第七講：集合之間的關系（一）【教學目標】1．掌握子集，真子集，集合相等，空集的概念，符號的表示形式；2．掌握相關符號代表的意義，并能用符號和Venn圖表達集合間的關系；3．掌握列舉有限集的所有子集的方法．【基礎知識】一、子集、真子集、集合相等定義符號表示圖形表示子集如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A是集合B的子集A?B(或B?A)真子集如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集(或)集合相等如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等A＝B二、子集的性質(1)任何一個集合是它本身的子集，即A?A.(2)對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.三、空集1．定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為.2．規(guī)定：空集是任何集合的子集．【題型目錄】考點一：簡單集合間關系的判斷考點二：集合之間的關系考點三：確定集合的子集、真子集考點四：子集、真子集的個數(shù)考點五：集合可能的個數(shù)（子集，真子集）考點六：集合相等【考點剖析】考點一：簡單集合間關系的判斷通過集合中元素的多少，判斷集合與集合的關系是子集，真子集，相等，不相等的關系.例1．已知集合，，則下列表述正確的是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，所以，故A正確；B、C、D均不正確.故選：A變式訓練1．已知集合，則（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，，所以.故選：B.變式訓練2．若集合，集合，則（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，，，而表示奇數(shù)，表示整數(shù)，所以．故選：B．變式訓練3．．已知全集，能表示集合關系的Venn圖是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】解可得，所以，又，所以，根據(jù)選項的Venn圖可知選項A符合.故選：A考點二：集合之間的關系通過觀察集合中元素的情況，確定集合之間的關系，注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.例2．．下列五個關系式：①；②；③；④；⑤；其中正確的個數(shù)為（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】①由于集合自身是自身的子集，故①正確；②根據(jù)集合的無序性，故②正確；③根據(jù)元素與集合的關系，故③正確；④空集是任何集合的子集，故④正確；⑤空集是集合內不包括任何元素，表示集合內只有一個元素0，故，故⑤錯誤；因此中正確的個數(shù)為4個，故選：C.變式訓練1．下列表述錯誤的是（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】對于A，，顯然成立，故正確；對于B，空集是任何集合的子集，故正確；對于C，由元素的無序性可知，故正確；對于D，集合為點集，與為不同點，故錯誤.故選：D變式訓練2．已知六個關系式①；②；③；④；⑤；⑥，它們中關系表達正確的個數(shù)為（） A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)空集的性質、元素與集合、集合與集合的關系判斷各關系式的正誤.【詳解】根據(jù)元素與集合、集合與集合關系：是的一個元素，故，①正確；是任何非空集合的真子集，故、，②③正確；沒有元素，故，④正確；且、，⑤錯誤，⑥正確；所以①②③④⑥正確.故選：C變式訓練3．下列各式中，正確的是（）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. A．②⑤⑦⑧ B．②⑤⑦ C．③⑤⑦⑧ D．①⑤⑥⑦【答案】A【詳解】對于①②③，是空集，空集是任意集合的子集，故正確，余者不正確，故①③錯誤，②正確；對于④⑤，元素與集合之間的關系用“”或“”表示，故不正確，成立，故④錯誤，⑤正確；對于⑥⑦，集合與集合之間是包含或不包含的關系，故不正確，正確，故⑥錯誤，⑦正確；對于⑧，由集合中元素的無序性，可知，故正確，故⑧正確；綜上：正確的命題有②⑤⑦⑧.故選：A.考點三：確定集合的子集、真子集已知集合時，書寫出對應的集合的子集情況，真子集情況，并判斷子集和真子集的個數(shù).例3．已知集合，且；(1)求實數(shù)；(2)寫出的所有真子集.【答案】(1)；(2)，，【詳解】（1）因為，所以或，當，即時，不滿足集合元素的互異性；當時，解得（不滿足集合元素互異性舍去）或，所以當時，，綜上實數(shù).（2）由（1）得，所以的所有真子集為，，.變式訓練1．寫出集合｛a，b，c｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集?