2023北京豐臺高一（上）期中數(shù)學(xué)（A卷）第I卷（選擇題共40分）一、選擇題：本部分共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，選出最符合題意的一項.A=xZx1.已知集合，則（）A3AA.2B.D.C.0AA2.命題“xx24”的否定為（）A.“xxB.“xx2244””xx4”2C.“D.“x,x24”()上單調(diào)遞增的是（）3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在1y=?x2y=x3D.y=?A.B.yC.x4.下列說法正確的是（A.若ab，則ac）bc2B.若ab，則a?1b?22abC.若2，則abD.若ab，則a2b2c2c5.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(2,2)，則f(4)等于（）?A.2B.2C.2D.4R，則“2?x0”是“x+11”的（）6.設(shè)xA.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7.設(shè)＝{x|0≤x≤2}，N＝y(tǒng)|0≤y≤2}，給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有（）A.0個C.2個B.1個D.3個fx=ax的圖像與射線3xy50（x?+=）相交，則（）8.若指數(shù)函數(shù)()112aa,1A.C.B.D.211a)a,1+)229.如下圖，一個“心形由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形上部分的函數(shù)解析式可能為（）A.y|x|4?x2B.y=x4?x2C.y=?x2+2|x|D.y=?x+2x2XA=M?m10.設(shè)集合A的最大元素為M，最小元素為m，記A的特征值為，若集合中只有一個元素，A1A2A3A，是集合Nn規(guī)定其特征值為0.已知，，，*的元素個數(shù)均不相同的非空真子集，且X+X+X++X=62n，則的最大值為（）A123nA.10B.C.D.13第Ⅱ卷（非選擇題共分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.1x?1函數(shù)f(x)=x+3+的定義域為__________.112278?312.求值：???3)=________．044x?313.當(dāng)x3時，則y=x+yx的最小值為______，當(dāng)取得最小值時的值為______．14.寫出一個使得命題“xR,ax2?2ax+30恒成立”是假命題的實數(shù)a的值__________a的值即可）1f(?x)=15.函數(shù)f(x)的定義域為R，且xR，都有①f(0)=1或1；，給出下列四個結(jié)論：f(x)②f(x)一定不是偶函數(shù)；f(x)0(?,0)上單調(diào)遞增，則f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增；③若，且f(x)在④若f(x)有最大值，則f(x)一定有最小值．其中，所有正確結(jié)論的序號是______________．三、解答題：本題共6小題,共85分,解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.A=?=x1x4,Bxm1x2m3??.16.已知集合（1）若m=4，求B,AB；BAm（2）若，求實數(shù)的取值范圍.?x+x0f(x)=17.已知函數(shù).2,x0x12（1）求f(f(?的值；（2）畫出函數(shù)f(x)的圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；f(x)8x（3）若，求的取值范圍.118.已知函數(shù)f(x)=4x+．x（1）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；1[,+)（2）判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；2f(xx1g(x)=x=x[?,t]g(x)的值域為+)t，求實數(shù)的取值范圍.（只（3）已知函數(shù)當(dāng)時，4?f(xx需寫出答案）f(x)=ax2?a+x+3，aR．19.已知函數(shù)（1）若f(x)0的解集是x|1xk，求函數(shù)f(x)的零點；f(x)0（2）求不等式的解集．20.因新冠肺炎疫情影響，呼吸機成為緊缺商品，某呼吸機生產(chǎn)企業(yè)為了提高產(chǎn)品的產(chǎn)量，投入萬元安裝了一臺新設(shè)備，并立即進行生產(chǎn)，預(yù)計使用該設(shè)備前n(nN+)年的材料費、維修費、人工工資等共為5nf(n)萬元.（n2+5n）萬元，每年的銷售收入55萬元.