一種多分辨率小波去噪方法

在信號的采集和傳輸過程中，不可避免地會干擾大量噪聲信號。去除信號并提取原始信號是一個重要的話題。由于小波分析能同時在時域和頻域中對信號進行分析,所以它能較好地區(qū)分信號中的突變部分和噪聲,從而實現(xiàn)對信號的降噪。小波去噪就是利用具體問題的先驗知識,根據(jù)信號和噪聲的小波系數(shù)在不同尺度上具有不同性質(zhì)的機理,構(gòu)造相應(yīng)規(guī)則,在小波域采用其他數(shù)學(xué)方法對含噪信號的小波系數(shù)進行處理。小波去噪方法之所以取得成功是因為小波變換具有以下重要特點:1)低熵性。小波系數(shù)的稀疏分布,使得信號變換后的熵降低;2)多分辨率性質(zhì)。由于采用了多分辨率的方法,可以非常好地刻畫信號的非平穩(wěn)特征,如邊緣、尖峰、斷點等,以便于特征提取和保護;3)去相關(guān)性。因為小波變換可以對信號進行去相關(guān),且噪聲在變換后有白化趨勢,所以在小波域比在時域更利于去噪;4)小波基選擇的多樣性。由于小波變換可以靈活選擇變換基,所以可以針對不同應(yīng)用場合選用不同的小波函數(shù),以獲得最佳的處理效果。在實際的工程中,有用信號通常表現(xiàn)為低頻信號或比較平穩(wěn)的信號,而噪聲信號則表現(xiàn)為高頻信號,所以消噪過程可按如下方法進行處理:(1)對實際信號進行小波分解,選擇合適小波并確定分解層次;(2)對小波分解的高頻系數(shù)進行處理;(3)對處理后的小波系數(shù)進行重構(gòu),即為去噪后的真實信號。隨著對小波去噪算法的深入研究,小波去噪方法也豐富起來,但各種方法都存在不足之處。本文主要介紹小波分解與重構(gòu)法、小波變換閾值去噪法、小波變換模極大值去噪法這三種常用的小波去噪方法,在此基礎(chǔ)上提出了一種新的小波閾值去噪方法,并將這幾種方法分別用于仿真算例的去噪處理,仿真結(jié)果證明改進后的方法具有較好的降噪效果。1當(dāng)前去除噪聲的方法1.1小波多分辨率分解根據(jù)多分辨分析的思想,Mallet算法提出了小波分解與重構(gòu)的快速算法。若fk為信號f(t)的離散采樣數(shù)據(jù),fk=c0,k,則信號f(t)的正交小波變換分解公式為{cj,k=∑ncj-1,nhn-2kdj,k=∑ndj-1,ngn-2kk=0,1,2,?,Ν-1(1)???????cj,k=∑ncj?1,nhn?2kdj,k=∑ndj?1,ngn?2kk=0,1,2,?,N?1(1)其中:cj,k為尺度系數(shù);dj,k為小波系數(shù);h,g為一對正交鏡像濾波器組;j為分解層數(shù);N為離散采樣點數(shù)。小波重構(gòu)過程是分解過程的逆運算,相應(yīng)的重構(gòu)公式為cj-1,n=∑ncj,nhk-2n+∑ndj,ngk-2n(2)cj?1,n=∑ncj,nhk?2n+∑ndj,ngk?2n(2)小波的多分辨分析特性能將信號在不同尺度下進行多分辨率的分解,并將交織在一起的各種不同頻率組成的混合信號分解成不同頻段的子信號,因而對信號具有按頻帶處理的能力。小波分解與重構(gòu)的方法將含有噪聲的信號在某一尺度下分解到不同的頻帶內(nèi),然后再將噪聲包含的頻帶置零(或直接提取有用信號所在的頻帶)進行小波重構(gòu),從而達到去噪的目的。1.2噪聲去噪原理1992年,Mallat提出用奇異點模極大值法檢測信號的奇異點,根據(jù)有用信號與噪聲在奇異性上存在差異,采用多分辨率理論,由粗及精地跟蹤各尺度j下的小波變換極大值來消除噪聲。去噪原理為:信號的Lipschitz指數(shù)是大于0的,噪聲的Lipschitz指數(shù)a=-12-εa=?12?ε,其中ε>0,因此噪聲的Lipschitz指數(shù)小于0,隨著尺度的增大,信號和噪聲所對應(yīng)的小波變換系數(shù)分別是增大和減小。