類型二面積問題1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OBDC的兩個(gè)頂點(diǎn)O(0，0)，D(3，－3)，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上有一動點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動到什么位置時(shí)，滿足S△PAB＝8，請求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若在該拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．第1題圖2.如圖，已知拋物線與x軸交于A(－1，0)、B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D是笫一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)(與點(diǎn)C、B不重合)，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)E，連接BD、CD.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△BCD的面積為S.①求S關(guān)于m的函數(shù)解析式及自變量m的取值范圍，并求出S的最大值；②直線BC能否把△BDF分成面積之比為2∶3的兩部分？若能，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．第2題圖3.如圖①，過點(diǎn)A(8，0)的拋物線y＝ax2＋bx與直線y＝eq\f(2,3)x交于點(diǎn)B(6，n)，點(diǎn)P是線段OB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，設(shè)△BOE的面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.(1)請直接寫出n的值及拋物線的解析式；(2)為探究S最大時(shí)點(diǎn)P的位置，甲、乙兩同學(xué)結(jié)合圖形給出如下分析．甲：借助PE的長與三角形面積公式，求出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，可確定點(diǎn)P的位置．乙：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)O或點(diǎn)B時(shí)，S的值可看作0，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到OB中點(diǎn)時(shí)，S最大，即S最大時(shí)，點(diǎn)P為OB的中點(diǎn)．請參考甲的方法求出S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷乙的猜想是否正確，并說明理由；(3)拓展探究：如圖②，直線l與任意拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，G是線段MN上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)G作拋物線對稱軸的平行線，交該拋物線于點(diǎn)H，當(dāng)△MHN的面積最大時(shí)，點(diǎn)G一定是線段MN的中點(diǎn)嗎？試做出判斷并說明理由．圖①圖②第3題圖

4.如圖①，已知拋物線y＝ax2＋bx經(jīng)過A(1，3)，C(3，1)兩點(diǎn)，連接AC，OC，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，交OC于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D.(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為線段OC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)PF＝eq\f(1,2)AE時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖②，連接OA，若將△AOB沿AC方向由A→C平移得到△A′O′B′，在平移過程中，△AOB與△OCD重疊部分的面積記為S，當(dāng)S取最大值時(shí)，請直接寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo).第4題圖

類型二面積問題1.解：(1)∵D(3，－3)，且四邊形OBDC為矩形，∴B(3，0)、C(0，－3)，將B、C兩點(diǎn)代入y＝x2＋bx＋c中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(32＋3b＋c＝0,c＝－3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2,c＝－3)).∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－3；(2)∵拋物線的解析式y(tǒng)＝x2－2x－3，∴A(－1，0)，∴|AB|＝4，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意得：S△PAB＝eq\f(1,2)×4|y|＝8，∴|y|＝4，∴y＝±4.∴當(dāng)y＝4時(shí)，x2－2x－3＝4，解得x1＝2eq\r(2)＋1，x2＝－2eq\r(2)＋1；當(dāng)y＝－4時(shí)，x2－2x－3＝－4，解得x3＝x4＝1.∴滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)，即(2eq\r(2)＋1，4)，(－2eq\r(2)＋1，4)，(1，－4)；(3)Q(1，－2)．【解法提示】如解圖，連接BC，與其對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，連接AQ、AC.第1題解圖∵AC長為定值，∴要使△QAC的周長最小，只需QA＋QC最小，∵點(diǎn)A關(guān)于對稱軸直線x＝1的對稱點(diǎn)是B(3，0)，∴此時(shí)點(diǎn)Q是直線BC與對稱軸直線x＝1的交點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)B、C的直線的解析式為y＝kx－3，把B(3，0)代入，∴3k－3＝0，∴k＝1，∴直線BC的解析式為y＝x－3，把x＝1代入y＝x－3，得y＝－2，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2)．2.解：(1)∵拋物線與x軸交于A(－1，0)、B(3，0)兩點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－3)，又∵點(diǎn)C(0，3)在拋物線圖象上，∴3＝a×(0＋1)×(0－3)，解得a＝－1，∴拋物線解析式為y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3；(2)①設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，∵直線BC過點(diǎn)B(3，0)，C(0，3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝3k＋b,3＝b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝3))，∴y＝－x＋3，設(shè)D(m，－m2＋2m＋3)，E(m，－m＋3)，∴DE＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)＝－m2＋3m，∴S＝eq\f(1,2)OB·DE＝eq\f(3,2)(－m2＋3m)＝－eq\f(3,2)m2＋eq\f(9,2)m＝－eq\f(3,2)(m－eq\f(3,2))2＋eq\f(27,8)(0＜m＜3)，∵－eq\f(3,2)＜0，∴當(dāng)m＝eq\f(3,2)時(shí)，S有最大值，最大值S＝eq\f(27,8)；②能，理由如下：∵△BDE和△BFE是等高的，∴它們的面積比＝DE∶EF.