第十一章三角形11.1與三角形有關(guān)的線段1三角形（1）概念由不在同一條直線上的三條線段順次首尾相接所組成的圖形叫做三角形.（2）分類①按角分：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；②按邊分：不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形.2三角形三邊的關(guān)系三角形兩邊的和大于第三邊；三角形兩邊的差小于第三邊；解釋在三角形ABC中，AB+AC>BC（由兩點(diǎn)間線段最短可得），同理可得AB+BC>AC,AC+BC>AB；由AB+AC>BC?AB-BC<AC，同理得AB-AC<BC，BC-AC<AB.3與三角形有關(guān)的線段（1）高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的線段叫做三角形的高。解釋以下三個(gè)三角形中AD是邊BC上的高，其中垂足是D。易得∠ADC=90°.課外結(jié)論：同一個(gè)三角形的三邊的三條高會(huì)交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的垂心.（2）中線：連接一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，三角形的三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.解釋①如下圖，在三角形ABC中，D、E、F分別是BC、AC、AB的中點(diǎn)，則邊AB、AC、BC上的中線分別是CF、BE、AD，且三條中線中交于一點(diǎn)G,G稱為三角形ABC的重點(diǎn).②如上圖，AD是邊BC上的中線，則S?ABC（3）角平分線，三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。解釋如下圖，在三角形ABC中，∠BAC的角平分線AD交BC于點(diǎn)D，則線段AD叫做?ABC的角平分線；課外結(jié)論：若線段BE、CF也是?ABC的角平分線，它們會(huì)交于同一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為?ABC的內(nèi)心（這會(huì)在后面講到）.4三角形的穩(wěn)定性三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性.【題型1】三角形三邊關(guān)系【典題1】下列長(zhǎng)度的三條線段(單位：cm)能組成三角形的是()A．3，4，8 B．5，6，11 C．6，8，16 D．17，17，25解析A、∵3+4＜8，∴不能組成三角形，故不符合題意；B、∵5+6＝11，∴不能組成三角形，故不符合題意；C、∵6+8＜16，∴不能組成三角形，故不符合題意；D、∵17+17＞25，∴能組成三角形，故符合題意．故選：D．【典題2】已知三條線段的長(zhǎng)分別是3，7，m，若它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)m的最大值是()A．11 B．10 C．9 D．7解析∵三條線段的長(zhǎng)分別是3，7，m，它們能構(gòu)成三角形，∴7﹣3＜m＜7+3，∴4＜m＜10，∴整數(shù)m的最大值是9．故選：C．【鞏固練習(xí)】1.已知三角形兩邊分別為4cm和3cm，則第三邊可能是()A．1cm B．5cm C．7cm D．8cm答案B解析設(shè)第三邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：4﹣3＜x＜4+3，解得：1＜x＜7，只有B選項(xiàng)在范圍內(nèi)．故選：B．2.一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm，則第三邊的長(zhǎng)可能是()A．1cm B．2cm C．7cm D．8cm答案B解析設(shè)第三邊的長(zhǎng)為xcm，由三角形的三邊關(guān)系可得4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7，所以它的第三邊的長(zhǎng)可能是2cm．故選：B．3.若長(zhǎng)度分別為a，2，3的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可能是()A．1 B．2 C．5 D．8答案B解析由三角形的三邊關(guān)系可知：3﹣2＜a＜3+2，∴1＜a＜5，故選：B．4.如圖，為估計(jì)池塘兩岸A，B間的距離，小明在池塘一側(cè)選取了一點(diǎn)P，測(cè)得PA＝14m，PB＝10m，那么AB間的距離不可能是()?A．4m B．15m C．20m D．22m答案A解析∵PA＝14m，PB＝10m，∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即4m＜AB＜24m，∴AB間的距離不可能是：4m．故選：A．5.三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、6和a，其中a為奇數(shù)，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是()A．