專題15直線與圓一、知識速覽二、考點(diǎn)速覽知識點(diǎn)1直線的方程1、直線的傾斜角（1）定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0.（2）范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)．2、直線的斜率（1）定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan_α，傾斜角是eq\f(π,2)的直線沒有斜率．（2）過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3、直線方程的五種形式形式幾何條件方程適用范圍點(diǎn)斜式過一點(diǎn)(x0，y0)，斜率ky－y0＝k(x－x0)與x軸不垂直的直線斜截式縱截距b，斜率ky＝kx＋b與x軸不垂直的直線兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與x軸、y軸均不垂直的直線截距式橫截距a，縱截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有直線【注意】“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正、可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個非負(fù)數(shù)．知識點(diǎn)2兩條直線的位置關(guān)系1、兩條直線平行與垂直的判定（1）兩條直線平行①對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.（2）兩條直線垂直①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2.2、兩條直線的交點(diǎn)的求法直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3、三種距離公式（1）平面上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特別地，原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).（2）點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).（3）兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).4、直線系方程的常見類型（1）過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是參數(shù)，直線系中未包括直線x＝x0)，也就是平常所提到的直線的點(diǎn)斜式方程；（2）平行于已知直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是參數(shù)且λ≠C)；（3）垂直于已知直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是參數(shù))；（4）過兩條已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．知識點(diǎn)3圓的方程1、圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心：(a，b)半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理論依據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系三種情況(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al(＝)r2?點(diǎn)在圓上(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al(>)r2?點(diǎn)在圓外(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al(<)r2?點(diǎn)在圓內(nèi)3、二元二次方程與圓的關(guān)系不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的結(jié)構(gòu)都認(rèn)為是圓，一定要先判斷D2＋E2－4F的符號，只有大于0時才表示圓．若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則有：（1）當(dāng)F＝0時，圓過原點(diǎn)．（2）當(dāng)D＝0，E≠0時，圓心在y軸上；當(dāng)D≠0，E＝0時，圓心在x軸上．（3）當(dāng)D＝F＝0，E≠0時，圓與x軸相切于原點(diǎn)；E＝F＝0，D≠0時，圓與y軸相切于原點(diǎn)．（4）當(dāng)D2＝E2＝4F時，圓與兩坐標(biāo)軸相切．知識點(diǎn)4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1、直線與圓的位置關(guān)系及判斷（1）三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．（2）兩種判斷方法：①eq\x(代數(shù)法)eq\o(→,\s\up9(聯(lián)立方程得方程組消去x或y),\s\do7(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交,Δ＝0?相切,Δ＜0?相離))②eq\x(幾何法)eq\o(→,\s\up9(圓心到直線的距離為d),\s\do7(半徑為r))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＜r?相交,d＝r?相切,d＞r?相離))2、圓的切線與切線長（1）過圓上一點(diǎn)的圓的切線①過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0y＝r2.②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.（2）過圓外一點(diǎn)的圓的切線過圓外一點(diǎn)M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為x＝x0.（3）切線長①從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一點(diǎn)M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長為eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).②兩切點(diǎn)弦長：利用等面積法，切線長a與半徑r的積的2倍等于點(diǎn)M與圓心的距離d與兩切點(diǎn)弦長b的積，即b＝eq\f(2ar,d).【注意】過一點(diǎn)求圓的切線方程時，要先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以便確定切線的條數(shù)．3、圓的弦長直線和圓相交，求被圓截得的弦長通常有兩種方法：（1）幾何法：因?yàn)榘胂议Leq\f(L,2)、弦心距d、半徑r構(gòu)成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2eq\r(r2－d2).（2）代數(shù)法：若直線y＝kx＋b與圓有兩交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.4、圓與圓的位置關(guān)系(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|【注意】涉及兩圓相切時，沒特別說明，務(wù)必要分內(nèi)切和外切兩種情況進(jìn)行討論．一、直線的傾斜角與斜率范圍的求法1、求傾斜角的取值范圍的一般步驟（1）求出斜率k＝tanα的取值范圍．（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角α的取值范圍．求傾斜角時要注意斜率是否存在．2、斜率取值范圍的2種求法（1）數(shù)形結(jié)合法：作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定；（2）函數(shù)圖象法：根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可【典例1】（22·23高三上·遂寧·期末）直線的傾斜角的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)直線的傾斜角為.因?yàn)?，，，所以?又，則.當(dāng)時，單調(diào)遞增，解，可得；當(dāng)時，單調(diào)遞增，解，可得.