2023-2024學(xué)年湖南省婁底市漣源市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，且，則的值為（

）A． B．3 C．6 D．92．直線的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．60° D．120°3．直線，則直線與之間的距離為（

）A．1 B．2 C．5 D．84．圓的圓心坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．5．在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）．A． B．C． D．6．如圖，是直三棱柱，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，若，則與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．7．圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于2的點(diǎn)有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A．或 B．或 C．或 D．或二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．如圖，正方體的棱長為1，設(shè)，則下列各式的值為1的有（

）A． B．C． D．10．若直線L的一個方向向量，且L經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線的傾斜角為B．直線在軸上的截距為C．直線L與直線垂直D．直線L上不存在與原點(diǎn)距離等于0.1的點(diǎn)11．已知直線與圓，則下列說法正確的是（

）A．直線l恒過定點(diǎn) B．圓M的圓心坐標(biāo)為C．存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與圓M相切 D．若，直線l被圓M截得的弦長為212．已知圓，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，則（

）A．圓關(guān)于直線對稱B．直線與圓相交所得弦長為C．的最大值為D．的最小值為三、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量和夾角為，且，則．14．在棱長為1的正方體中，點(diǎn)到平面的距離等于．15．曲線：與：恰有四條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．16．已知圓與直線相切，經(jīng)過點(diǎn)，且被軸截得的弦長為，圓心在x軸上方，則圓的方程為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知．求：(1)向量的坐標(biāo)；(2)的值．18．已知直線和直線.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.19．如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，．求：

(1)直線與平面所成角的正弦值．(2)點(diǎn)到平面的距離．20．已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)，.（1）求直線的方程；（2）圓的圓心在直線上，且過點(diǎn)和，求圓的方程21．如圖，在長方體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面．(2)求直線與平面所成角的正弦值.22．已知圓，直線．(1)證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；(2)求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程．1．A【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算可以計算得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，即，解得，故選：A2．B【分析】先將直線的一般式化為斜截式，進(jìn)而寫出其斜率和傾斜角.【詳解】設(shè)該直線的傾斜角為，且，將化為，則該直線的斜率為，其傾斜角為.故選：B.3．B【分析】利用平行線之間的距離公式計算即可.【詳解】根據(jù)平行線距離公式知直線與之間的距離為.故選：B4．B【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】圓即，所以圓心坐標(biāo)為.故選：B.5．A【分析】利用空間向量線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，所以.故選：A.6．A【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，可得，，，此時，與所成角的余弦值是.故選：A7．B【分析】求出圓心到直線3x＋4y－11＝0的距離為2，這樣與直線3x＋4y－11＝0距離為2的兩條直線中一條與圓相交，另一條與圓相離，從而可得滿足題意的點(diǎn)的個數(shù)．【詳解】圓(x－3)2＋(y－3)2＝9的圓心為(3，3)，半徑為3，圓心到直線3x＋4y－11＝0的距離d＝＝2，與直線3x＋4y－11＝0距離為2的兩條直線中一條與圓相交，另一條與圓相離，∴圓上到直線3x＋4y－11＝0的距離為2的點(diǎn)有2個.故選：B.本題考查圓上的點(diǎn)到直線的距離問題，主要考查直線與圓的位置關(guān)系．解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求圓心到已知直線的距離，從而判斷出到已知直線距離為2的直線和圓位置關(guān)系．8．D根據(jù)光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線方程為，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可求得斜率.【詳解】根據(jù)光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線方程為，即，又由反射光線與圓相切，可得，整理得，解得或.故選：D.過一定點(diǎn)，求圓的切線時，首先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．若點(diǎn)在圓外，有兩個結(jié)果，若只求出一個，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況.9．BC【分析】利用空間向量的垂直、數(shù)量積及其運(yùn)算律運(yùn)算即可得解.【詳解】正方體中，∴，即，，即，，即，∴，，.對于選項(xiàng)A，，故A錯誤；對于選項(xiàng)B，，故B正確；對于選項(xiàng)C，，故C正確；對于選項(xiàng)D，，故D錯誤；故選：BC.10．CD【分析】根據(jù)題意先將直線的方程求出來；對于A，由直線斜率與傾斜角的關(guān)系即可判斷；對于B，在直線方程中令，求出的值即可判斷；對于C，判斷兩直線斜率之積是否為即可；對于D，算出原點(diǎn)到直線的距離即可判斷.【詳解】因?yàn)橹本€的一個方向向量為，所以直線的斜率為，又經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的方程為：，整理得.對于A，由于直線的斜率為，所以其傾斜角為，故A選項(xiàng)不正確；對于B，在直線方程中令，解得，所以在軸上的截距等于，故B選項(xiàng)不正確；對于C，將直線方程變形得，所以其斜率為，又直線的斜率為，所以，所以直線與直線垂直，故C選項(xiàng)正確；對于D，由于原點(diǎn)到直線的距離為，這表明了原點(diǎn)到直線上的任意一點(diǎn)的距離至少是，因?yàn)?，因此上不存在與原點(diǎn)距離等于0.1的點(diǎn)，故D選項(xiàng)正確.故選：CD,11．AB【分析】A選項(xiàng)，將直線方程變形后得到，求出恒過的定點(diǎn)；B選項(xiàng)，將圓的一般式化為標(biāo)準(zhǔn)式方程，得到圓心坐標(biāo)；C選項(xiàng)，令圓心到直線l的距離等于半徑，列出方程，結(jié)合根的判別式判斷出結(jié)論；D選項(xiàng)，當(dāng)時，求出圓心在直線l上，故直線l被圓M截得的弦長為直徑4，D錯誤.【詳解】變形為，故恒過定點(diǎn)，A正確；變形為，圓心坐標(biāo)為，B正確；令圓心到直線的距離，整理得：，由可得，方程無解，故不存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與圓M相切，C錯誤；若，直線方程為，圓心在直線上，故直線l被圓M截得的弦長為直徑4，D錯誤.故選：AB12．AC【分析】驗(yàn)證圓心是否過直線判斷A，求出相交弦長判斷B，把變以代入圓方程，利用判別式不小于0判斷C，利用原點(diǎn)到圓心的距離求得最小值判斷D．【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，，半徑為，易得點(diǎn)在直線上，A正確；點(diǎn)到直線的距離為，弦長為，B錯；由得代入圓的方程整理得，，，所以的最大值是，C正確；，，所以的最小值是，D錯誤．故選：AC．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，掌握直線與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵，圓的弦長一般用幾何法求解，即求出圓心到直線的距離后用勾股定理計算．求分式型，平方型式子的最值，可以利用幾何意義求解，如分式型可以用直線斜率，平方型利用兩點(diǎn)間距離求解．13．【分析】由題設(shè)可得，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律有，即可求值.【詳解】由題意，，∴.故14．##【分析】利用等體積法，求點(diǎn)到平面的距離即可.【詳解】如圖所示：

