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結論是否仍然成立？并說明理由；實際應用：如圖4，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處．艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處．且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°．試求此時兩艦艇之間的距離．19．（2020?揚州）如圖1，已知點O在四邊形ABCD的邊AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，與BD交于點G，AC分別與BD、OD交于點E、F．（1）求證：OC∥AD；（2）如圖2，若DE＝DF，求AEAF（3）當四邊形ABCD的周長取最大值時，求DEDF20．（2020?臨沂）如圖，菱形ABCD的邊長為1，∠ABC＝60°，點E是邊AB上任意一點（端點除外），線段CE的垂直平分線交BD，CE分別于點F，G，AE，EF的中點分別為M，N．（1）求證：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）當點E在AB上運動時，∠CEF的大小是否變化？為什么？21．（2020?岳陽）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動點P，Q分別從C點，A點同時以每秒1個單位長度的速度出發(fā)，且分別在邊CA，AB上沿C→A，A→B的方向運動，當點Q運動到點B時，P，Q兩點同時停止運動．設點P運動的時間為t（s），連接PQ，過點P作PE⊥PQ，PE與邊BC相交于點E，連接QE．（1）如圖2，當t＝5s時，延長EP交邊AD于點F．求證：AF＝CE；（2）在（1）的條件下，試探究線段AQ，QE，CE三者之間的等量關系，并加以證明；（3）如圖3，當t＞94s時，延長EP交邊AD于點F，連接FQ，若FQ平分∠AFP，求22．（2020?天津）將一個直角三角形紙片OAB放置在平面直角坐標系中，點O（0，0），點A（2，0），點B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，點P在邊OB上（點P不與點O，B重合）．（Ⅰ）如圖①，當OP＝1時，求點P的坐標；（Ⅱ）折疊該紙片，使折痕所在的直線經過點P，并與x軸的正半軸相交于點Q，且OQ＝OP，點O的對應點為O'，設OP＝t．①如圖②，若折疊后△O'PQ與△OAB重疊部分為四邊形，O'P，O'Q分別與邊AB相交于點C，D，試用含有t的式子表示O'D的長，并直接寫出t的取值范圍；②若折疊后△O'PQ與△OAB重疊部分的面積為S，當1≤t≤3時，求S的取值范圍（直接寫出結果即可）．23．（2020?南京）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個燃氣站，向l同側的A、B兩個城鎮(zhèn)分別鋪設管道輸送燃氣．試確定燃氣站的位置，使鋪設管道的路線最短．（1）如圖②，作出點A關于l的對稱點A'，線段A'B與直線l的交點C的位置即為所求，即在點C處建燃氣站，所得路線ACB是最短的．為了證明點C的位置即為所求，不妨在直線1上另外任取一點C'，連接AC'、BC'，證明AC+CB＜AC′+C'B．請完成這個證明．（2）如果在A、B兩個城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個生態(tài)保護區(qū)，燃氣管道不能穿過該區(qū)域．請分別給出下列兩種情形的鋪設管道的方案（不需說明理由）．①生態(tài)保護區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示；②生態(tài)保護區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示．24．（2020?河南）將正方形ABCD的邊AB繞點A逆時針旋轉至AB′，記旋轉角為α，連接BB′，過點D作DE垂直于直線BB′，垂足為點E，連接DB′，CE．（1）如圖1，當α＝60°時，△DEB′的形狀為，連接BD，可求出BB'CE的值為（2）當0°＜α＜360°且α≠90°時，①（1）中的兩個結論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；②當以點B′，E，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出BEB25．（2020?達州）（1）[閱讀與證明]如圖1，在正△ABC的外角∠CAH內引射線AM，作點C關于AM的對稱點E（點E在∠CAH內），連接BE，BE、CE分別交AM于點F、G．①完成證明：∵點E是點C關于AM的對稱點，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝°．②求證：BF＝AF+2FG．（2）[類比與探究]把（1）中的“正△ABC”改為“正方形ABDC”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：①∠FEG＝°；②線段BF、AF、FG之間存在數量關系．（3）[歸納與拓展]如圖3，點A在射線BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH內引射線AM，作點C關于AM的對稱點E（點E在∠CAH內），連接BE，BE、CE分別交AM于點F、G．則線段BF、AF、GF之間的數量關系為．26．（2020?齊齊哈爾）綜合與實踐在線上教學中，教師和學生都學習到了新知識，掌握了許多新技能．例如教材八年級下冊的數學活動﹣﹣折紙，就引起了許多同學的興趣．在經歷圖形變換的過程中，進一步發(fā)展了同學們的空間觀念，積累了數學活動經驗．