專題06二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【九大題型】【題型目錄】【知識梳理】知識點(diǎn)二：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2的圖象的性質(zhì)：的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值0．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值0．的性質(zhì)：上加下減的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．的性質(zhì)：左加右減的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．的性質(zhì)：左加右減，上加下減的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．一般式：（，，為常數(shù)，）；函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時，y有最大值，知識點(diǎn)三：二次函數(shù)的圖象與a，b，c的關(guān)系學(xué)生對二次函數(shù)中字母系數(shù)a、b、c及其關(guān)系式的符號判斷常有些不知所措，這里介紹幾個口訣來幫助同學(xué)們解惑．1．基礎(chǔ)四看“基礎(chǔ)四看”是指看開口，看對稱軸，看與y軸的交點(diǎn)位置，看與x軸的交點(diǎn)個數(shù)．“四看”是對二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象最初步的認(rèn)識，而且這些判斷都可以通過圖象直接得到，同時還可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些簡單的組合應(yīng)用．2．組合二看(1)三全看點(diǎn)在a、b、c間的加減組合式中，最常見的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等類型的式子，這類式子a、b、c三個字母都在，并且c的系數(shù)通常為1，這時只要取x為b前的系數(shù)代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，從而由其對應(yīng)的y的值時進(jìn)行判斷即可．(2)有缺看軸當(dāng)a、b、c三個字母只出現(xiàn)兩個間的組合時，這時對同學(xué)們來講難度是較大的，如何解決呢？其實(shí)我們只要想一想為什么會少一個字母，這個問題就可以較好的解決．少一個字母的原因就是因?yàn)橛袑ΨQ軸為我們提供了a、b之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如果少的是字母c，則直接用對稱軸提供的信息即可解決；如果少的是字母a或b，則可利用對稱軸提供的a、b間轉(zhuǎn)換信息，把a(bǔ)（或b）用b（或a）代換即可．3．取值計算當(dāng)解題感到無從下手時，可以嘗試取值法，只要根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)及所給出的數(shù)據(jù)（或范圍），取相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式中，求出其字母系數(shù)，即可進(jìn)行相關(guān)判斷．二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是弄清楚圖象的開口方向、對稱軸的位置、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及其圖象中特殊點(diǎn)的位置，確定出與0的大小關(guān)系及含有的代數(shù)式的值的大小關(guān)系.(1)決定開口方向:當(dāng)時拋物線開口向上;當(dāng)時拋物線開口向下.(2)共同決定拋物線的對稱軸位置:當(dāng)同號時，對稱軸在軸左側(cè);當(dāng)異號時，對稱軸在軸右側(cè)(可以簡稱為“左同右異”);當(dāng)時，對稱軸為軸.(3)決定與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo):當(dāng)時，圖象與軸交于正半軸;當(dāng)時，圖象過原點(diǎn);當(dāng)時，圖象與軸交于負(fù)半軸.(4)的值決定了拋物線與軸交點(diǎn)的個數(shù):當(dāng)時，拋物線與軸有兩個交點(diǎn);當(dāng)時，拋物線與軸有一個交點(diǎn);當(dāng)時，拋物線與軸沒有交點(diǎn).(5)的符號由時，的值確定:若，則;若，則.(6)的符號由時，的值確定:若，則;若，則.知識點(diǎn)四：二次函數(shù)圖象的平移由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，拋物線()的圖象是由拋物線()的圖象平移得到的.在平移時，不變(圖象的形狀、大小不變)，只是頂點(diǎn)坐標(biāo)中的或發(fā)生變化(圖象的位置發(fā)生變化)。平移規(guī)律是“左加右減，上加下減”，左、右沿軸平移，上、下沿軸平移，即.因此，我們在解決拋物線平移的有關(guān)問題時，首先需要化拋物線的解析式為頂點(diǎn)式，找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)上面的平移規(guī)律，解決與平移有關(guān)的問題，注意：(1)a的絕對值越大，拋物線的開口越小.(2)理解并掌握平移的過程，由，的圖象與性質(zhì)及上下平移與左右平移的規(guī)律：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：平移規(guī)律：概括成八個字“左加右減，上加下減”．【經(jīng)典例題一二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】【例1】（2023·山東泰安·?？既＃┤鐖D是二次函數(shù)圖象的一部分，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，直線是對稱軸，有下列結(jié)論：①；②；③若是拋物線上兩點(diǎn)，則；④；其中正確結(jié)論有（

）個．A．4 B．3 C．2 D．1【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考三模）拋物線的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，直線與拋物線都經(jīng)過點(diǎn)．則下列四個結(jié)論：①；②若與是拋物線上的兩個點(diǎn)，則；③；④當(dāng)時，函數(shù)的值為．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是()