設(shè)使用該設(shè)備前年的總盈利額為2f(n)n關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并估計該設(shè)備從第幾年開始盈利；（1）寫出（2）使用若干年后，對該設(shè)備處理的方案有兩種：案一：當(dāng)總盈利額達到最大值時，該設(shè)備以10萬元的價格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達到最大值時，該設(shè)備以50萬元的價格處理；問哪種方案處理較為合理？并說明理由.()，若()=，則稱為()的“不動點”；若(=為()fxfxfxf00ffx0，則稱021.對于函數(shù)00的“穩(wěn)定點”．函數(shù)()的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即fxA=xfx=x()，=(=xffxx．B（1）設(shè)函數(shù)f(x)=3x+4，求集合A和B；AB（2）求證：；（3）設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+ca0()，且A=B=，求證：．參考答案一、選擇題：本部分共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，選出最符合題意的一項.1.【答案】A【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可求解.A=，所以3,0A，而xZx3【詳解】因為是集合，與A的關(guān)系不應(yīng)該是屬于關(guān)系，而應(yīng)該是包含關(guān)系.故選:A2.【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用含有一個量詞的否定求解作答.4”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，【詳解】命題“xx2所以命題“xx24的否定是：x,x24.”故選：D3.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性確定正確答案.1=?CD【詳解】函數(shù)y=x3和函數(shù)y?x,x0是奇函數(shù)，不符合題意，選項錯誤.xy=?x=()上遞減，不符合題意，選項錯誤函數(shù)函數(shù)是偶函數(shù)，且在A.x,x0y2是偶函數(shù)，且在()上單調(diào)遞增，符合題意，B選項正確.故選：B4.【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷A，B，C；舉反例可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)c對于B，若ab，則a時，則ab時，ac2=bc2，A錯誤；??1b1b?2，錯誤；Bab，則c0，即c20，故ab，C正確；對于C，若2c2c對于D，若ab，不妨取若a=?1b=?2，則ab2，D2故選：C5.【答案】A【分析】由冪函數(shù)所過的點求得f(x)==f(4)x，進而求.1a，則f(2)2=a2=a，則f(x)=x，【詳解】令()fx2所以f(4)故選：A=4=2.6.【答案】B【分析】首先求出不等式的解集，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：由2x0，解得?x2，由，x+11，即1x+11，解得2x0又?0(?,2，由2?x0推不出x+11，故充分不成立，由x+11推得出2?x0，即必要性成立，所以“2?x0”是“x+11”的必要不充分條件.故選：B7.【答案】B【分析】利用函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域以及函數(shù)的定義，判斷選項即可．【詳解】對于①，x＝2時，在N中無元素與之對應(yīng)，不滿足任意性，故①錯誤；對于②，同時滿足任意性與唯一性，故②正確；對于③，x＝2時，對應(yīng)元素y＝?N，不滿足任意性，故③錯誤；對于④，x＝1時，在N中有兩個元素與之對應(yīng)，不滿足唯一性，故④錯誤.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)的概念以及函數(shù)的定義域以及值域的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．8.【答案】D【分析】分a1和0a1兩種情況結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象，射線的端點進行分析求解即可【詳解】當(dāng)x=?1時，代入射線得y=2，若0a1，指數(shù)函數(shù)f(x)=ax的圖象過第一、二象限，且單調(diào)遞減，要使指數(shù)函數(shù)的圖象與射線有交12點，則當(dāng)x=?1時，y=a12，所以0a，若a1，則可知兩圖象在第一象限一定有交點，10a或a1，綜上，2故選：D9.【答案】C【分析】根據(jù)心形”上部分的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，排除部分選項，再根據(jù)函數(shù)的最大值判斷.