實踐發(fā)現：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點A落在EF上的點N處，并使折痕經過點B，得到折痕BM，把紙片展平，連接AN，如圖①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”）線段AN的垂直平分線；請判斷圖中△ABN是什么特殊三角形？答：；進一步計算出∠MNE＝°；（2）繼續(xù)折疊紙片，使點A落在BC邊上的點H處，并使折痕經過點B，得到折痕BG，把紙片展平，如圖②，則∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如圖③，折疊矩形紙片ABCD，使點A落在BC邊上的點A'處，并且折痕交BC邊于點T，交AD邊于點S，把紙片展平，連接AA'交ST于點O，連接AT．求證：四邊形SATA'是菱形．解決問題：（4）如圖④，矩形紙片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折疊紙片，使點A落在BC邊上的點A'處，并且折痕交AB邊于點T，交AD邊于點S，把紙片展平．同學們小組討論后，得出線段AT的長度有4，5，7，9．請寫出以上4個數值中你認為正確的數值．27．（2020?濟寧）如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC，點E，F，G分別在邊BC，CD上，BE＝CG，AF平分∠EAG，點H是線段AF上一動點（與點A不重合）．（1）求證：△AEH≌△AGH；（2）當AB＝12，BE＝4時．①求△DGH周長的最小值；②若點O是AC的中點，是否存在直線OH將△ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1：3．若存在，請求出AHAF28．（2020?泰州）如圖，正方形ABCD的邊長為6，M為AB的中點，△MBE為等邊三角形，過點E作ME的垂線分別與邊AD、BC相交于點F、G，點P、Q分別在線段EF、BC上運動，且滿足∠PMQ＝60°，連接PQ．（1）求證：△MEP≌△MBQ．（2）當點Q在線段GC上時，試判斷PF+GQ的值是否變化？如果不變，求出這個值，如果變化，請說明理由．（3）設∠QMB＝α，點B關于QM的對稱點為B'，若點B'落在△MPQ的內部，試寫出α的范圍，并說明理由．29．（2020?安徽）如圖1，已知四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，AE＝AD．EC與BD相交于點G，與AD相交于點F，AF＝AB．（1）求證：BD⊥EC；（2）若AB＝1，求AE的長；（3）如圖2，連接AG，求證：EG﹣DG=2AG30．（2020?綏化）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點G在邊BC上，連接AG，作DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F，連接BE、DF，設∠EDF＝α，∠EBF＝β，BGBC=（1）求證：AE＝BF；（2）求證：tanα＝k?tanβ；（3）若點G從點B沿BC邊運動至點C停止，求點E，F所經過的路徑與邊AB圍成的圖形的面積．31．（2020?德州）問題探究：小紅遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，證明△BED≌△CAD，經過推理和計算使問題得到解決．請回答：（1）小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是：；（2）AD的取值范圍是；方法運用：（3）如圖2，AD是△ABC的中線，在AD上取一點F，連結BF并延長交AC于點E，使AE＝EF，求證：BF＝AC．（4）如圖3，在矩形ABCD中，ABBC=12，在BD上取一點F，以BF為斜邊作Rt△BEF，且EFBE=12，點G是DF的中點，連接32．（2020?樂山）點P是平行四邊形ABCD的對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點E、F．點O為AC的中點．（1）如圖1，當點P與點O重合時，線段OE和OF的關系是；（2）當點P運動到如圖2所示的位置時，請在圖中補全圖形并通過證明判斷（1）中的結論是否仍然成立？（3）如圖3，點P在線段OA的延長線上運動，當∠OEF＝30°時，試探究線段CF、AE、OE之間的關系．33．（2020?成都）在矩形ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處．（1）如圖1，若BC＝2BA，求∠CBE的度數；（2）如圖2，當AB＝5，且AF?FD＝10時，求BC的長；（3）如圖3，延長EF，與∠ABF的角平分線交于點M，BM交AD于點N，當NF＝AN+FD時，求ABBC34．（2020?貴陽）如圖，四邊形ABCD是正方形，點O為對角線AC的中點．（1）問題解決：如圖①，連接BO，分別取CB，BO的中點P，Q，連接PQ，則PQ與BO的數量關系是，位置關系是；（2）問題探究：如圖②，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點A按順時針方向旋轉45°得到的三角形，連接CE，點P，Q分別為CE，BO'的中點，連接PQ，PB．判斷△PQB的形狀，并證明你的結論；（3）拓展延伸：如圖③，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點A按逆時針方向旋轉45°得到的三角形，連接BO'，點P，Q分別為CE，BO'的中點，連接PQ，PB．若正方形ABCD的邊長為1，求△PQB的面積．35．（2020?黑龍江）以Rt△ABC的兩邊AB、AC為邊，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，過點A作AM⊥BC于M，延長MA交EG于點N．