（蘇科版）九年級上冊數(shù)學(xué)《第2章對稱圖形---圓》2.2圓的對稱性第二課時垂徑定理知識點一知識點一圓的對稱性圓的軸對稱性圓是軸對稱圖形，圓有無數(shù)條對稱軸，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸；圓又是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心.知識點二知識點二垂徑定理◆1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧；垂徑定理的依據(jù)是圓的軸對稱的性質(zhì).推導(dǎo)格式：◆2、垂徑定理的用法：（1）連接圓心與弦的一端，與過圓心且垂直與弦的線段和弦的一半構(gòu)成直角三角形（即垂徑定理三角形），利用勾股定理列式求值.（2）如圖弦長a，弦心距d，弓形高h，半徑r之間有以下關(guān)系：（3）r,a，d，h，已知其中任意兩個量，即可求出另外兩個量.知識點三知識點三垂徑定理的推論◆1、垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.◆2、垂徑定理及其推論：一條直線滿足：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦（不是直徑）；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧.滿足其中兩個條件就可以推出其它三個結(jié)論（“知二推三”）◆3、垂徑定理的幾個基本圖形：題型一垂徑定理有關(guān)的概念題型一垂徑定理有關(guān)的概念【例題1】下列說法中錯誤的有（）

①過弦的中點的直線平分弦所對的兩條?。?/p>

②弦的垂線平分它所對的兩條??；

③過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條?。?/p>

④平分不是直徑的弦的直徑平分弦所對的兩條?。瓵．1個 B．2個 C．3個 D．4個解題技巧提煉1、垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的弧.2、一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧.滿足其中兩個條件就可以推出其它三個結(jié)論（“知二推三”）【變式1-1】（2023?肅州區(qū)三模）下列語句中，正確的有（）（1）相等的圓心角所對的弧相等；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）長度相等的兩條弧是等?。唬?）圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是對稱軸．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式1-2】如圖，已知⊙O的直徑AB⊥CD弦于點E，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．CE＝DE B．AE＝OE C．∠COA＝∠DOA D．△OCE≌△ODE【變式1-3】如圖，在⊙O中，MN是直徑，AB是弦，且MN⊥AB，垂足為C，下列結(jié)論：①AC＝BC，②AN=BN，③BM=AM，④OC＝CN上述結(jié)論中，正確的有題型二利用垂徑定理求線段長題型二利用垂徑定理求線段長【例題2】（2022春?海門市期中）如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的垂線段OE長為3cm，則半徑OA的長為cm．解題技巧提煉作弦的垂線并連接圓心與弦的一個端點，構(gòu)造“垂徑定理三角形”，利用勾股定理求解.【變式2-1】（2023春?渝中區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，若CD=45BE＝2，則AB的長是（）A．12 B．16 C．65 D．【變式2-2】（2023?伊川縣一模）如圖，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，點P是AB上任意一點（不與點A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分別為C，D，則CD的長為（）A．12 B．22 C．32 【變式2-3】（2022?丹江口市模擬）如圖，AB是⊙O的弦，AB長為8，P是⊙O上一個動點（不與A，B重合），過點O作OC⊥AP于點C，OD⊥PB于點D，則CD的長為（）A．3 B．23 C．43 D．4【變式2-4】（2023?蒙陰縣三模）已知⊙O的半徑為5，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上，若PA＝2，PB＝4，則OP＝（）A．14 B．15 C．17 D．32題型三利用垂徑定理求角度題型三利用垂徑定理求角度【例題3】（2022秋?諸城市校級月考）如圖，⊙O的直徑是4cm，C是AB的中點，弦AB、CD交于P，CD＝23cm，求∠APC的度數(shù)．解題技巧提煉主要是利用垂徑定理以及等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和等知識來求解．【變式3-1】如圖，AB為⊙O的直徑，AD是⊙O的弦，E是AD的中點，連接OE并延長交⊙O于點C，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度數(shù)．【變式3-2】如圖，已知⊙O半徑OA＝4，點B為圓上的一點，點C為劣弧AB上的一動點，CD⊥OA，CE⊥OB，連接DE，要使DE取得最大值，則∠AOB等于（）A．