根據(jù)不同尺度間小波變換模極大值變化的規(guī)律,去除幅度隨尺度的增加而減小的點,保留幅度隨尺度增加而增加的點,然后再由保留的模極大值點用交替投影法進行重建,從而達到去噪的目的。1.3小波變換后的傳統(tǒng)系數(shù)計算目前對小波系數(shù)進行非線性處理方法中Donoho提出的閾值去噪算法最為常用。在此算法中,閾值函數(shù)的選取和確定方法有基于Stein無偏似然估計原理的軟閾值估計、固定閾值、啟發(fā)式閾值以及最小極大方差閾值。信號在小波域內(nèi)其能量主要集中在有限的幾個系數(shù)中,而噪聲的能量卻分布于整個小波域內(nèi),因此經(jīng)小波分解后,信號的小波變換系數(shù)要大于噪聲的小波變換系數(shù),所以可設(shè)置一個閾值。當(dāng)wj,k小于某一閾值時,可將其舍去;當(dāng)wj,k大于此閾值時,小波系數(shù)主要由信號引起。軟硬閾值法都是對大于閾值部分的wj,k進行處理。前者是將該部分小波系數(shù)按一個固定量向零收斂,后者直接把這一部分wj,k保留下來。此方法可通過以下三個步驟實現(xiàn):①信號小波分解,即選擇小波并確定小波分解層次,然后對信號進行N層小波包分解。②系數(shù)閾值量化,即對高頻小波系數(shù)用一個適當(dāng)?shù)拈撝颠M行量化,得出估計小波系數(shù)?wj,kw?j,k。③小波重構(gòu),即根據(jù)第N層低頻系數(shù)和經(jīng)過量化處理的高頻系數(shù)進行小波重構(gòu)。小波變換后的傳統(tǒng)系數(shù)處理方法有硬閾值法(HardThresholdFunction)和軟閾值法(Softthresholdfunction)兩種。其中硬閾值方程為:?wj,k={wj,k|wj,k|≥λ0|wj,k|＜λ(3)w?j,k={wj,k|wj,k|≥λ0|wj,k|＜λ(3)軟閾值方程為?wj,k={sgn(wj,k)(|wj,k|-λ)|wj,k|≥λ0|wj,k|＜λ(4)w?j,k={sgn(wj,k)(|wj,k|?λ)|wj,k|≥λ0|wj,k|＜λ(4)式中sgn()為符號函數(shù);λ為閾值。它的選取有不同方法,常用的是由Donoho和Johnstone提出的統(tǒng)一閾值,取為σ√2logΝσ2logN??????√,其中σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。其圖形如圖1和2所示。2網(wǎng)絡(luò)去噪方法模極大值法主要適于信號中混有白噪聲且含有較多奇異點的情況,該方法去噪后能很好的保留反映信號特征的奇異點信息,去噪后的信號沒有多余震蕩,能得到較高的信噪比,但是計算復(fù)雜且速度非常慢。平移不變量法適用于信號中含有若干不連續(xù)點的情況,去噪效果較好,但是計算速度非常慢。Donoho的軟、硬閾值去噪方法在實際中得到廣泛的應(yīng)用,而且也取得了較好的效果。但是硬閾值函數(shù)在λ和-λ處是不連續(xù)的,這種不連續(xù)性導(dǎo)致重構(gòu)信號容易出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象,出現(xiàn)許多不期望的震蕩,失去原始信號的光滑性;雖然軟閾值法估計得到的小波系數(shù)?wj,kw?j,k整體連續(xù)性好,從而使估計信號不會產(chǎn)生附加震蕩,但當(dāng)|wj,k|≥λ|wj,k|≥λ時,估計值與實際值之間總存在恒定的偏差,并且軟閾值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不連續(xù),直接影響著重構(gòu)信號與真實信號的逼近程度,具有一定的局限性。