第十章定積分應(yīng)用0xyay=f(x)bx+dxx11/24/20231a定積分概念的出現(xiàn)和發(fā)展都是由實(shí)際問(wèn)題引起和推動(dòng)的。因此定積分的應(yīng)用也非常廣泛。本書主要介紹幾何、物理上的應(yīng)用問(wèn)題，例如：平面圖形面積，曲線弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)體體積，水壓力，抽水做功，引力等。第一節(jié)定積分的元素法一、問(wèn)題的提出如何應(yīng)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題_____微元法：11/24/20232a回顧

曲邊梯形面積A的計(jì)算過(guò)程：把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間,有總量A對(duì)于[a,b]具有區(qū)間可加性,計(jì)算

Ai的近似值得A的近似值(1)分割.(2)近似.(3)求和.(4)求極限.n個(gè)部分量Ai的和.ab0xyy=f(x)即A可以分割成11/24/20233a把上述步驟略去下標(biāo)，改寫為：(1)分割.(2)近似.(3)求和.(4)求極限.計(jì)算

A的近似值xx+dx這種方法通常稱為微元法或元素法面積微元用

A表示[x,x+dx]上的小曲邊梯形的面積，取微元任取一個(gè)具有代表性的小區(qū)間

[x,x+dx](區(qū)間微元)，11/24/20234a若總量U非均勻分布在變量x的某個(gè)區(qū)間[a,b]上;總量U有可加性.

(1)求微元局部近似得dU=f(x)dx(2)求全量微元積分得應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等．可用微元法的條件步驟11/24/20235a(1)整體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為局部問(wèn)題；(2)在局部范圍內(nèi)，以常代變，以直代曲；微元法的實(shí)質(zhì)(3)取極限(定積分)由近似值變?yōu)榫_值。11/24/20236a例1.寫出長(zhǎng)為l的非均勻細(xì)直棒質(zhì)量的積分表達(dá)式，任一點(diǎn)的線密度是長(zhǎng)度的函數(shù)。解:建立坐標(biāo)如圖,oxlxx+dx設(shè)任意點(diǎn)x的密度為step1.step2.下面用微元法討論定積分在幾何，物理中的一些應(yīng)用。微元法(ElementMethod)11/24/20237a第二節(jié)定積分在幾何上的應(yīng)用一、平面圖形的面積二、體積三、平面曲線的弧長(zhǎng)11/24/20238a平面圖形的面積一、直角坐標(biāo)系情形二、極坐標(biāo)系情形三、小結(jié)思考題11/24/20239a曲邊梯形的面積由y=f1(x)和y=f2(x)圍成的面積:一、直角坐標(biāo)系情形11/24/202310a解3)面積元素2)選x為積分變量,解方程組即這兩個(gè)拋物線的交點(diǎn)為：xx+dx1)求出兩拋物線的交點(diǎn).11/24/202311a討論：由左右兩條曲線x

j左(y)與x

j右(y)及上下兩條直線y

d與y

c所圍成的平面圖形的面積如何表示為定積分？提示：

面積為面積元素dA=[j右(y)

j左(y)]dy,選積分變量,11/24/202312a11/24/202313a解兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量y+dyy11/24/202314a如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積11/24/202315a解橢圓的參數(shù)方程由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．11/24/202316a

(

)

+d

.dA.r=

(

)o.r

d

二、極坐標(biāo)系情形曲邊扇形是由曲線r

(

)及射線

,

所圍成的圖形.圖形是曲邊扇(梯)形如何化不規(guī)則為規(guī)則以圓扇形面積近似小曲邊扇形的面積，得到面積元素：

11/24/202317a

(

)

+d

.dA.r=

(

)o.r

d

面積元素以圓扇形面積近似小曲邊扇形面積，得到面積元素：曲邊扇形的面積

11/24/202318a例4:計(jì)算阿基米德螺線

r=a

(a>0)上相應(yīng)于

從0到2

的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.ox

r=a

2a解:取極角

為積分變量,變化區(qū)間為[0,2

],取小區(qū)間[

,+d]，則面積元素11/24/202319a11/24/202320a解利用對(duì)稱性知心形線也稱圓外旋輪線2a11/24/202321a11/24/202322a11/24/202323a求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算）三、小結(jié)11/24/202324a立體體積一、旋轉(zhuǎn)體體積二、已知截面面積的立體體積三、小結(jié)思考題11/24/202325a

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)一、旋轉(zhuǎn)體的體積11/24/202326a如何計(jì)算黃瓜的體積？旋轉(zhuǎn)體的體積為11/24/202327a解直線方程為11/24/202328a直線方程為11/24/202329a解星形線也稱：圓內(nèi)旋輪線11/24/202330axyoa–a0

2或.P

.一圓沿另一圓內(nèi)緣無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn)所畫出的曲線。.星形線(圓內(nèi)旋輪線)11/24/202331a11/24/202332a11/24/202333a11/24/202334a例4求橢圓，分別繞X軸、Y軸、直線y=-c旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。11/24/202335a解11/24/202336a11/24/202337a11/24/202338a如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.二、已知截面面積的立體的體積11/24/202339axA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面積為A(x)的立體.aV平行截面面積為已知的立體的體積b11/24/202340aoyRxxy–RR....ytan