14 B．15 C．16 D．14或16答案D解析根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得6﹣3＜a＜6+3，即3＜a＜9，∵a為奇數(shù)，∴a的值為5或7，當(dāng)a＝5時(shí)，三角形的周長(zhǎng)＝5+3+6＝14，當(dāng)a＝7時(shí)，三角形的周長(zhǎng)＝7+3+6＝16，∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是14或16．故選：D．6.已知，a，b，c為△ABC的三邊，化簡(jiǎn)|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|．答案﹣2a+4b﹣2c解析|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|＝﹣(a﹣b﹣c)+2(b﹣c﹣a)+(a+b﹣c)＝﹣a+b+c+2b﹣2c﹣2a+a+b﹣c＝﹣2a+4b﹣2c．7.如圖所示，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PB、PC，試比較PB+PC與AB+AC的大?。鸢窤B+AC＞PB+PC解析如圖，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D，在△ABD中，AB+AD＞PB+PD；在△PCD中，PD+DC＞PC，∴AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC，∴AB+AC＞PB+PC．【題型2】三角形的高【典題1】圖，四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的圖是()A． B． C． D．解析A、圖形中，線段BE不是△ABC的高，不符合題意；B、圖形中，線段BE不是△ABC的高，不符合題意；C、圖形中，線段BE是△ABC的高，符合題意；D、圖形中，線段BE不是△ABC的高，不符合題意；故選：C．【鞏固練習(xí)】1.下列各三角形中，正確畫出AC邊的高的是()A． B． C． D．答案D解析∵△ABC中AC邊上的高即為過點(diǎn)B作AC所在直線的垂線段，該垂線段即為AC邊上的高，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有選項(xiàng)D符合題意．故選：D．2.如圖，CD⊥AB，AF⊥BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BE⊥AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則△ABC中BC邊上的高是()A．AF B．AE C．CD D．BE答案A解析∵AF⊥BC交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∴△ABC中BC邊上的高是AF，故選：A．【題型3】三角形的中線【典題1】如圖，△ABC中，AB＝16，BC＝10，BD是AC邊上的中線，若△ABD的周長(zhǎng)為30，則△BCD的周長(zhǎng)是()A．20 B．24 C．26 D．28解析∵BD是AC邊上的中線，∴CD＝AD，∵△ABD的周長(zhǎng)為30，∴AB+AD+BD＝30，∴16+CD+BD＝30，∴CD+BD＝14，∴△BCD的周長(zhǎng)＝BC+CD+BD＝14+10＝24，故選：B．【典題2】如圖，BD是△ABC的中線，點(diǎn)E、F分別為BD、CE的中點(diǎn)，若△AEF的面積為3．則△ABC的面積是()A．9 B．10 C．11 D．12解析∵F是CE的中點(diǎn)，△AEF的面積為3，∴S△ACE=2S△AEF=6，∵E是BD的中點(diǎn)，∴S△ADE=S△ABE，S△CDE=S△BCE，∴S△ACE=S△ADE+S△CDE=S△ABE+S△BCE=S△ABC，∴△ABC的面積=12．故選：D．【鞏固練習(xí)】1.如圖，AD是△ABC的中線，則下列結(jié)論正確的是()A．∠BAD＝∠CAD B．BD＝CD C．AB＝AC D．AC＝AD答案B解析∵AD是△ABC的中線，∴BD＝DC，故選：B．2.如圖，AE是△ABC的中線，點(diǎn)D是BE上一點(diǎn)，若BD=5，CD=9，則CE的長(zhǎng)為()A．5 B．6 C．7 D．8答案C解析∵BD=5，CD=9，∴BC=BD+CD=14，∵AE是△ABC的中線，∴CE=BE=12BC=7故選：C．3.在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長(zhǎng)比△ABD的周長(zhǎng)多3，AB與AC的和為13，則AC的長(zhǎng)為()A．5 B．6 C．7 D．8答案D解析∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝DC，由題意得，(AC+CD+AD)﹣(AB+BD﹣AD)＝3，整理得，AC﹣AB＝3，則&AC-AB=3&AC+AB=13，解得&AC=8故選：D．4.如圖，AD是△ABC的中線，AE是△ABD的中線，若BE=3，則BC=．答案12解析∵AE是△ABD的中線，BE=3，∴BD=2BE=6，∵AD是△ABC的中線，∴BC=2BD=12故答案為：12．