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去噪的方法,由于需要很多次迭代,計算過程比其它方法都要復(fù)雜,應(yīng)用起來比較困難。在工程中最常用的去噪方法是閾值去噪法,閾值法的原始信號的恢復(fù)效果主要依賴于閾值的選取,如果閾值選取過大,就會消去信號的部分信息;閾值選取過小則會保留過多噪聲。3軟閾值函數(shù)中約束因子更新而產(chǎn)生的誤差為了有效彌補以上方法的不足,本文在閾值去噪法的基礎(chǔ)上做出一定的改進,使用加權(quán)平均法,將硬、軟閾值函數(shù)用加權(quán)平均的方法結(jié)合起來。設(shè)加權(quán)因子為μ,構(gòu)造出如下的閾值函數(shù):?wj,k={(1-μ)?wj,k+μ?sgn(wj,k)(|wj,k|-λ)|wj,k|≥λ0|wj,k|＜λ(5)w?j,k={(1?μ)?wj,k+μ?sgn(wj,k)(|wj,k|?λ)|wj,k|≥λ0|wj,k|＜λ(5)在現(xiàn)有的加權(quán)平均方法中,通常是把加權(quán)因子μ的大小簡單設(shè)為0.5。雖然能在一定程度上克服硬、軟閾值法的缺點,但是它仍然有兩個缺點:第一,閾值函數(shù)仍然是不連續(xù)的;第二,小波系數(shù)的估計值與初始小波系數(shù)仍然存在固定偏差,只是較之軟閾值方法,這個偏差小于0.5而已。為了更好地克服硬、軟閾值方法的缺點,給出如下所示的加權(quán)因子計算式:μ=λ|wj,k|?exp(√|wj,k|-λ|wj,k|+λ)(6)μ=λ|wj,k|?exp(∣∣wj,k∣∣?λ∣∣wj,k∣∣+λ√)(6)在上式中,因為0≤√|wj,k|-λ|wj,k|+λ≤10≤|wj,k|?λ|wj,k|+λ??????√≤1,使估計值?wj,kw?j,k的取值介于硬、軟閾值方法之間,使得估計出來的小波系數(shù)?wj,kw?j,k更加接近wj,k。當(dāng)|wj,k|=λ時,?wj,k=0;當(dāng)|wj,k|→λ時,則μ→1,可以得到?wj,k→0,則?wj,k在|wj,k|=λ是連續(xù)的。隨著|wj,k|的增大,?wj,k和wj,k間偏差的絕對值逐漸減小,在極限情況下,當(dāng)|wj,k|→∞時,μ→0??wj,k→wj,k,大大減少了軟閾值方法中產(chǎn)生的恒定誤差。因此,與傳統(tǒng)的硬、軟閾值方法相比,新閾值函數(shù)提高了重構(gòu)精度,改善了去噪效果,具有明顯的優(yōu)勢。4noisbump信號去噪為了說明新閾值函數(shù)在去噪算法中的有效性和優(yōu)越性,分別采用傳統(tǒng)的硬、軟閾值函數(shù)和新閾值函數(shù)進行MATLAB去噪試驗。本文選用MATLAB工具箱中典型的含高斯白噪聲的Noisbump信號進行仿真實驗,選用db6小波對其進行分解,分解層數(shù)為4層。結(jié)果如圖3至圖5所示。圖1為加入了高斯白噪聲后的Noisbump信號,圖2是用軟、硬閾值去噪后的信號,從圖中可以看出,去噪效果不徹底,在局部奇異點處容易產(chǎn)生Gibbs震蕩并且伴有部分波形的失真,去噪后信號的光滑度較差。圖3是用改進后的方法消噪得到的信號,從圖中可以看出,新方法相對于軟、硬閾值方法有改進之處,信號逼近程度高且有效地抑制了Gibbs現(xiàn)象,信號處理后波形平滑,無相位失真與信號損失。為了更加精確地表示去噪結(jié)果,可以計算去噪后信號的信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)。設(shè)原始信號為x(n),去噪后的信號為x′(n),則信噪比定義為SΝR=10lg[∑nx2(n)∑n[x(n)-x′(n)]2](7)原始信號和去噪信號的均方根誤差定義為RΜSE=√1n∑n[x(n)-x′(n)]2(8