2021年新人教版八年級下數(shù)學(xué)第17章勾股定理單元測試卷（2）

學(xué)校：班級：姓名：考號：

一、選擇題（本題共計10小題，每題3分，共計30分，）

1.分別以下列各組數(shù)作為三角形的三邊長，其中不能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,1,V2B.12,16,20C.l,%|D.2,3,4

2.下列長度的各組線段能構(gòu)成勾股數(shù)的是（）

A.0.7,0.24,0.25B.6,8,10

34

C.7,8,10D.1,/2

3.如圖，菱形4BCD的兩條對角線相交于點0,若AC=6,BD=4,則菱形ABCD的周

長是（）

A.24B.16C.4V13D.2V13

4.將長方形ABCD沿EF折疊,使頂點C恰好落在AB邊的中點C'上.若力B=6,BC=9,

則BF的長為（）

C.4.5D.5

5.下列說法不正確的是（）

A.命題有真命題，也有假命題

B.要說明一個命題是假命題，只要舉出反例即可

C.一個定理的逆命題是原定理的逆定理

D.要說明一個命題是真命題，需要進行證明

6.勾股定理是"人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一"，我國對勾股定理得證明是由漢代的

趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，他用來證明勾股定理得圖案被稱為"趙爽弦

圖”.2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會選它作為會徽.下列圖案中是"趙爽弦圖”的是（）

oo

A.——

7.如圖，有一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一個蘆葦4B生長在它的中央,

高出水面部分BC為1尺.如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)?/p>

頂部B恰好碰到岸邊的B'.則這根蘆葦?shù)拈L度是（）

A.10尺B.11RC.12尺D.13R

8.下列是勾股數(shù)的是（）

A.7,8,9B.5,7,12C.13,15,17D.21,28,35

9.下列四組數(shù)據(jù)中，能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.1,2,3B.0.7,2.4,2.5C.-,-D.V3,V4,V5

345

10."趙爽弦圖"巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所

示的"趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形.設(shè)

直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b.若ab=8,大正方形的面積為25,

則小正方形的邊長為（）

二、填空題（本題共計6小題，每題3分，共計18分，）

11.寫出一組你喜歡的勾股數(shù)：.

12.如圖，一棵大樹在一次強臺風(fēng)中于離地面3m處折斷倒下，樹干頂部在距離根部4m

試卷第2頁，總19頁

處，這棵大樹在折斷前的高度為m.

13.八年級（1）班的學(xué)生準備測量校園人工湖的深度，如圖，他們把一根竹竿4B豎直插

到水底，此時竹竿AB離岸邊點C處的距離CD=0.8米.竹竿高出水面的部分40長0.2米,

如果竹竿的底端固定不動，把竹竿的頂端A拉向岸邊點C處，竿頂和岸邊的水面剛好相

14.命題"同位角相等"的逆命題是

15.如圖，一架137n長的梯子ZB斜靠在一豎直的墻4c上，這時4c為12nl.如果梯子的

頂端4沿墻下滑7m,那么梯子底端B向外移m.

16."四邊形是多邊形"，這個命題的逆命題是，這個逆命題是命題

（填"真"或"假"）.

三、解答題（本題共計9小題，每題8分，共計72分，）

17.如圖，分別以△ABC的三邊為直徑作三個半圓，面積分別為Si，S2,S3,S1+S2=

S3,求證：乙4cB=90。.

18.觀察下表:

43532+42=52

681062+82=102

8151782+152=172

102426102+242=262

??????...

60Xy602+x2=y2

...

（1）結(jié)合該表格及相關(guān)知識，求》,y：

（2）猜想第n行的三個數(shù)（用含n的式子表示），并證明它們是一組勾股數(shù).

19.在一次消防演習(xí)中，消防員架起一架25米長的云梯，如圖斜靠在一面墻上，梯子

底端離墻7米.

（1）求這個梯子的頂端距地面有多高？

（2）如果消防員接到命令，要求梯子的頂端下降4米（云梯長度不變），那么云梯的底部

在水平方向應(yīng)滑動多少米？

20.在甲村至乙村的公路有一條公路.在C處需要爆破.已知點C與公路上的?？空?的

距離為300米，與公路上的另一?？空綛的距離為400米，且CAJ.CB,如圖所示.為

了安全起見，爆破點C周圍半徑250米范圍內(nèi)不得進入，問：在進行爆破時，公路4B段

是否有危險？是否需要暫時封鎖？請用你學(xué)過的知識加以解答.