5.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AD，BE的中點(diǎn)，連接CE，CF，若S△CEF=5，則△ABC的面積為.答案20解析根據(jù)等底同高的三角形面積相等，可得∵F是BE的中點(diǎn)，S△CFE=S△CFB=5，∴S△CEB=S△CEF+S△CBF=10，∵E是AD的中點(diǎn)，∴S△AEB=S△DBE，S△AEC=S△DEC，∵S△CEB=S△BDE+S△CDE，∴S△BDE+S△CDE=10∴S△AEB+S△AEC=10∴S△ABC=S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC=20【題型4】三角形的角平分線【典題1】在△ABC中，AD為中線，BE為角平分線，則在以下等式中：(1)∠BAD=∠CAD；(2)∠ABE=∠CBE；(3)BD=DC；(4)AE=EC，其中正確的是()A．(1)(2) B．(3)(4) C．(1)(4) D．(2)(3)解析∵AD為中線，∴BD=DC，故(3)正確，∵BE為角平分線，∴∠ABE=∠CBE，故(2正確，沒有條件得出(1)和(4)正確，故選：D．【鞏固練習(xí)】1.如圖，如果∠1=∠2=∠3，則AM為△的角平分線，AN為△的角平分線．答案ABN；AMC解析∵∠1=∠2，∴AM為△ABN的角平分線，∵∠2=∠3，∴AN為△AMC的角平分線．故答案為：ABN；AMC．2.如圖，在△ABC中，AE是高，BD是角平分線，CF是中線，下列說法不正確的是()A．∠ACF=∠BCF B．∠ABD=∠CBD C．∠AEC=∠AEB D．AF=BF答案A解析∵CF是中線，∴AF=FB，但∠ACF與∠BCF不一定相等，故A選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意，D選項(xiàng)說法正確，不符合題意；∵BD是角平分線，∴∠ABD=∠CBD，B選項(xiàng)說法正確，不符合題意；∵AE是高，∴∠AEC=∠AEB=90°，C選項(xiàng)說法正確，不符合題意；故選：A．3.如圖，在△ABC中，∠C=90°，D，E是邊AC上兩點(diǎn)，AE=DE，BD平分∠EBC，下列說法中不正確的是()A．BE是△ABD的中線 B．BD是△BCE的角平分線 C．∠1=∠2=∠3 D．BC是△ABE的高答案C解析A、∵AE=DE，∴BE是△ABD的中線，故本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△BCE的角平分線，故本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；C、∠2=∠3，但∠2、∠3與∠1的關(guān)系不確定，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；D、∵∠C=90°，∴BC是△ABE的高，故本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；故選：C．4.如圖，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度數(shù)．答案∠DAE=5°，∠BOA=120°．解析∵∠CAB=50°，∠C=60°,∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分線，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．故∠DAE=5°，∠BOA=120°．【題型5】三角形的穩(wěn)定性【典題1】如圖，人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，這樣做的道理是()A．三角形具有穩(wěn)定性 B．垂線段最短 C．兩點(diǎn)之間，線段最短 D．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等解析人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，這樣做的道理：三角形具有穩(wěn)定性．故選：A．【鞏固練習(xí)】1.下列圖形具有穩(wěn)定性的是()A． B． C． D．答案B解析∵三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性，∴圖形中具有穩(wěn)定性的是B．故選：B．2.要使四邊形木架(用四根木條釘成)不變形，至少要再釘上的木條的根數(shù)為()A．一條 B．兩條 C．三條 D．零條答案A解析∵三角形具有穩(wěn)定性，∴要使四邊形木架(用四根木條釘成)不變形，至少要再釘上一根木條．故選：A．3.如圖是李老師去某地旅游拍攝的“山谷中的鐵架橋”，鐵架橋框架做成了三角形的形狀，該設(shè)計(jì)是利用三角形的()A．垂線段最短 B．兩點(diǎn)之間線段最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．三角形的穩(wěn)定性答案D解析鐵架橋框架做成了三角形的形狀，是為了更穩(wěn)固，利用了三角形的穩(wěn)定性．故選：D．【A組---基礎(chǔ)題】1.