60° B．90° C．120° D．135°【變式3-3】如圖，在⊙O中，弦BC與半徑OA垂直于點D，連接AB、AC．點E為AC的中點，連接DE．（1）若AB＝6，求DE的長；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度數(shù)．題型四利用垂徑定理求最值題型四利用垂徑定理求最值【例題4】（2022秋?道外區(qū)期末）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的一個動點，則線段OM的長的最小值為（）A．3 B．4 C．6 D．8解題技巧提煉本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．利用“過直線外一點與直線上的所有連線中垂線段最短”求最值.【變式4-1】（2022春?江夏區(qū)校級月考）如圖，在⊙O中，弦AB＝5，點C在AB上移動，連結(jié)OC，過點C作CD⊥OC交⊙O于點D，則CD的最大值為（）A．5 B．2.5 C．3 D．2【變式4-2】在平面直角坐標(biāo)系中，若以A（2，﹣1）為圓心，2為半徑的⊙A與過點B（1，0）的直線交于C、D，則CD的最小值為（）A．2 B．2 C．22 D．4【變式4-3】（2023?江都區(qū)模擬）如圖平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為55，弦AB的長為4，過點O作OC⊥AB于點C，⊙O內(nèi)一點D的坐標(biāo)為（﹣4，3），當(dāng)弦AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)時，點D到AB的距離的最小值是．【變式4-4】（2023?武安市二模）如圖1所示是一款帶毛刷的圓形掃地機器人，它的俯視圖如圖2所示，⊙O的直徑為40cm，毛刷的一端為固定點P，另一端為點C，CP=102cm，毛刷繞著點P旋轉(zhuǎn)形成的圓弧交⊙O于點A，B，且A，P，B三點在同一直線上．毛刷在旋轉(zhuǎn)過程中，與⊙O交于點D，則A．202cm B．(20-102)cm C．(20題型五利用垂徑定理求取值范圍題型五利用垂徑定理求取值范圍【例題5】（2022?甘肅模擬）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，點M是弦AB上的動點，則（）A．4≤OM≤5 B．3≤OM＜5 C．3＜OM≤5 D．3≤OM≤5解題技巧提煉本題考查了垂徑定理、勾股定理以及線段的最值問題來求范圍，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023?同心縣校級二模）如圖，⊙O的半徑為10，弦AB＝16，M是弦AB上的動點，則OM不可能為（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式5-2】（2022秋?桃城區(qū)校級期末）如圖，已知⊙O的直徑為26，弦AB＝24，動點P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若點M、N分別是弦AB、PQ的中點，則線段MN的取值范圍是（）A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤16【變式5-3】如圖，⊙O的直徑為10，A、B、C、D是⊙O上的四個動點，且AB＝6，CD＝8，若點E、F分別是弦AB、CD的中點，則線段EF長度的取值范圍是（）A．1≤EF≤7 B．2≤EF≤5 C．1＜EF＜7 D．1≤EF≤6題型六利用垂徑定理求面積題型六利用垂徑定理求面積【例題6】（2023?石城縣模擬）如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE＝2，AE＝3，則△ACB的面積為（）A．3 B．5 C．6 D．8解題技巧提煉本題考查垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計算，掌握垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計算公式是正確解答的前提．【變式6-1】（2023?澗西區(qū)校級二模）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，連接AO并延長，交⊙O于點E，連接BE，DE．若DE＝3DO，AB=45，則△ODEA．4 B．32 C．25 D【變式6-2】（2022秋?玄武區(qū)校級月考）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個圓形花壇O，點C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個花壇的面積為（）A．144π B．256π C．400π D．441π【變式6-3】（2022秋?新余期末）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，則圖中陰影部分的面積為．【變式6-4】（2022?新洲區(qū)模擬）如圖，點A，C，D均在⊙O上，點B在⊙O內(nèi)，且AB⊥BC于點B，BC⊥CD于點C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，則⊙O的面積為（）A．125π4 B．275π4 C．125π9 題型七垂徑定理分類討論問題題型七垂徑定理分類討論問題【例題7】（2023?岱岳區(qū)二模）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，則AB與CD之間的距離為（）cm．