試卷第4頁，總19頁

21.寫出下列命題的逆命題，判斷它們的真假，并證明.

（1）若a?-b3,則a-b；

（2）若Na+邛=180。，則4a與N0至少有一個是鈍角.

22.如圖，己知EF1BC,zl=A.C,42+43=180。.試說明直線40與BC垂直.（請在

下面的解答過程的空格內(nèi)填空或在括號內(nèi)填寫理由）.

理由：

zl=4C,（己知）

//-（）

z2=.（）

又；N2+23=180。，（已知）

Z3+=180。，（等量代換）

_________//-（）

AADC=AEFC.（）

EF1BC,（已知）

/.EFC=90",

^ADC=90°,

1.

23.如圖，四邊形4BCD是。。的內(nèi)接四邊形，ABAD=60°,AB^AD,連接BD,延

長BC到點F,連接DF,使CF=DF,過點。作。。的切線，交BF于點E.

(1)求證：DE//AB-,

(2)連接AC,若AC=7,求8F的長.

24.勾股定理是數(shù)學(xué)中最常見的定理之一，熟練地掌握勾股數(shù)，對迅速判斷，解答題目

有很大幫助，觀察下列幾組勾股數(shù):

abc

13=1+24=2x1x25=2x2+1

25=2+312=2x2x313=4x3+1

37=3+424=2x3x425=6x4+1

49=4+540=2x4x541=8x5+1

????????????

na=_______b=_______c=_______

(1)你能找出它們的規(guī)律嗎？(填在上面的橫線上)

(2)你能發(fā)現(xiàn)a,b,c之間的關(guān)系嗎？

(3)你能用以上結(jié)論解決下題嗎？

20192+20202x10092-(2020x1009+I)2

25.如圖，數(shù)軸上，點力，B表示的數(shù)分別為a,b,點P為負半軸上任意一點,它表示的

數(shù)為工.

--?P----?A----01--B?---------?

-201

(1)計算3產(chǎn)的值；

(2)在a,b,X中，其中一個數(shù)是另兩個數(shù)的平均數(shù)，求x的值；

(3)嘉琪認為：當(dāng)一2<%<0時，PO+PA<AB,則以P。，PA,AB的長為邊長不能

構(gòu)成三角形.若以PO,PA,4B的長為邊長能構(gòu)成三角形，請直接寫出x的取值范圍.

試卷第6頁，總19頁

參考答案與試題解析

2021年新人教版八年級下數(shù)學(xué)第17章勾股定理單元測試卷(2)

一、選擇題(本題共計10小題，每題3分，共計30分)

1.

【答案】

D

【考點】

勾股定理的逆定理

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：4仔+12=(a)2,能組成直角三角形，故此選項錯誤；

B.122+162=202,能組成直角三角形，故此選項錯誤；

C.12+6)2=(|)2能組成直角三角形，故此選項錯誤：

D.22+32^42,不能組成直角三角形，故此選項正確；

故選D.

2.

【答案】

B

【考點】

勾股數(shù)

【解析】

欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否

等于最長邊的平方.

【解答】

解：4、0.72+0.242=0.252,但不是正整數(shù)，故錯誤;

B、62+82=102,能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故正確；

C、72+82彳102,三邊是整數(shù)，不能構(gòu)成直角三角形，故錯誤；

。、(|)2+(52#22,不是正整數(shù)，不能構(gòu)成直角三角形，故錯誤?

故選B.

3.

【答案】

C

【考點】

勾股定理

菱形的性質(zhì)

【解析】

根據(jù)菱形對角線互相垂直平分的性質(zhì)，可以求得BO=。。，AO=OC,在中，

根據(jù)勾股定理可以求得AB的長，即可求得菱形力BCD的周長.

【解答】

解：?；菱形對角線互相垂直平分，

BO=OD=2,AO=OC=3,

AB=V224-32=V13,

菱形的周長為4m.

故選C.

4.

【答案】

A

【考點】

勾股定理的應(yīng)用

翻折變換(折疊問題)

勾股定理的綜合與創(chuàng)新

【解析】

先求出BC',再由圖形折疊特性知，C'F=CF=BC-BF=9-BF,在RtZkC'BF中,

運用勾股定理BF2+BC'2=C’/2求解.

【解答】

解：；點C'是4B邊的中點，AB=6,

BC'=3,

由圖形折疊特性知，

C'F=CF=BC-BF=9-BF,

在RtAC'BF中,BF2+BC'2=C'F2,

：.+9=(9-BF)2,

解得BF=4,

故選a.