下面給出的四個(gè)三角形都有一部分被遮擋，其中不能判斷三角形類型的是()A． B． C． D．答案C解析A、知道兩個(gè)角，可以計(jì)算出第三個(gè)角的度數(shù)，因此可以判斷出三角形類型；B、露出的角是鈍角，因此是鈍角三角形；C、露出的角是銳角，其他兩角都不知道，因此不能判斷出三角形類型；D、露出的角是鈍角，因此是鈍角三角形；故選：C．2.如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤BC可將其固定，這里所運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是()A．三角形具有穩(wěn)定性 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．兩點(diǎn)之間線段最短 D．三角形的兩邊之和大于第三邊答案A解析一扇窗戶打開后，用窗鉤BC可將其固定，這里所運(yùn)用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性，故選：A．3.一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，第三邊長(zhǎng)為偶數(shù)，則第三邊長(zhǎng)可能為()A．4或6 B．2或4 C．4 D．6答案A解析由題意，令第三邊為x，則5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，∵第三邊長(zhǎng)為偶數(shù)，∴第三邊長(zhǎng)是4或6．故選：A．4.如圖圖形中，作△ABC的邊BC上的高，正確的是()A． B． C． D．答案A解析A、圖形中，AD是△ABC的BC邊上的高，本選項(xiàng)符合題意；B、圖形中，不能表示△ABC的BC邊上的高，本選項(xiàng)不符合題意；C、圖形中，不能表示△ABC的BC邊上的高，本選項(xiàng)不符合題意；D、圖形中，不能表示△ABC的BC邊上的高，本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．5.如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC邊上的一點(diǎn)，若△ABD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大2，則AD是()A．△ABC的高 B．△ABC的角平分線 C．△ABC的中線 D．都有可能答案C解析∵△ABD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大2，∴(AB+BD+AD)﹣(AC+CD+AD)=2，∴AB+BD﹣AC﹣CD=2，∵AB=5，AC=3，∴BD=CD，∴AD是△ABC的中線，故選：C．6.如圖，CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是()A．AB=2BF B．∠ACE=12∠C．AE=BE D．CD⊥BE答案C解析∵CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，∴CD⊥BE，∠ACE=12∠ACB，AB=2BF，無法確定AE=故選：C．7.如圖，AD是△ABC的中線，若AB=6，AC=5，則△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差為．答案1解析∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC，∵AB=6，AC=5，∴△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差為：(AB+AD+BD)﹣(AC+AD+DC)=AB﹣AC=6﹣5=1，故答案為：1．8.若AD是△ABC的高，且BD=5，CD=2，則邊BC的長(zhǎng)為．答案7或3解析當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖所示：∵BD=5，CD=2，∴BC=BD+CD=5+2=7；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖所示：∵BD=5，CD=2，∴BC=BD﹣CD=5﹣2=3；綜上分析可知，邊BC的長(zhǎng)為7或3．故答案為：7或3．9.若△ABC三條邊長(zhǎng)為a，b，c，化簡(jiǎn)：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|＝．答案2b﹣2a解析根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，∴原式＝﹣(a﹣b﹣c)﹣(a+c﹣b)＝﹣a+b+c﹣a﹣c+b＝2b﹣2a．故答案為：2b﹣2a10.如圖，在△ABC中，AD是中線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=6cm，AC=4cm，則DEDF=答案2解析∵△ABC中，AD為中線，∴BD=DC．∴S△ABD=S△ADC．∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=6，AC=4．∴1∴1∴DE故答案為：2311.已知△ABC(如圖)，按下列