A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·新疆克拉瑪依·統(tǒng)考二模）如圖是拋物線圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與x軸的一個交點(diǎn)為，點(diǎn)A和點(diǎn)B均在直線上．①；②；③拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為；④方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；⑤不等式的解集為．上述五個結(jié)論中，其中正確的結(jié)論是________（填寫序號即可）．

3．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）．（1）若點(diǎn)，在函數(shù)圖像上，則______（填“>”、“<”或“=”）；（2）當(dāng)時，，則的取值范圍是_______．【經(jīng)典例題二二次函數(shù)圖象的平移與對稱問題】【例2】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）將拋物線（a、b是常數(shù)，）向下平移2個單位長度后，得到的新拋物線恰好和拋物線關(guān)于y軸對稱，則a、b的值為（

）A．， B．， C．， D．，【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，對于橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”，將拋物線沿軸向下平移個單位，使其平移后的拋物線恰好只有一個“好點(diǎn)”，則的值為（

）A． B． C．2 D．2．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線截得坐標(biāo)軸上的線段長，D為的頂點(diǎn)，拋物線由平移得到，截得軸上的線段長．若過原點(diǎn)的直線被拋物線，所截得的線段長相等，則這條直線的解析式為______．3．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）已知拋物線的對稱軸為直線，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)圖象與軸的另一交點(diǎn)的坐標(biāo)及其函數(shù)表達(dá)式．(2)記圖象與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交圖象于另一點(diǎn)．將拋物線向上平移個單位長度后，與軸交于點(diǎn)點(diǎn)為右側(cè)的交點(diǎn)）．若，求的值．【經(jīng)典例題三利用二次函數(shù)的性質(zhì)求自變量的范圍】【例3】（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線（，為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上，其橫坐標(biāo)為，若該拋物線在點(diǎn)左側(cè)部分（包括點(diǎn)）的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．則的值為（

）A． B． C． D．或【變式訓(xùn)練】1．（2022春·九年級課時練習(xí)）二次函數(shù)y＝x2+bx的對稱軸為直線x＝2，若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在﹣1＜x≤6的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（

）A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤122．（2022春·浙江金華·八年級校考階段練習(xí)）將二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示．當(dāng)直線與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點(diǎn)時，b的值為___3．（2023春·浙江杭州·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)在該二次函數(shù)上．①當(dāng)時，求的值；②當(dāng)時，的最小值為，求的取值范圍．【經(jīng)典例題四待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式】【例4】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）二次函數(shù)的自變量與函數(shù)的幾組對應(yīng)值如下表，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．當(dāng)時，的值隨值的增大而減少C．的值為 D．方程有兩個根、，且滿足【變式訓(xùn)練】1．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）已知拋物線與軸的公共點(diǎn)是，，將該拋物線向右平移個單位長度與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·浙江寧波·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸的直線，交拋物線于點(diǎn)，連接，若點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好落在線段上，則________．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（m，n，k為常數(shù)且）．(1)若的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求該函數(shù)的表達(dá)式．(2)若函數(shù)的圖象始終經(jīng)過同一定點(diǎn)M．①求點(diǎn)M的坐標(biāo)和k的值．②若，當(dāng)時，總有，求的取值范圍．【經(jīng)典例題五根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值】【例5】（2023·四川成都·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，下列說法正確的是（

）．A． B．當(dāng)時，隨的增大而減小C．點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為雅系點(diǎn)．已知二次函數(shù)的圖象上有且只有一個雅系點(diǎn)，且當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，最大值為，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2021春·浙江·九年級期末）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)在線段上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸對稱，連結(jié)并延長交軸于點(diǎn)．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_______．3．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州綠城育華學(xué)校?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)圖象的表達(dá)式．其中．(1)若此函數(shù)圖象過點(diǎn)，求這個二次函數(shù)的解析式：(2)函數(shù)，若，為此二次函數(shù)圖象上的兩個不同點(diǎn)．①若，則，試求的值；②當(dāng)，對任意的都有，試求的取值范圍．【經(jīng)典例題六二次函數(shù)與x、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)問題】【例6】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？既＃┮讶缍魏瘮?shù)，當(dāng)時，自變量的取值范圍為，則以下式子正確的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學(xué)校考二模）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、D的橫坐標(biāo)分別為3和，其圖像與x軸圍成封閉圖形L，圖形L內(nèi)部（不包含邊界）恰有4個整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)），系數(shù)a的值可以是（