【答案】子集為：φ，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}；真子集為：φ，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.【詳解】由子集的定義得：φ，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}；由真子集定義得：φ，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.變式訓練2．已知集合，且.(1)求實數(shù)的取值的集合；(2)寫出（1）中集合的所有子集.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因為，且，所以或，解得或或，當時，，集合中出現(xiàn)兩個0，故舍去；當時，，符合題意；當時，，符合題意；∴實數(shù)的取值的集合（2）因為，所以集合的子集有：變式訓練3．已知(1)用列舉法表示集合；(2)寫出集合的所有子集．【答案】(1)，(2)見解析（1）由可得方程的根為1和3，所以，；（2）由（1）可得，的所有子集為：，，，，．考點四：子集、真子集的個數(shù)已知一個集合有個元素，則它有個子集，有個真子集，有個非空子集，有個非空真子集.例4．．已知集合，，則集合B的真子集個數(shù)是（） A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【詳解】由題意得，所以集合的真子集個數(shù)為.故選：C.變式訓練1．已知集合，則集合的子集的個數(shù)為（） A．8 B．7 C．4 D．3【答案】C【詳解】，集合A的子集為：，，，，共4個.故選：C.變式訓練2．設集合，且，若，，則集合M的非空真子集的個數(shù)為（） A．4 B．6 C．7 D．15【答案】B【詳解】根據(jù)題意知，集合且，其非空真子集的個數(shù)為.故選：B變式訓練3．集合有1個真子集，則（） A． B． C． D．或【答案】D【詳解】解：集合有1個真子集，則集合有且僅有一個元素，故方程有且僅有一個根，當時，，方程有且僅有一個根，滿足題意；當時，需滿足，即；綜上可知，或.故選：D.考點五：集合可能的個數(shù)（子集，真子集）先通過集合之間的關系，判斷集合中必然存在的元素，再確定集合中可能存在的元素，最終確定集合的個數(shù).例5．滿足條件的集合的個數(shù)是（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】因為，所以集合的個數(shù)即為的子集個數(shù).因為集合的子集個數(shù)為，所以滿足條件的集合的個數(shù)是4.故選:D.變式訓練1．已知，則滿足條件的集合的個數(shù)為（） A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【詳解】因為，所以或或或或或或或，即滿足條件的集合的個數(shù)為8，故選：D．變式訓練2．已知，，且，滿足這樣的集合的個數(shù)（） A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【詳解】根據(jù)題意可知，集合還應包含集合中除元素1，2之外的其他元素；若集合中有三個元素，則可以是；若集合中有四個元素，則可以是；若集合中有五個元素，則可以是；即這樣的集合的個數(shù)為7個.故選：B變式訓練3．已知非空集合滿足:對任意，總有，且.若，則滿足條件的的個數(shù)是（） A．11 B．12 C．15 D．16【答案】A【詳解】當中有元素時，，當中有元素時，，所以，所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同時出現(xiàn)的集合，故滿足題意的集合有，共11個.故選：A.考點六：集合相等集合相等，集合中的元素種類相等，且集合中元素要完全相同，注意：數(shù)集和點集的區(qū)別，且集合中元素具有互異性.例6．已知實數(shù)集合若，則（） A． B．0 C．1 D．2【答案】A【詳解】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或又根據(jù)集合互異性，可知，解得或（舍），所以故選:A.變式訓練1．下列與集合表示同一集合的是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】由解得或，所以，C正確；選項A不是集合，選項D是兩條直線構成的集合，選項B表示點集，故選：C變式訓練2．下列各組集合中，表示同一集合的是（） A．， B．， C．， D．，【答案】B【詳解】選項A表示點的集合，與不同，故A選項不正確，集合中元素具有無序性，所以集合與集合相等，故B選項正確，選項C中集合研究點集，集合研究單一的實數(shù)集，故不同，故C不正確，選項D中集合研究點集，集合研究單一的實數(shù)集，故不同，故D不正確，故選：B.變式訓練3．