【詳解】由函數(shù)圖象知：“心形”上部分的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，而y=x4?x2，y=?x+2x，不2滿足；y|x|4?x2的圖象過（，0-2，2，當(dāng)0x2時，2()x2+4?x2，當(dāng)且僅當(dāng)x=4?x2，即x=2時，等號成立，不符合要求；=2y=x4?x22y=?x2+2|x|的圖象過（，0-2，2，當(dāng)0x2時，y=?x22+11，當(dāng)+2x=?(x?)x=1時，函數(shù)取得最大值1，符合要求；故選：C10.【答案】BX=M?mn盡量小，結(jié)合已知和集合的性質(zhì)有最大時【分析】根據(jù)題意保證各集合中n(?)nn1nX+X+X++X=，進而分析的取值即可.A123n2AAAA，n【詳解】由題意，，，中都至少有一個元素，且元素個數(shù)互不相同，M?m盡量小，123X=n要使最大，則各集合中nAAAA，中的元素個數(shù)盡量少且數(shù)值盡可能連續(xù)，n所以集合，，，，123X=0X=1，X=2X=n?1，n所以，不妨設(shè)，，A12A3(?)nn1則有X+X+X++X=，A123n2=X+X+X++X=5562AA當(dāng)n11時，，2n13當(dāng)n=12時，X+X+X++X=6662，A123n所以只需在n11時，在上述特征值取最小的情況下，使其中一個集合的特征值增加7即可，=n故的最大值為故選：B.第Ⅱ卷（非選擇題共分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.【答案】[+)【分析】由函數(shù)解析式，結(jié)合根式、分式的性質(zhì)求定義域.x+30x?3x1，【詳解】由題設(shè)且x?10所以函數(shù)定義域為[+).故答案為：[+)12.【答案】2?【分析】結(jié)合指數(shù)冪的運算化簡整理即可求出結(jié)果.131278???30【詳解】4?2133312?()=22??123=2?1??1213=??122=2，故答案為：2.?13.【答案】①.7②.5【分析】通過函數(shù)解析式的配湊，即可利用基本不等式可求解4x?34x?34x?3y=x+x?3++34+3=7x?時等號成立，此時x=5【詳解】因為，當(dāng)yyx最小值為當(dāng)取得最小值時的值為，故故答案為：7,5.14.【答案】1【分析】根據(jù)題意，假設(shè)命題“xR,ax?2ax+30恒成立”是真命題，根據(jù)不等式恒成立，分類2討論當(dāng)a=0和a0時兩種情況，從而得出實數(shù)的取值范圍，再根據(jù)補集得出命題a“xR,axa2?2ax+30恒成立”為假命題時的取值范圍，即可得出滿足題意的的值.a【詳解】解：若命題“xR,ax則當(dāng)a=0時成立，a02?2ax+30恒成立”是真命題，當(dāng)a0時有，解得：0<a<3，Δ=4a?12a02所以當(dāng)0a3時，命題“xR,axa(?,0)2?2ax+30恒成立”是真命題，2?+所以當(dāng)時，命題“xR,ax2ax30恒成立”為假命題，a(?,0)故答案為：1.（答案不唯一，只需15.【答案】①③）【分析】根據(jù)所給性質(zhì)直接計算可判斷①，取特殊函數(shù)判斷②，利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷③，取特殊函數(shù)判斷④.1f(?x)=【詳解】因為xR，都有，f(x)1f(0)=，即f(0)=1或1，故①正確；所以f(0)1f(x)=1，則f(x)?==1，即?=恒成立，所以f(x)是偶函數(shù)，故②錯誤；f(x)f(x)不妨取f(x)x,x+)xx?x?x0f(?x)f(?x)，所以，21設(shè)即，且，則121221110f(x)f(x)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增，故③正確；，所以，即2f(2)f(1)1x,x01f(x)=x=0f(x)=?不妨取，則滿足，函數(shù)有最大值1，但是無最小值，故④錯誤.f(x)1?,x0x故答案為：①③三、解答題：本題共6小題,共85分,解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.,1?)A，4，A5)16.1）72?,（2））若m=4，代入集合B，由補集交集并集的定義，求B,AB；BA兩種類型，求實數(shù)的取值范圍.B=和Bm（2）若，分【小問1A=x?1x4，m=4時，B=x3x5，又?),1，AA4，5).【小問2BA當(dāng)時，當(dāng)B=時，則m?12m?3，得m2滿足題意m?12m?3當(dāng)B時，則2m?34m?1?1，72m解得272m?,綜上：實數(shù)的取值范圍是3217.1）2（2）作圖見解析，減區(qū)間為(,0)，增區(qū)間為()（3）?7,3）根據(jù)分段函數(shù)代入求值；（2）直接作出函數(shù)的大致圖象并寫出單調(diào)區(qū)間；x（3）對分段討論，代入相應(yīng)的解析式求解不等式.