5.

【答案】

C

【考點】

定義、命題、定理、推論的概念

真命題，假命題

原命題與逆命題、原定理與逆定理

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：4、B、D說法正確；

一個定理不一定有逆定理，但是會有逆命題，所以C說法錯誤.

故選C.

6.

【答案】

B

【考點】

勾股定理的證明

【解析】

"趙爽弦圖"的周圍是四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個大正方形，觀

察圖形可得出答案.

試卷第8頁，總19頁

【解答】

解:："趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個大正方形

只有B符合

故答案為：B

7.

【答案】

D

【考點】

勾股定理的應(yīng)用

【解析】

此題暫無解析

【解答】

此題暫無解答

8.

【答案】

D

【考點】

勾股數(shù)

【解析】

欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否

等于最長邊的平方.

【解答】

解：4、???72+82=105力92,此選項不符合題意；

B、；52+72=74片122,此選項不符合題意；

C、???132+152=3940172,此選項不符合題意；

D,-：212+282=1225=352,二此選項不符合題意.

故選：D.

9.

【答案】

B

【考點】

勾股定理的逆定理

【解析】

根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是

直角三角形判定則可.如果有這種關(guān)系，這個就是直角三角形.

【解答】

解：A,V12+22^32,該三角形不是直角三角形，故錯誤；

B,-：0.72+2.42=2.52,該三角形是直角三角形，故正確；

C，(i)2+(i)2*(i)2,A該三角形不是直角三角形,故錯誤；

D,???(V3)2+(V4)2(V5)2,A該三角形不是直角三角形，故錯誤.

故選B.

10.

【答案】

D

【考點】

勾股定理

【解析】

由題意可知：中間小正方形的邊長為：a-b,根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)

即可求出小正方形的邊長.

【解答】

解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：a-b,

每一個直角三角形的面積為：=：x8=4,

4x—ab+(a—b)?=25,

(a—b)2=25—16=9,

a—b=3.

故選D.

二、填空題(本題共計6小題，每題3分，共計18分)

11.

【答案】

12,16,20

【考點】

勾股數(shù)

【解析】

根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足。2+人2=02的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即可寫出一組勾股

數(shù).

【解答】

解：：122+162=202,且12,16,20都是正整數(shù)，

.1?一組勾股數(shù)可以是12,16,20.

故答案為12,16,20.

12.

【答案】

8

【考點】

勾股定理的應(yīng)用

【解析】

利用勾股定理直接解答即可.

【解答】

解：由勾股定理得，斷下的部分為歷中=5m,

3+5=8m,

所以大樹高為8zn.

故答案為：8.

13.

【答案】

1.5米

【考點】

勾股定理的綜合與創(chuàng)新

【解析】

利用勾股定理在RtADBC中，BD2+DC2=BC2,HPx2+0.82=(x+0.2)2,可得解.

【解答】

解：設(shè)=則4B=BC=x+02

試卷第10頁，總19頁

在RMDBC中，BD2+DC2=BC2,

即/+0.82=(x+0.2)2,

解得x=1.5.

故答案為：1.5米.

14.

【答案】

相等的角是同位角

【考點】

原命題與逆命題、原定理與逆定理

【解析】

“同位角相等"的題設(shè)為兩個角為同位角，結(jié)論為這兩個角相等，然后交換題設(shè)與結(jié)論

即可得到原命題的逆命題.

【解答】

解："同位角相等"的題設(shè)為兩個角為同位角，結(jié)論為這兩個角相等，

所以"同位角相等”的逆命題為：相等的兩個角為同位角.

故答案為：相等的角為同位角.

15.

【答案】

7

【考點】

勾股定理的綜合與創(chuàng)新

勾股定理的應(yīng)用

勾股定理

【解析】

【解答】

解：???Z.ACB=90",AB=13,AC=12,

BC=ylAB2-AC2=5.

AE=7,

：.CE=12-7=5,

CD=y/DE2-CE2=12,

BD=CD-BC=7,即梯子底端B向外移7m.

故答案為：7.

16.

【答案】

多邊形是四邊形，假

【考點】

命題與定理

真命題，假命題

原命題與逆命題、原定理與逆定理

【解析】

根據(jù)互逆命題的概念得到逆命題，根據(jù)題意判斷即可.

【解答】

解："四邊形是多邊形"，

這個命題的逆命題是多邊形是四邊形，

這個逆命題是假命題，

因為多邊形不只有四邊形，所以逆命題為假.