在棱長為1的正方體中，,所以為等邊三角形，且，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題意知，四棱錐中，，三條棱兩兩垂直，所以，又因?yàn)?，故，即：，解?所以點(diǎn)到平面的距離.故15．【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系以及成圓的充要條件，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：圓:，即，其圓心，半徑圓:，即，其圓心，半徑，則必有，即兩圓圓心的距離若兩圓有4條公切線，則兩圓外離，必有，解得：則的取值范圍為.故答案為.16．【分析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由條件建立方程，解方程即可.【詳解】由題意可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A與直線相切，則有，因?yàn)閳A被軸截得的弦長為，則，解得，則.又圓經(jīng)過點(diǎn)，則，則，解得，由圓心在軸上方，則，所以，所以圓的方程為，故答案為.

17．(1)(2)【分析】（1）直接進(jìn)行向量坐標(biāo)的加減法、數(shù)乘運(yùn)算即可；（2）先求出，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）；（2）.18．(1)0或2(2)【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直的公式，即可求解；（2）根據(jù)兩直線平行，，求解，再代回直線驗(yàn)證.【詳解】（1）若，則，解得或2；（2）若，則，解得或1.時，，滿足，時，，此時與重合，所以.19．(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用直線與平面的夾角公式即可求出結(jié)果；（2）利用（1）中結(jié)論，根據(jù)點(diǎn)到平面的空間向量法求出距離.【詳解】（1）因?yàn)椋?，兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，,,方向分別為軸，軸，軸的正方向建立如圖空間直角坐標(biāo)系：

因?yàn)?，，所以，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，直線與平面所成角的正弦值為；（2）由（1）知，，平面的法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為.20．（1）；（2）.【分析】（1）求出直線的斜率，再用點(diǎn)斜式求出直線的方程；（2）設(shè)圓心為，圓的方程為，根據(jù)圓過點(diǎn)和，即可得到方程組，求出，即可求圓的方程．【詳解】解：（1）因?yàn)橹本€經(jīng)過兩點(diǎn)，.所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即；（2）圓的圓心在直線上，設(shè)圓心為，則圓的方程為過點(diǎn)和，，即，解得，所以，圓的方程．21．(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，根據(jù)空間面面位置關(guān)系的向量證明方法，即可證明結(jié)論；（2）利用向量的坐標(biāo)以及平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）證明：在長方體中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：由于是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．故，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則；設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則；則，即，故平面平面．（2）由（1）知，故，而平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，故.22．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）求出直線過定點(diǎn)，證明定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可