綜上所述，.故選：B.【典例2】（22·23高三·全國·課時練習(xí)）已知過點(diǎn)和的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則，為鈍角，，則，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【典例3】（22·23高三·全國·課時練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率k的取值范圍是（）A．或B．或C．D．【答案】B【解析】∵，，，∴直線的斜率，直線的斜率，∵直線與線段相交，如圖所示，∴直線的斜率的取值范圍為或．故選：B二、求解直線方程的兩種方法（1）直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程；（2）待定系數(shù)法：①設(shè)所求直線方程的某種形式；②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；③解這個方程(組)求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程【典例1】（2023高三·上海浦東新·模擬預(yù)測）過點(diǎn)且在軸，軸上截距相等的直線方程為【答案】和【解析】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時，此時直線方程為，且在軸，軸的距離均為0，符合題意，當(dāng)直線在軸，軸均不為0時，設(shè)直線方程為，將代入得，解得，故直線方程為，故答案為：和【典例2】（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知一條直線經(jīng)過點(diǎn)A（2,－），且它的傾斜角等于直線x－y＝0傾斜角的2倍，則這條直線的方程為；【答案】x－y－3＝0【解析】由已知得直線x－y＝0的斜率為，則其傾斜角為30°，故所求直線傾斜角為60°，斜率為，故所求直線的方程為y(－)＝，即x－y－3＝0．故答案為：x－y－3＝0【典例3】（23·24高三上·全國·課時練習(xí)）寫出滿足下列條件的直線的方程，并把它化成一般式：（1）經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角是直線的傾斜角的2倍；（2）經(jīng)過兩點(diǎn)，；（3）經(jīng)過點(diǎn)，平行于x軸；（4）在x軸，y軸上的截距分別為，．【答案】（1）；(2)；（3）；（4）.【解析】（1）直線的斜率為，其傾斜角為，

因此所求直線的傾斜角為，斜率為，所以所求直線的方程為，即.（2）直線的斜率，所以直線的方程為，即.（3）經(jīng)過點(diǎn)，平行于x軸的直線斜率為0，所以經(jīng)過點(diǎn)，平行于x軸的直線方程為.（4）在x軸，y軸上的截距分別為，的直線方程為，即.三、由一般式方程確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0l1與l2平行的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1與l2相交的充分條件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1與l2重合的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)【典例1】（23·24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）“”是“直線：與：平行”的（）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】時，直線：即，與直線：平行，充分性成立；直線：與：平行，有，解得或，其中時，兩直線重合，舍去，故，必要性成立.“”是“直線：與：平行”的充要條件.故選：A.【典例2】（2023高三·湖北·一模）（多選）已知，，直線：，：，且，則（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由，得，即，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以有，A選項(xiàng)正確；由，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以有，B選項(xiàng)成立；由，有，，，則，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，時，有最小值，C選項(xiàng)錯誤；由，有，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.【典例3】（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知直線和，則（）A．和可能重合B．和不可能垂直C．存在直線上一點(diǎn)，以為中心旋轉(zhuǎn)后與重合D．以上都不對【答案】C【解析】直線，斜率為；直線，斜率為；，所以和不可能重合，A錯誤；時，，和可能垂直，所以B錯誤；由知和不平行，設(shè)和相交于點(diǎn)，則直線以為中心旋轉(zhuǎn)后與重合，所以C正確，D錯誤.故選：C.四、兩條直線的交點(diǎn)與距離問題1、求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程，也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡化解題過程．2、點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件（1）求點(diǎn)到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式．（2）求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等．【典例1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）點(diǎn)到直線的距離是．【答案】【解析】依題意，點(diǎn)到直線的距離為．故答案為：．【典例2】（22·23高三上·重慶·階段練習(xí)）已知兩條平行直線：，：間的距離為，則．【答案】【解析】根據(jù)題意，兩條平行直線，，必有，解可得，則即，變形可得，又由兩條平行直線間的距離為，則有，解可得或，故.故答案為：．【典例3】（2023高三·全國·專題練習(xí)）若三條直線相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為．

.【答案】【解析】由，得，即直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)槿龡l直線相交于同一點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到直線的距離，故答案為：五、對稱問題的求解方法1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)：點(diǎn)P(x，y)關(guān)于點(diǎn)Q(a，b)的對稱點(diǎn)P′(x′，y′)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))2、線關(guān)于點(diǎn)：直線關(guān)于點(diǎn)的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題來解決．3、點(diǎn)關(guān)于線：點(diǎn)A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點(diǎn)A′(m，n)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))4、線關(guān)于線：直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決．【典例1】（22·23高三·全國·對口高考）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，即點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.【典例2】（22·23高三上·河北廊坊·階段練習(xí)）與直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程為.【答案】【解析】直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程可設(shè)為，其中又點(diǎn)到直線與到直線的距離相等所以，即，所以或（舍）.故所求直線方程為：.【典例3】（2023高三·福建廈門·模擬預(yù)測）已知直線：關(guān)于直線的對稱直線為軸，則的方程為.