（1）如圖①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易證：EN＝GN；（2）如圖②，∠BAC＝90°；如圖③，∠BAC≠90°，（1）中結論，是否成立，若成立，選擇一個圖形進行證明；若不成立，寫出你的結論，并說明理由．36．（2020?衢州）【性質探究】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE平分∠BAC，交BC于點E．作DF⊥AE于點H，分別交AB，AC于點F，G．（1）判斷△AFG的形狀并說明理由．（2）求證：BF＝2OG．【遷移應用】（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當S1S2【拓展延伸】（4）若DF交射線AB于點F，【性質探究】中的其余條件不變，連結EF，當△BEF的面積為矩形ABCD面積的110時，請直接寫出tan∠BAE37．（2020?嘉興）在一次數學研究性學習中，小兵將兩個全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起，使點A與點F重合，點C與點D重合（如圖1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并進行如下研究活動．活動一：將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移，連結AE，BD（如圖2），當點F與點C重合時停止平移．【思考】圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎？請說明理由．【發(fā)現】當紙片DEF平移到某一位置時，小兵發(fā)現四邊形ABDE為矩形（如圖3）．求AF的長．活動二：在圖3中，取AD的中點O，再將紙片DEF繞點O順時針方向旋轉α度（0≤α≤90），連結OB，OE（如圖4）．【探究】當EF平分∠AEO時，探究OF與BD的數量關系，并說明理由．38．（2020?孝感）已知△ABC內接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分線與⊙O交于點D，與AC交于點E，連接CD并延長與⊙O過點A的切線交于點F，記∠BAC＝α．（1）如圖1，若α＝60°，①直接寫出DFDC的值為②當⊙O的半徑為2時，直接寫出圖中陰影部分的面積為；（2）如圖2，若α＜60°，且DFDC=23，DE＝39．（2020?鄂州）如圖所示：⊙O與△ABC的邊BC相切于點C，與AC、AB分別交于點D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直徑．連接OE，過C作CG∥OE交⊙O于G，連接DG、EC，DG與EC交于點F．（1）求證：直線AB與⊙O相切；（2）求證：AE?ED＝AC?EF；（3）若EF＝3，tan∠ACE=12時，過A作AN∥CE交⊙O于M、N兩點（M在線段AN上），求40．（2020?長沙）如圖，半徑為4的⊙O中，弦AB的長度為43，點C是劣弧AB上的一個動點，點D是弦AC的中點，點E是弦BC的中點，連接DE、OD、OE．（1）求∠AOB的度數；（2）當點C沿著劣弧AB從點A開始，逆時針運動到點B時，求△ODE的外心P所經過的路徑的長度；（3）分別記△ODE，△CDE的面積為S1，S2，當S12﹣S22＝21時，求弦AC的長度．41．（2020?廣元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于點O，以O為圓心，OC長為半徑作圓交BC于點D．（1）如圖1，求證：AB為⊙O的切線；（2）如圖2，AB與⊙O相切于點E，連接CE交OA于點F．①試判斷線段OA與CE的關系，并說明理由．②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tanB的值．42．（2020?連云港）（1）如圖1，點P為矩形ABCD對角線BD上一點，過點P作EF∥BC，分別交AB、CD于點E、F．若BE＝2，PF＝6，△AEP的面積為S1，△CFP的面積為S2，則S1+S2＝；（2）如圖2，點P為?ABCD內一點（點P不在BD上），點E、F、G、H分別為各邊的中點．設四邊形AEPH的面積為S1，四邊形PFCG的面積為S2（其中S2＞S1），求△PBD的面積（用含S1、S2的代數式表示）；（3）如圖3，點P為?ABCD內一點（點P不在BD上），過點P作EF∥AD，HG∥AB，與各邊分別相交于點E、F、G、H．設四邊形AEPH的面積為S1，四邊形PGCF的面積為S2（其中S2＞S1），求△PBD的面積（用含S1、S2的代數式表示）；（4）如圖4，點A、B、C、D把⊙O四等分．請你在圓內選一點P（點P不在AC、BD上），設PB、PC、BC圍成的封閉圖形的面積為S1，PA、PD、AD圍成的封閉圖形的面積為S2，△PBD的面積為S3，△PAC的面積為S4，根據你選的點P的位置，直接寫出一個含有S1、S2、S3、S4的等式（寫出一種情況即可）．43．（2020?內江）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連結BE．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）設OE交⊙O于點F，若DF＝2，BC＝43，求線段EF的長；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．44．（2020?哈爾濱）已知：⊙O是△ABC的外接圓，AD為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為E，連接BO，延長BO交AC于點F．（1）如圖1，求證：∠BFC＝3∠CAD；（