問(wèn)題：還有別的方法嗎？(x,y),截面積A(x).例5：半徑為R的正圓柱體被通過(guò)其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。.11/24/202341aoyRx–RR方法2.半徑為R的正圓柱體被通過(guò)其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。11/24/202342aoyRx–RR

方法2ABCD

BCDC....截面積S(y)

(x,y)=2x=ytan

.S(y).半徑為R的正圓柱體被通過(guò)其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。11/24/202343ahRxoxA(x)A(x)V=....–Ry.例6：求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積。y11/24/202344a旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為已知的立體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)一周繞軸旋轉(zhuǎn)一周繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周三、小結(jié)11/24/202345a平面曲線的弧長(zhǎng)一、平面曲線弧長(zhǎng)的概念二、直角坐標(biāo)情形三、參數(shù)方程情形四、極坐標(biāo)情形五、小結(jié)11/24/202346a一、平面曲線弧長(zhǎng)的概念11/24/202347a弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)二、直角坐標(biāo)情形11/24/202348a解所求弧長(zhǎng)為sl11/24/202349a解所求弧長(zhǎng)為11/24/202350a曲線弧為弧長(zhǎng)三、參數(shù)方程情形11/24/202351a解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對(duì)稱性第一象限部分的弧長(zhǎng)11/24/202352a曲線弧為弧長(zhǎng)四、極坐標(biāo)情形11/24/202353a解分部積分法11/24/202354a解11/24/202355a直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下五、求弧長(zhǎng)的公式小結(jié)：11/24/202356a第三節(jié)定積分的物理應(yīng)用一、變力、變距離作功二、水壓力三、引力四、小結(jié)11/24/202357a用元素法11/24/202358a建立坐標(biāo)軸如上圖所示,提示：根據(jù)物理學(xué),在電量為+q的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)中,距離點(diǎn)電荷r處的單位正電荷所受到的電場(chǎng)力的大小為：11/24/202359a問(wèn)題：物體在變力F(x)的作用下，從x軸上a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，求變力所做的功。用元素法1）在[a,b]上考慮小區(qū)間[x,x+x]，在此小區(qū)間上

W

dW=F(x)dx2）將dW從a到b求定積分，就得到所求的功F(x)F(x)11/24/202360aF由物理學(xué)知道,一定量的氣體在等溫條件下,壓強(qiáng)p與體積V的乘積是常數(shù)k

,即11/24/202361a解建立坐標(biāo)系如圖這一薄層水的重力為功元素為(kN

m)kJ把這一薄層水抽出水池所作的功等于克服這一薄層重量所作的功11/24/202362a例4修建一座大橋墩時(shí)，先要下圍囹，并且抽盡其中的水以便施工，已知圍囹的直徑為20m，水深27m，圍囹高出水面3m,求抽盡水所作的功。xxdx273200分析（如下圖）建立坐標(biāo)系：

11/24/202363a因這一薄層水抽出圍囹所作的功近似于克服這一薄層重量所作的功，所以功元素為：解建立坐標(biāo)系如圖這一薄層水的重力為于是在[3,30]上，抽盡水所作的功為：xxdx273200xxdx273200O在水面11/24/202364a解：建立坐標(biāo)系如圖需計(jì)算薄片的寬度11/24/202365a問(wèn)題：水的壓力是如何產(chǎn)生的？水有重量，所以水也會(huì)對(duì)與其接觸的物體產(chǎn)生壓力，水的壓力來(lái)自水中的四面八方。水壓的強(qiáng)度和水的深度有關(guān)，愈深則水的壓強(qiáng)愈大。問(wèn)題：水庫(kù)的堤壩為什么上邊窄，下邊寬？11/24/202366a如果有一面積為A的平板水平地放置在水深為h處，那么，平板一側(cè)所受的水壓力為：P

p·A如果這個(gè)平板鉛直放置在水中，那么，由于水深不同，不同點(diǎn)處壓強(qiáng)p不相等，所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計(jì)算．11/24/202367ay11/24/202368ay11/24/202369a例6解如圖建立坐標(biāo)系,此閘門一側(cè)受到靜水壓力為11/24/202370a其中G為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)連線方向．如果要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力，那么，由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力的方向也是變化的，就不能用上述公式來(lái)計(jì)算．更重要的是向量不能求和相加！11/24/202371a這是引力dF的方向不隨小區(qū)間[x,x+dx]的改變而變化的情形。11/24/202372a由對(duì)稱性知,引力在鉛直方向分力這是引力dF的方向隨小區(qū)間[x,x+dx]的改變而變化的情形,應(yīng)將引力dF分解為dFx和dFy后再分別用定積分計(jì)算11/24/202373a11/24/202374a尤其是如何在具體問(wèn)題中取“微元”——微功、微壓力、微引力等。這對(duì)于從形式到內(nèi)容真正地把握公式是非常必要的，相反如果僅滿足于套用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題而不求甚解，那么遇到一些稍有靈活性的問(wèn)題，便可能束手無(wú)策，不知如