）

A． B． C． D．2．（2022秋·浙江溫州·九年級校考期中）如圖，是一個半圓和拋物線的一部分圍成的“芒果”．已知點(diǎn)分別是“芒果”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，是半圓的直徑，拋物線的解析式為，若長為4，則圖中的長為______．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為．(1)求a的值．(2)求二次函數(shù)在x軸上截得的線段長的值．(3)對于任意實(shí)數(shù)k，規(guī)定：當(dāng)時，關(guān)于x的函數(shù)的最小值記作：，求的解析式．【經(jīng)典例題七利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】【例7】（2023·福建南平·統(tǒng)考二模）已知拋物線（為常數(shù)）的頂點(diǎn)不在拋物線（為常數(shù)）上，則應(yīng)滿足（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東廣州·廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？级＃佄锞€G：與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將拋物線G沿直線平移得到拋物線H，若拋物線H與y軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的最大值是（

）．A． B． C． D．2．（2022秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期中）二次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)、，滿足且這兩點(diǎn)在對稱軸兩側(cè)，當(dāng)時，的最大值和最小值的差為，則的取值范圍是_______.3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）．(1)當(dāng)，時，求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，當(dāng)該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)時，求n關(guān)于m的函數(shù)解析式．(3)已知，當(dāng)時，該函數(shù)有最大值8，求c的值．【經(jīng)典例題八二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的新定義問題】【例8】（2023·廣東深圳·校考一模）我們定義一種新函數(shù)：形如的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組畫出一個“鵲橋”函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．當(dāng)直線與該圖像恰有三個公共點(diǎn)時，則D．關(guān)于的方程的所有實(shí)數(shù)根的和為4【變式訓(xùn)練】1．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義符號含義為：當(dāng)時；當(dāng)時．如：，．則的最大值是（）A． B． C．1 D．02．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a⊕b＝ab＋a＋b，其中等式右邊是通常的加法、乘法運(yùn)算，例如2⊕3＝2×3＋2＋3＝11．若y關(guān)于x的函數(shù)y＝（kx＋1）⊕（x－1）圖象與x軸僅有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為_______．3．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：將二次函數(shù)在軸下方部分沿軸向上翻折，翻折后部分與原來末翻折部分形成一個新的函數(shù)，那么稱函數(shù)為原二次函數(shù)的有趣函數(shù)．(1)二次函數(shù)_______________（有/沒有）有趣函數(shù)．(2)已知二次函數(shù)與軸交于點(diǎn)（1，0），（5，0），與軸交于點(diǎn)，求拋物線的解析式，并在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖像．(3)在（2）的條件下：①過點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)，求線段的長度．②若函數(shù)為原二次函數(shù)的有趣函數(shù)，畫出函數(shù)的圖像并求解當(dāng)函數(shù)的函數(shù)值大于2時，自變量的取值范圍（直接寫出答案）．【經(jīng)典例題九二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合問題】【例9】（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考三模）如圖，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為和4，設(shè)頂點(diǎn)為D，則下列結(jié)論：①；②；③；④若拋物線經(jīng)過，則關(guān)于x的一元二次方程的兩個根分別為，6；⑤當(dāng)時，是等腰直角三角形，其中正確的個數(shù)是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西吉安·九年級江西省泰和中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三個不重合的點(diǎn)，，均在拋物線（）上，且，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．或2．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，把拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向右平移得，與x軸交于點(diǎn)B、D．若直線與、共有2個不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是______．3．（2023·浙江寧波·?？级＃┤鐖D，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且經(jīng)過．

(1)求b和c的值；(2)點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一動點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)得，其中A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是、．①當(dāng)與D點(diǎn)重合時，請在圖中畫出線段，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P在線段上，若線段與拋物線有公共點(diǎn)，請直接寫出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的取值范圍．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且），下列結(jié)論：①函數(shù)圖像一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)時，y隨x的增大而減?。虎墚?dāng)時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④2．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)二次函數(shù)是實(shí)數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為 B．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為C．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為 D．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為3．（2023·內(nèi)蒙古包頭·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為和，若拋物線與線段有且只有一個交點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023春·四川南充·九年級四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程有兩實(shí)根，，且滿足，那么k的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023·安徽六安·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，已知拋物線：．（1）該拋物線的對稱軸是；（2）若，，為拋物線上三點(diǎn)，且總有，結(jié)合圖象，則m的取值范圍是；6．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）把二次函數(shù)的圖像作關(guān)于x軸的對稱變換，所得圖像的解析式為，，若，則m的最大值是．7．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）已知拋物線（m為常數(shù)）．若該拋物線與x軸只有一個交點(diǎn)，則；若該拋物線與直線有兩個不同的交點(diǎn)，且這兩個交點(diǎn)都在拋物線對稱軸的同側(cè)，