故答案為：多邊形是四邊形；假.

三、解答題(本題共計9小題，每題8分，共計72分)

17.

【答案】

證明：；S1+S2=S3，=-7T(-/lC)2=~TCAC2,

228

1r1r

S=-TTBC2,S=-TTAB2,

2883

-nAC2+-7TBC2=-TTAB2,

888

即4c2+8。2=AB2,

/-ACB=90".

【考點】

圓的有關(guān)概念

勾股定理的逆定理

【解析】

由S1+S2=S3,根據(jù)圓的面積公式得出;五4。2+之7rBe2=/4/，即4c2+"2=

ooo

AB2,根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明乙4cB=90°.

【解答】

證明：丫S[+S2=S3，Sj=-7T(^i4C)2=-TTAC2,

228

S=-rtBC2,S=-TIAB2,

2883

-nAC2+-nBC2=-nAB2,

888

即4c2+BC2=AB2,

：.乙4cB=90°.

18.

【答案】

解：(1)根據(jù)題意得：y=x+2,602+x2—y2-,

：.602+x2=(x+2)2；

解得：x=899,

y=901；

(2)猜想：(2n+2)2+(n2+2n)2=(n2+2n+2)2；理由如下:

(2n+2)2+(n2+2n)2=(2n+2)2+n4+4n3+4n2=(2n+2)2+n4+2n2(2n+

2)=(n2+2n+2)2,

2n+2,n2+2n,M+2n+2是一組勾股數(shù).

【考點】

勾股數(shù)

【解析】

222

(1)根據(jù)題意得：y=x+2,60+x=y;得出方程，解方程即可；

(2)由完全平方公式即可得出結(jié)果.

【解答】

試卷第12頁，總19頁

解：(1)根據(jù)題意得：y=x+2,602+x2=y2；

602+爐=,+2)2；

解得：x=899,

y=901；

(2)猜想：(2n+2)2+(n2+2n)2=(n2+2n+2)2；理由如下：

(2n+2)2+(n2+2n)2=(2n+2)2+n4+4n3+4n2=(2n+2)z+n4+2n2(2n+

2)=(n2+2n+2)2,

2n+2,n2+2n,1+2n+2是一組勾股數(shù).

19.

【答案】

解：(1)在RtAABC中，AB=25,BC=7,

所以梯子頂端到地面的距離AC=V252-72=24,

所以梯子頂端到地面的距離為24米.

(2)根據(jù)題意可得4D=4,DC=24-4=20,DE=25,

所以CE=V252-202=15,

所以BE=15-7=8,所以，梯子底部在水平方向應(yīng)滑動8米.

【考點】

勾股定理的應(yīng)用

【解析】

由于墻地垂直所以根據(jù)勾股定理解題即可.

【解答】

解：⑴在ABC中，AB=25,BC=7,

所以梯子頂端到地面的距離AC=V252-72=24,

所以梯子頂端到地面的距離為24米.

(2)根據(jù)題意可得40=4,DC=24-4=20,DE=25,

所以CE=,252-202=15,

所以BE=15-7=8,所以，梯子底部在水平方向應(yīng)滑動8米.

20.

【答案】

解：如圖，過C作CD14B于。，

BC=400米，4c=300米，^ACB=90°,

.1?根據(jù)勾股定理得4B=500米，

-AB-CD=-BC-AC,

22

：.CD=240米.

???240米＜250米，故有危險，

因此4B段公路需要暫時封鎖.

DB

【考點】

勾股定理的應(yīng)用

勾股定理的綜合與創(chuàng)新

【解析】

如圖，本題需要判斷點C到AB的距離是否小于250米，如果小于則有危險，大于則沒有

危險.因此過C作CD14B于D,然后根據(jù)勾股定理在直角三角形4BC中即可求出4B的

長度，然后利用三角形的公式即可求出CD,然后和250米比較大小即可判斷需要暫時

封鎖.

【解答】

解：如圖，過C作CD14B于D,

BC=400米,4c=300米,乙4cB=90°,

???根據(jù)勾股定理得AB=500米，

■1--2AB-CD2=-BC-AC,

：.CD=240米.

240米＜250米，故有危險，

因此4B段公路需要暫時封鎖.

21.

【答案】

解：（1）逆命題是：“若a=b,則。3=匕3，，，是真命題.

證明如下：：a=b（已知），

二.a-a=b-b,

即a?=匕2（等式性質(zhì)）.

a2-a=b2-b,

即a3=/（等式性質(zhì)）.