【小問1?x+x0f(x)=1131332.f(?)=+1=,f(f(?=f()=2由得2,x0x22222【小問2?x+x0()=fx()，所以的圖象如下圖所示，fx2,x0x由圖可知,()的減區(qū)間為【小問3x0()，增區(qū)間為()fx,0.x0f(x)8或x由可得8，2?x+18解得7x0或0x3，?7,3x所以的取值范圍是.18.1）奇函數(shù)，證明見解析（2）單調(diào)遞增，證明見解析1（3）]4）利用奇函數(shù)定義證明；（2）根據(jù)單調(diào)性定義證明；（3）作出g(x)的圖象，觀察圖象得答案.【小問11f(x)=4x+函數(shù)為奇函數(shù).x證明：定義域x|x，因為|xxx，都有?|xxx，1(?x)1f(?x)=4(?x)+=?(4x+)=?f(x)，且x1f(x)=4x+所以函數(shù)為奇函數(shù).x【小問2函數(shù)f(x)在區(qū)間11[,+).上單調(diào)遞增21任取1,2[,+)，1x，則22211()?()=+)(4x+?fxfx(42)21121x?x4x=(?)?x2121xx124xx?1=(?)xx1221xx12x?x0xx04xx?10fx，所以()?()，fx021因為,，2112121fxfx即()(1)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[,+)上單調(diào)遞增.22【小問314t的范圍，理由如下：14x+,xxg(x)=x=1?+,x4xx1先證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,]上單調(diào)遞減.211任取1,2(0,]，0xx12，224xx?1()?()=(?)fxf1xx12則，221xx12x?x0xx04xx?10()?()fxfx0，21因為，，，所以2112121fxfx即()(1)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,]上單調(diào)遞減.22根據(jù)f(x)的單調(diào)性與奇偶性可以作出g(x)的圖象如下：11g()=g(?)=5計算可知：，4411由圖可知，當(dāng)x[,t]時，?g(x)的值域為+)t].，的取值范圍為419.【答案】19.1和3；20.答案見解析.4ax2?a+x+3=0的一個根，從而求出a=1，進而求解f(x)=0即可；1）根據(jù)題意確定1是1（2）先討論當(dāng)a=0時求解不等式，在a0時求得方程(ax?x?=0的兩根為,3，再比較兩根大a小，分類討論求解不等式即可.【小問1f(x)0的解集是x|1xk，所以是ax?a+x+3=0的一個根，2因為所以1a?a++3=0a=1，所以f(x)=x2?4x+3，解得.f(x)=x2?4x+3=0，解得1=，23，=令所以f(x)的零點為1和【小問2f(x)02?a+x+30(ax?x?0，因為，即ax，所以當(dāng)a=0時，?x+30，解得x3；1當(dāng)a0時，方程(ax?x?=0的兩根為x=,x=3，12a11當(dāng)0時，y=f(x)開口向下，且3，解得x3；aa13110ay=f(x)3，解得x3或x當(dāng)當(dāng)當(dāng)時，開口向上，且；aa11a=ay=f(x)=3，解得x3；時，時，開口向上，且開口向上，且3a1311y=f(x)3，解得x或x3；aa綜上所述，當(dāng)a=0時，解集為x|x；1x|x3當(dāng)0時，解集為；a11a0ax|x3x或；當(dāng)當(dāng)當(dāng)時，解集為31時，解集為；x|x3a=a3131x|x或x3.時，解集為a5220.1）f(n)=?n2+50n?90，32）第二種方案更合適，理由見解析.()的表達式，由()，解一元二次不等式求得fnfn0n）利用年的銷售收入減去成本，求得從第3年開始盈利.（2）方案一：利用配方法求得總盈利額的最大值，進而求得總利潤；方案二：利用基本不等式求得n=6時年平均利潤額達到最大值，進而求得總利潤.比較兩個方案獲利情況，作出合理的處理方案.）由題意得：5522f(n)=55n?90?(n+5n)=?n+50n?90225f(n)0?n得+50n?900即n2?20n+360，2由2解得2nnN由，設(shè)備企業(yè)從第3年開始盈利+（2）方案一總盈利額5f(n)=?(n?10)2+160，當(dāng)n==f(n)時，2故方案一共總利潤160+10=170，此時n=方案二：每年平均利潤f(n)5365=50?(n+)≤50?236=20n=6，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立n2n2故方案二總利潤620+50=170，此時n=6比較兩種方案，獲利都是170萬元，但由于第一種方案只需要10年，而第二種方案需要6年，故選擇第二種方案更合適.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，屬于中檔題.A=B=?21.1）（2）證明見解析3