已知集合，，若，則（） A． B．0 C．1 D．2【答案】A【詳解】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合互異性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，則，故選：A【課堂小結】1、知識清單：(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合間關系的判斷．(2)求子集、真子集的個數(shù)問題．2、方法歸納：分類討論．【課后作業(yè)】1、下列關系中正確的個數(shù)是（）①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】是有理數(shù)，故①正確；是無理數(shù)，是實數(shù)，故②錯誤；根據(jù)集合的元素的無序性，，當然有成立，故③正確；的元素是0，1兩個實數(shù)，的元素是一個有序實數(shù)對，可以看做是坐標平面內的一個點，兩個集合的元素不同，故④錯誤.綜上，正確的有2個.故選：B.2、下列集合中表示同一集合的是（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】對AD，兩集合的元素類型不一致，則，AD錯；對B，由集合元素的無序性可知，，B對；對C，兩集合的唯一元素不相等，則，C錯；故選：B3、下列集合中為的是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】對于A中，由集合中有一個元素，不符合題意；對于B中，由集合中有一個元素，不符合題意；對于C中，由方程，即，此時方程無解，可得，符合題意；對于D中，不等式，解得，，不符合題意.故選：C.4、．已知集合，則下列關系中，正確的是（）. A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為集合，對于A，因為，故選項A錯誤；對于B，是一個集合，且，故選項B錯誤；對于C，因為集合，所以集合與集合不存在包含關系，故選項C錯誤；對于D，因為集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故選項D正確，故選：D.5、在①；②；③；④上述四個關系中，錯誤的個數(shù)是（） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】解：“”表示集合與集合間的關系，所以①錯誤；集合中元素是數(shù)，不是集合元素，所以②錯誤；根據(jù)子集的定義，{0，1，2}是自身的子集，空集是任何非空集合的真子集，所以③④正確；

所表示的關系中，錯誤的個數(shù)是2．

故選：B．6、已知集合，則滿足的集合的個數(shù)是（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】解：由題題意可知，滿足條件的集合Q有，，，共4個.故選：D．7、已知集合，，定義，則集合的所有真子集的個數(shù)為（） A．32 B．31 C．30 D．29【答案】B【詳解】集合，，定義，則，元素個數(shù)為5，故集合的所有真子集的個數(shù)為故選：B8、已知集合，，則滿足條件的集合的個數(shù)為（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，則集合C中必有元素1,2，而元素3,4,5可以沒有，可以有1個，或2個，或3個.即滿足條件的集合C為：，，，，，，，共8個故選：C9、若，，1，2，3，，則滿足條件的集合的個數(shù)為（） A．7 B．8 C．31 D．32【答案】B【詳解】由題意，因為，所以集合中至少含有1，2兩個元素，至多含有0，1，2，3，4這5個元素，因此集合的個數(shù)即為集合的子集個數(shù)，即為個.故選：．10、已知集合滿足，則滿足條件的集合的個數(shù)是（） A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】因為集合滿足，所以滿足條件的集合有：，即集合的個數(shù)是3，故選：B.14、下列集合與集合相等的是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】A項不是集合，B項與D項中的集合是由點坐標組成，C項：，即，解得或，集合即集合，因為若兩個集合相等，則這兩個集合中的元素相同，所以與集合相等的是集合，故選：C.15、已知，，若集合，則的值為（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，解得或，當時，不滿足集合元素的互異性，故，，，故選：B.16、下列四個命題中，其中正確命題的個數(shù)為（） ①與1非常接近的全體實數(shù)能構成集合； ②表示一個集合； ③空集是任何一個集合的真子集； ④任何一個非空集合必有兩個以上的子集. A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【詳解】①不確定，所以不能構成集合；