A．1 B．7 C．1或7 D．3或4解題技巧提煉當(dāng)遇到求兩平行弦間的距離或者是弓形高的等問題時在沒有給出圖形的情況下，要進行分類討論,同時要利用垂徑定理和勾股定理來解決問題.【變式7-1】已知弓形的弦長為8cm，所在圓的半徑為5cm，則弓形的高為．【變式7-2】已知⊙O的直徑AB＝20，弦CD⊥AB于點E，且CD＝16，則AE的長為．【變式7-3】（2022?牡丹江）⊙O的直徑CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝3：5，則AC的長為．題型八垂徑定理與證明題型八垂徑定理與證明【例題8】（2022秋?鄒城市校級期末）如圖，AB、CD為⊙O的兩條弦，AB∥CD，經(jīng)過AB中點E的直徑MN與CD交于F點，求證：CF＝DF．解題技巧提煉本題考查的是垂徑定理，有時需要根據(jù)題意作出輔助線，利用垂徑定理求解是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-1】如圖，AB是⊙O的弦，C、D為直線AB上兩點，OC＝OD，求證：AC＝BD．【變式8-2】（2020秋?金州區(qū)校級期末）如圖，兩個圓都以點O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點，求證：AD＝BC．【變式8-3】（2023春?蕭縣月考）如圖1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．求證：四邊形ADOE是正方形；（2）如圖2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分別交⊙O于D，C兩點，連接CD．求證：AB，CD是⊙O的等垂弦．題型九利用垂徑定理解決實際問題題型九利用垂徑定理解決實際問題【例題9】（2023?薛城區(qū)二模）唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導(dǎo)．如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦AB長8m，輪子的吃水深度CD為2m，則該槳輪船的輪子直徑為（）A．10m B．8m C．6m D．5m解題技巧提煉利用垂徑定理建模解決實際問題，先把實際問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形（圓或半圓），巧用弦的一半、圓的半徑和過圓心的垂線段組成直角三角形，然后借助勾股定理，列出方程求解.【變式9-1】（2022?宣州區(qū)二模）如圖所示的是一圓弧形拱門，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，則該拱門的半徑為（）A．53m B．2m C．83m 【變式9-2】（2023?岳麓區(qū)校級模擬）把半徑為5cm的球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若CD＝8cm，則EF的長為（）A．8cm B．7cm C．5cm D．4cm【變式9-3】（2022?旌陽區(qū)二模）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．2米 C．(3-5)米 D．【變式9-4】（2022秋?下城區(qū)校級月考）如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為30m，拱高PM為9m，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有15m時，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有2m，即PN＝2m時，試求：（1）拱橋所在的圓的半徑；（2）通過計算說明是否需要采取緊急措施．題型十垂徑定理與平面直角坐標(biāo)系的綜合應(yīng)用題型十垂徑定理與平面直角坐標(biāo)系的綜合應(yīng)用【例題10】（2023?城西區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，點P在第一象限，⊙P與x軸交于O，A兩點，點A的坐標(biāo)為（6，0），⊙P的半徑為13，則點P的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（2，3） C．（3，1） D．（2，2）解題技巧提煉利用垂徑定理在平面直角坐標(biāo)系中求點的坐標(biāo)或弦長，一般是過圓心作直線的垂線，由弦心矩、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形，然后利用勾股定理及其它幾何知識求出點的坐標(biāo)或線段長.【變式10-1】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，半徑為5的⊙A與y軸交于點B（0，2）、C（0，10），則點A的橫坐標(biāo)為（）A．﹣3 B．3 C．4 D．6【變式10-2】（2022秋?興義市期中）如圖，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半徑為5的⊙A經(jīng)過M、N，則A點坐標(biāo)為（）A．（﹣5，﹣6） B．（﹣4，﹣5） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）【變式10-3】（2023?沙市區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)