1．(2021·溫州中考)如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，O是位似中心，相似比為2∶3，點A，B的對應(yīng)點分別為點A′，B′.若AB＝6，則A′B′的長為(B)A．8B．9C．10D．15【解析】∵圖形甲與圖形乙是位似圖形，相似比為2∶3，AB＝6，∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(2,3)，即eq\f(6,A′B′)＝eq\f(2,3)，解得A′B′＝9.2．(2021·遂寧中考)如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為(B)A．12cm2B．9cm2C．6cm2D．3cm2【解析】在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，∴DE∥BC，且eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,2)，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面積∶△ABC的面積＝1∶4，∴△ADE的面積∶四邊形BDEC的面積＝1∶3，∵△ADE的面積是3cm2，∴四邊形BDEC的面積是9cm2.3．(2021·重慶中考)如圖，△ABC與△DEF位似，點O是它們的位似中心，其中OE＝2OB，則△ABC與△DEF的周長之比是(A)A．1∶2B．1∶4C．1∶3D．1∶9【解析】∵△ABC與△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴eq\f(BC,EF)＝eq\f(OB,OE)＝eq\f(1,2)，即△ABC與△DEF的相似比為1∶2，∴△ABC與△DEF的周長之比為1∶2.4．(2021·大慶中考)已知eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,4)，則eq\f(x2＋xy,yz)＝eq\f(5,6)．【解析】設(shè)eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,4)＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴eq\f(x2＋xy,yz)＝eq\f(4k2＋2k·3k,3k·4k)＝eq\f(10k2,12k2)＝eq\f(5,6).5．(2021·包頭中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點B作BD⊥CB，垂足為B，且BD＝3，連接CD，與AB相交于點M，過點M作MN⊥CB，垂足為N.若AC＝2，則MN的長為eq\f(6,5)．【解析】∵∠ACB＝90°，BD⊥BC，MN⊥CB，∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，∴eq\f(MC,MD)＝eq\f(AC,BD)＝eq\f(2,3)，eq\f(MN,BD)＝eq\f(CM,CD)，∴eq\f(CM,CD)＝eq\f(2,5)，∴eq\f(MN,3)＝eq\f(2,5)，∴MN＝eq\f(6,5).【素養(yǎng)提升題】(2021·達(dá)州中考)某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：【觀察與猜想】(1)如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點，連接DE，CF，DE⊥CF，則eq\f(DE,CF)的值為______．(2)如圖2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，點E是AD上的一點，連接CE，BD，且CE⊥BD，則eq\f(CE,BD)的值為________．【類比探究】(3)如圖3，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，點E為AB上一點，連接DE，過點C作DE的垂線交ED的延長線于點G，交AD的延長線于點F，求證：DE·AB＝CF·AD.【拓展延伸】(4)如圖4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝eq\f(1,3)，將△ABD沿BD翻折，點A落在點C處得△CBD，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，連接DE，CF，DE⊥CF.①求eq\f(DE,CF)的值；②連接BF，若AE＝1，直接寫出BF的長度．【解析】(1)如圖1，設(shè)DE與CF交于點G，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE＋∠CFD＝90°，∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，在△AED和△DFC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠FDC,∠AED＝∠CFD,AD＝CD))，∴△AED≌△DFC(AAS)，∴DE＝CF，∴eq\f(DE,CF)＝1；答案：1(2)如圖2，設(shè)DB與CE交于點G，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠EDC＝90°，∵CE⊥BD，∴∠DGC＝90°，∴∠CDG＋∠ECD＝90°，∠ADB＋∠CDG＝90°，∴∠ECD＝∠ADB，∵∠CDE＝∠A，∴△DEC∽△ABD，∴eq\f(CE,BD)＝eq\f(DC,AD)＝eq\f(4,7).答案：eq\f(4,7)(3)如圖3，過點C作CH⊥AF交AF的延長線于點H，∵CG⊥EG，∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，∴四邊形ABCH為矩形，∴AB＝CH，∠FCH＋∠CFH＝∠DFG＋∠FDG＝90°，∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，∴△DEA∽△CFH，∴eq\f(DE,CF)＝eq\f(AD,CH)，∴eq\f(DE,CF)＝eq\f(AD,AB)，∴DE·AB＝CF·AD；(4)①如圖4，過點C作CG⊥AD于點G，連接AC交BD于點H，CG與DE相交于點O，∵CF⊥DE，GC⊥AD，∴∠FCG＋∠CFG＝∠CFG＋∠ADE＝90°，∴∠FCG＝∠ADE，∠BAD＝∠CGF＝90°，∴△DEA∽△CFG，∴eq\f(DE,CF)＝eq\f(AD,CG)，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝eq\f(1,3)，AD＝9，∴AB＝3，在Rt△ADH中，tan∠ADH＝eq\f(1,3)，∴eq\f(AH,DH)＝eq\f(1,3)，設(shè)AH＝a，則DH＝3a，∵AH2＋DH2＝AD2，∴a2＋(3a)2＝92，∴a＝eq\f(9,10)eq\r(10)(負(fù)值舍去)，∴AH＝eq\f(9,10)eq\r(10)，DH＝eq\f(27,10)eq\r(10)，∴AC＝2AH＝eq\f(9,5)eq\r(10)，∵S△ADC＝eq\f(1,2)AC·DH＝eq\f(1,2)AD·CG，∴eq\f(1,2)×eq\f(9,5)eq\r(10)×eq\f(27,10)eq\r(10)＝eq\f(1,2)×9CG，∴CG＝eq\f(27,5)，∴eq\f(DE,CF)＝eq\f(AD,CG)＝eq\f(9,\f(27,5))＝eq\f(5,3)；②∵AC＝eq\f(9,5)eq\r(10)，CG＝eq\f(27,5)，∠AGC＝90°，∴AG＝eq\r(AC2－CG2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)\r(10)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,5)))\s\up12(2))＝eq\f(9,5)，由①得△DEA∽△CFG，∴eq\f(DE,CF)＝eq\f(AE,FG)，又∵eq\f(DE,CF)＝eq\f(5,3)，AE＝1，∴FG＝eq\f(3,