（2）逆命題是："若Na與N0至少有一個是鈍角，則4a+4￡=180。"，是假命題.

證明如下：

設(shè)4a—100",邛—60°,

則Na+/￡=160°*180°,

該命題是假命題.

【考點】

原命題與逆命題、原定理與逆定理

等式的性質(zhì)

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：（1）逆命題是："若a=b,則a3=/",是真命題.

證明如下：a=b（已知），

a-a=b-b,

試卷第14頁，總19頁

即。2=匕2（等式性質(zhì)）.

a2-a=b2-b,

即a3=廬（等式性質(zhì)）.

（2）逆命題是：“若Na與二夕至少有一個是鈍角，則Na+40=180。"，是假命題.

證明如下：

設(shè)z_a=100°.乙B=60°,

則4a+40=160°=180°,

該命題是假命題.

22.

【答案】

解：41=4C,（已知）

DG//AC,（同位角相等，兩直線平行）

N2=NZME.（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

又；42+△3=180°,（已知）

?<?N3+N/ME=180。，（等量代換）

AD//EF,（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）

乙ADC=4EFC.（兩直線平行，同位角相等）

EF1BC,（已知）

/.EFC=90",

^ADC=90°,

AD1BC.

【考點】

平行線的性質(zhì)

平行線的判定

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：=Zl=4C,（已知）

DG//AC,（同位角相等，兩直線平行）

（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

又：z2+Z3=180°,（己知）

43+4ZME=180°,（等量代換）

AD//EF,（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）

乙4CC=4EFC.（兩直線平行，同位角相等）

???EF1BC,（已知）

/.EFC=90°,

AADC=90°,

AD1BC.

23.

【答案】

（1）證明：連接。。并延長，交AB于H,如圖,

匕BAD=60°?AB=ADf

??.AABD為等邊三角形,

DH1AB.

*/DE是。。的切線，

DH1DE,

???DE//AB.

(2)解：?「四邊形4BCD是O。的內(nèi)接四邊形，48/0=60。,

???乙BCD=120°,

/.乙DCF=60°.

,/CF=DF,

.??/為等邊三角形，

???CD=DF,4CDF=60°.

■「Z.ADB=60°,

乙CDF=乙ADB,

Z.CDF+Z.BDC=/.ADB+Z.BDC,

即N4DC=乙BDF.

在A/IOC和ABC尸中，

DA=DB,

/.ADC=乙BDF,

CD=DF,

：.AADC三△BDF(SAS),

BF=AC=7.

【考點】

切線的判定與性質(zhì)

等邊三角形的判定

平行線的判定

全等三角形的性質(zhì)與判定

【解析】

無

無

【解答】

(1)證明：連接。。并延長，交4B于“，如圖,

試卷第16頁，總19頁

.?.△4B0為等邊三角形，

DH1AB.

VDE是O。的切線，

/.DH1DE,

???DE//AB.

(2)解：???四邊形4BC。是。0的內(nèi)接四邊形，Z.BAD=60°,

/.乙BCD=120°,

/."CF=60°.

,/CF=DF,

△CDF為等邊三角形，

CD=DF,Z,CDF=60°.

?/^ADB=60°,

4CDF=乙ADB,

/.4CDF+Z.BDC=^.ADB+乙BDC,

即44DC=乙BDF.

在△40C和4BO/中，

DA=DB,

/.ADC=乙BDF,

CD=DF,

LADC=LBDF^SAS),

???BF=AC=7.

24.

【答案】

2n+l,2n(n+1),2九(九+1)+1

(2)a2+b2=c2,

理由如下：

a=2n+1,b=2n(n+1),c=2n(n+1)+1,

a24-62=(2n+l)2+[2n(n+l)]2=[2n(n+l)]2+4n(n+1)+1,

c2=[2n(n+1)+l]2=[2n(n+l)]2+4n(n+1)+1,

a2+b2=c2.

(3)當(dāng)2n+1=2019時，n=1009,

.??當(dāng)九=1009時，a2=20192,

b2=[2n(n+l)]2=20202x10092,

c2=[2n(n+1)4-l]2=(2020X1009+l)2,

,/a24-62=c2,

???20192+20202x10092-(2020x1009+l)2=0.

【考點】

勾股定理的綜合與創(chuàng)新

規(guī)律型：數(shù)字的變化類

勾股數(shù)

【解析】

(1)直接表示a,b,c即可；

(2)分別計算三邊的平方，可知：a2+b2=c2；

(3)a是奇數(shù)表示形式，所