【答案】或【解析】直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，則關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在軸上，所以，則的中點(diǎn)在直線上，所以①，又②，聯(lián)立①②可得或，所以直線的方程為或.故答案為：或.六、求圓的方程的兩種方法1、幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．2、待定系數(shù)法：（1）若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；（2）若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．【典例1】（2023高三·河南·模擬預(yù)測）圓心在射線上，半徑為5，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)閳A心在射線上，故設(shè)圓心為，又半徑為5，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得或（舍去），即圓的圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為，即.故選：C【典例2】（2023高三·天津·二模）經(jīng)過點(diǎn)的圓的方程為.【答案】【解析】設(shè)圓的一般方程為，代入點(diǎn)可得：，解得故圓的一般方程為：故答案為：七、解決有關(guān)弦長問題的常用方法及結(jié)論1、幾何法：如圖所示，設(shè)直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關(guān)系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)2、代數(shù)法：若斜率為k的直線與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點(diǎn)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特別地，當(dāng)k＝0時，|AB|＝|xA－xB|；當(dāng)斜率不存在時，|AB|＝|yA－yB|，【典例1】（22·23高三上·廣東深圳·期中）“”是“直線被圓所截得的弦長等于”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)閳A的圓心，半徑.又直線被圓截得的弦長為.所以圓心C到直線的距離，因此，解得或，易知“”是“或”的充分不必要條件；故選：A.【典例2】（2023高三·全國·專題練習(xí)）若直線過點(diǎn)且被圓截得的弦長是6，則該直線的方程為.【答案】或．【解析】由題可知圓心，半徑，弦長，設(shè)弦心距是d，則，解得，若l斜率不存在，直線是，代入圓的方程解得，故該直線被圓截得的弦長為6,符合題意，若l斜率存在，設(shè)直線方程，即，則圓心到直線的距離，解得，直線l的方程為，即，綜上，所求直線方程為或．【典例3】（2023高三·湖南·模擬預(yù)測）若直線l：與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，，則直線l的斜率的取值范圍為.【答案】【解析】將圓C的方程整理得，圓心坐標(biāo)為，半徑為，要求，，則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，∴，即（），∴，，設(shè)直線l的斜率為k，則，∴，直線l的斜率的取值范圍是.八、求過一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的方法1、幾何法：當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進(jìn)而寫出切線方程，當(dāng)斜率不存在時，要進(jìn)行驗(yàn)證；2、代數(shù)法：當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出，當(dāng)斜率不存在時，要進(jìn)行驗(yàn)證【典例1】（23·24高三上·浙江·階段練習(xí)）過圓上點(diǎn)的切線方程為．【答案】【解析】由題知，，則切線斜率，所以切線方程為，整理為．故答案為：【典例2】（2023高三·江蘇·二模）過點(diǎn)且與圓：相切的直線方程為【答案】或【解析】將圓方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心，半徑為，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時，直線方程為是圓的切線，滿足題意；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時，可設(shè)直線方程為，即，利用圓心到直線的距離等于半徑得，解得，即此直線方程為，故答案為：或．九、求與圓有關(guān)的軌跡問題的方法1、直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；2、定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程；3、幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程；4、代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式【典例1】（2023高三·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知橢圓方程為，過平面內(nèi)的點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的切線，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，當(dāng)切線斜率存在且不為0時，設(shè)切線方程為，聯(lián)立，消去得，則，即，兩切線垂直故其斜率之積為1，則由根與系數(shù)關(guān)系知，即.當(dāng)切線斜率不存在或?yàn)?時，此時點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，滿足方程，故所求軌跡方程為.故選：A.【典例2】（22·23高三上·甘肅平?jīng)觥て谥校﹦狱c(diǎn)與定點(diǎn)的連線的斜率之積為，則點(diǎn)的軌跡方程是.【答案】（）【解析】由題意可知：，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（除外），即以的中點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，所以點(diǎn)的軌跡方程是.故答案為：.【典例3】（23·24高三上·河南·階段練習(xí)）已知圓，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【解析】圓，所以圓心為，半徑為2，設(shè)，由線段的中點(diǎn)為，可得，即有，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為．故答案為：易錯點(diǎn)1誤解“截距”和“距離”的關(guān)系點(diǎn)撥：截距是指曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)，它是一個實(shí)數(shù)，可為正數(shù)、負(fù)數(shù)、零，而距離一定是非負(fù)數(shù)，對此考生應(yīng)高度重視?！镜淅?】（2023高三·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】解法一

當(dāng)直線過原點(diǎn)時，滿足題意，此時直線方程為，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得，此時直線方程為.故選：解法二

易知直線斜率不存在或直線斜率為0時不符合題意.設(shè)直線方程為，則時，，時，，由題意知，解得或，即直線方程為或.故選：【典例2】（22·23高三·全國·對口高考）經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是．【答案】或【解析】（1）當(dāng)截距相等且不為零時，設(shè)直線的方程為：，∴；∴直線的方程是：；（2）當(dāng)截距相等且為零時，設(shè)直線的方程為：，∴；∴直線的方程是：.故答案為：或．易錯點(diǎn)2平行線間的距離公式使用不當(dāng)點(diǎn)撥：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F>0，在此條件下，再根據(jù)其