(Ⅰ)當(dāng)DE∶EF＝2∶3時(shí)，即eq\f(－m2＋3m,－m＋3)＝eq\f(2,3)，解得m1＝eq\f(2,3)，m2＝3(舍)，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(eq\f(2,3)，eq\f(35,9))；(Ⅱ)當(dāng)DE∶EF＝3∶2時(shí)，即eq\f(－m2＋3m,－m＋3)＝eq\f(3,2)，解得m3＝eq\f(3,2)，m4＝3(舍)，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，eq\f(15,4))．綜上可知：點(diǎn)D的坐標(biāo)為(eq\f(2,3)，eq\f(35,9))或(eq\f(3,2)，eq\f(15,4))．3.解：(1)n＝4，拋物線解析式為y＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(8,3)x；【解法提示】∵點(diǎn)B(6，n)在直線y＝eq\f(2,3)x上，∴n＝eq\f(2,3)×6＝4，將點(diǎn)A(8，0)和B(6，4)代入拋物線y＝ax2＋bx，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64a＋8b＝0,36a＋6b＝4))，求得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3),b＝\f(8,3)))，∴拋物線的解析式為y＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(8,3)x.(2)設(shè)P(m，eq\f(2,3)m)，E(m，－eq\f(1,3)m2＋eq\f(8,3)m)，∴EP＝－eq\f(1,3)m2＋eq\f(8,3)m－eq\f(2,3)m＝－eq\f(1,3)m2＋2m.∴S＝S△EPO＋S△EPB＝eq\f(1,2)×6×(－eq\f(1,3)m2＋2m)＝－(m－3)2＋9.∵－1＜0，∴當(dāng)m＝3時(shí)，S最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，2)．設(shè)線段OB的中點(diǎn)為F，則F(3，2)，∴點(diǎn)P為OB中點(diǎn)，乙的猜想正確；(3)點(diǎn)G一定是MN的中點(diǎn)．理由如下：將題圖②中的拋物線放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線對稱軸平行于y軸．設(shè)△MHN的面積為S，點(diǎn)G、M、N的橫坐標(biāo)分別為xG、xM、xN.由甲的方法可知，S是xG的二次函數(shù)，其中xM≤xG≤xN，圖象是開口向下的一段拋物線，記作“拋物線W”，W有最大值，此時(shí)xG為拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)．當(dāng)xG＝xM或xG＝xN，即點(diǎn)G與點(diǎn)M或點(diǎn)N重合時(shí)，S＝0.∴拋物線W過(xM，0)與(xN，0)兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線W的對稱軸對稱，∴M、N的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為拋物線對稱軸上的點(diǎn)，∴xG＝eq\f(xM＋xN,2)，∴當(dāng)S最大，此時(shí)點(diǎn)G恰為MN中點(diǎn)．即當(dāng)△MHN的面積最大時(shí)，點(diǎn)G為MN的中點(diǎn)．4.解：(1)將點(diǎn)A(1，3)、C(3，1)分別代入y＝ax2＋bx中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝3,9a＋3b＝1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(4,3),b＝\f(13,3)))，∴拋物線的解析式為y＝－eq\f(4,3)x2＋eq\f(13,3)x；(2)設(shè)直線OC的解析式為y＝kx，將點(diǎn)C(3，1)代入，得1＝3k，∴k＝eq\f(1,3)，∴直線OC的解析式為y＝eq\f(1,3)x，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝eq\f(1,3)，∴E(1，eq\f(1,3))，∴AE＝3－eq\f(1,3)＝eq\f(8,3)，設(shè)點(diǎn)P(m，eq\f(1,3)m)，則F(m，－eq\f(4,3)m2＋eq\f(13,3)m)，∴PF＝－eq\f(4,3)m2＋eq\f(13,3)m－eq\f(1,3)m＝－eq\f(4,3)m2＋4m，∵PF＝eq\f(1,2)AE，∴－eq\f(4,3)m2＋4m＝eq\f(1,2)×eq\f(8,3)，解得m1＝eq\f(3－\r(5),2)或m2＝eq\f(3＋\r(5),2)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(eq\f(3－\r(5),2)，eq\f(3－\r(5),6))或(eq\f(3＋\r(5),2)，eq\f(3＋\r(5),6))；(3)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(2，2)．【解法提示】如解圖，設(shè)A′B′交x軸于點(diǎn)T，交OC于點(diǎn)Q，A′O′交x軸于點(diǎn)K，交OC于點(diǎn)R，過點(diǎn)R作RF⊥A′B′于點(diǎn)F.設(shè)直線AC的解析式為y＝nx＋c，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝n＋c,1＝3n＋c))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝－1,c＝4))，∴直線AC的解析式為y＝－x＋4，設(shè)點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)A′(t，－t＋4)，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t，eq\f(t,3))，∴A′Q＝－eq\f(4t,3)＋4，根據(jù)題意得O′B′＝OB＝1，A′B′＝AB＝3，∵AB∥A′B′，AO∥A′O′，∴∠AOE＝∠A′RQ，∠AEO＝∠A′QR，∴△AOE∽△A′RQ，∴eq\f(RF,OB)＝eq\f(A′Q,AE)，∴RF＝eq\f(A′Q,AE)·OB＝eq\f(3－t,2)，∵KT∥O′B′，∴△A′KT∽△A′O′B′，∴eq\f(KT,A′T)＝eq\f(O′B′,A′B′)＝eq\f(1,3)，∴KT＝eq\f(1,3)A′T＝eq\f(1,3)(4－t)，∴S四邊形RKTQ＝S△A′KT－