2020中考數(shù)學重點/難點/熱點中點坐標公式如圖1，在平面直角坐標系中，若點，，且為線段中點，則點坐標為.圖1圖2證明如下：如圖2，分別過點A，C作y軸平行線，過點B作x軸平行線，分別交于點D和點E，則由圖可得：，即，解得，故點的坐標為，可巧記為“中點對應平均數(shù)”.一、平行四邊形四頂點的坐標關系如圖3，在平行四邊形ABCD中，有，即相對兩頂點的橫縱坐標之和相等；或者也可記為，即對邊兩頂點之間的水平距離與垂直距離分別相等； 圖3證明：如圖4，因為M點既是AC中點，也是BD中點，由中點坐標公式可得：，，故有成立，圖4利用此關系可以在二次函數(shù)解答題中進行相關點坐標求解.二、平行四邊形點的存在性問題解法第一步：寫出或設出三個頂點的坐標；第二步：以“哪兩個頂點相對”為分類標準，分三類討論，利用上述模型，求出第四個頂點的坐標；第三步：將第四個頂點坐標代入相應的函數(shù)關系式即可。【例題1】（貴陽中考）如圖，經(jīng)過點C（0，﹣4）的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A（﹣2，0），B兩點．（1）a0，b2﹣4ac0（填“＞”或“＜”）；（2）若該拋物線關于直線x＝2對稱，求拋物線的函數(shù)表達式；（3）在（2）的條件下，連接AC，E是拋物線上一動點，過點E作AC的平行線交x軸于點F．是否存在這樣的點E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點所組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由．【例題2】已知如圖，矩形OABC的長OA＝，寬OC＝1，將△AOC沿AC翻折得△APC．（1）求∠PCB的度數(shù)；（2）若P，A兩點在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，求b，c的值，并說明點C在此拋物線上；（3）（2）中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點D，與x軸相交于另外一點E，若點M是x軸上的點，N是y軸上的點，以點E、M、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求點M、N的坐標．【例題3】（2020?河南模擬）如圖，直線y＝﹣2x+12與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y＝3ax2+10x+3c經(jīng)過B，C兩點，與x軸交于另一點A，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，過E作EF∥y軸交x軸于點F，交直線BC于點M．（1）求拋物線的解析式；（2）求線段EM的最大值；（3）在（2）的條件下，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P，Q，A，M為頂點的四邊形為平行四邊形？如果存在，請直接寫出P點坐標；如果不存在，請說明理由．【例題4】如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+5的圖象與坐標軸交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y＝的圖象交于M，N兩點，過點M作MC⊥y軸于點C，且CM＝1，過點N作ND⊥x軸于點D，且DN＝1．已知點P是x軸（除原點O外）上一點．（1）直接寫出M、N的坐標及k的值；（2）將線段CP繞點P按順時針或逆時針旋轉90°得到線段PQ，當點P滑動時，點Q能否在反比例函數(shù)的圖象上？如果能，求出所有的點Q的坐標；如果不能，請說明理由；（3）當點P滑動時，是否存在反比例函數(shù)圖象（第一象限的一支）上的點S，使得以P、S、M、N四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點S的坐標；若不存在，請說明理由．【例題5】（2020?安陽模擬）如圖，直線y＝x﹣4與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，與x軸的另一交點為C，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點M在拋物線上，連接MB，當∠MBA+∠CBO＝45°時，求點M的橫坐標；（3）點P從點C出發(fā)，沿線段CA由C向A運動，同時點Q從點B出發(fā)沿線段BC由B向C運動，P，Q的運動速度都是每秒1個單位長度，當Q點到達C點時，P，Q同時停止運動，問在坐標平面內是否存在點D，使P，Q運動過程中的某些時刻t，以C，D，P，Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，說明理由．1．如圖1，二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象過點A（﹣1，3），頂點B的橫坐標為1．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）點P在該二次函數(shù)的圖象上，點Q在x軸上，若以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標；2．如圖1，已知直線y＝2x分別與雙曲線y＝，y＝交于第一象限內P，Q兩點，且OQ＝PQ．（1）則P點坐標是；k＝．（2）如圖2，若點A是雙曲線y＝在第一象限圖象上的動點，AB∥x軸，AC∥y軸，分別交雙曲線y＝于點B，C；①連接BC，請你探索在點A運動過程中，△ABC的面積是否變化，若不變，請求出△ABC的面積；若改變，請說明理由；②若點D是直線y＝2x上的一點，請你進一步探索在點A運動過程中，以點A，B，C，D為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時點A的坐標；若不能，請說明理由．3．如圖，平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝﹣在第二象限內的圖象相交于點A，與x軸的負半軸交于點B，與y軸的負半軸交于點C．（1）求∠BCO的度數(shù)；（2）若y軸上一點M的縱坐標是4，且AM＝BM，求點A的坐標；（3）在（2）的條件下，若點P在y軸上，點Q是平面直角坐標系中的一點，當以點A、M、P、Q為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點Q的坐標．5．已知拋物線經(jīng)過點A（2，0），設頂點為P，與X軸的另一交點B．（1）求b的值和點P、點B的坐標；（2）在直線上是否存在點D，使四邊形OPBD為平行四邊形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），將該拋物線位于x軸上方曲線記作M，將該拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后所得曲線記作N，曲線N交y軸于點C，連接AC、BC．（1）求曲線N所在拋物線相應的函數(shù)表達式；（2）求△ABC外接圓的半徑；（3）點P為曲線M或曲線N上的一動點，點Q為x軸上的一個動點，若以點B，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點Q的坐標．6．（2020?山西模擬）綜合與探究．如圖1，拋物線y＝x2﹣x﹣2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線交y軸于點E（0，2）．（1）求A，B，C三點的坐標及直線BE的解析式．（2）如圖2，過點A作BE的平行線交拋物線于點D，點P是拋物線上位于線段AD下方的一個動點，連接PA，PD，求OAPD面積的最大值．（3）若（2）中的點P為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使得以A，D，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．7．如圖，拋物線與x軸交于點A（﹣5，0）和點B（3，0）．與y軸交于點C（0，5）．有一寬度為1，長度足夠的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和Q，交直線AC于點M和N．交x軸于點E和F．（1）求拋物線的解析式；（2）當點M和N都在線段AC上時，連接MF，如果sin∠AMF＝，求點Q的坐標；（3）在矩形的平移過程中，當以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點M的坐標．8．（2017春?亭湖區(qū)校級期中）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝x+1交于A、B兩點，其中點A在y軸上，點B的橫坐標是4，P為拋物線上一動點，過點P作PC⊥AB，垂足為點C，設點P的橫坐標為m．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P在直線AB上方的拋物線上，用含m的代數(shù)式表示線段PC的長，并求出線段PC的最大值及此時點P的坐標；（3）若P是拋物線上任意一點，且滿足0°＜∠PAB≤45°，請直接寫出：①點P的橫坐標m的取值范圍；②縱坐標為整數(shù)的點P為“巧點”，求“巧點”的個數(shù)．【參考答案】【例題1】（貴陽中考）如圖，經(jīng)過點C（0，﹣4）的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A（﹣2，0），B兩點．（1）a＞0，b2﹣4ac＞0（填“＞”或“＜”）；（2）若該拋物線關于直線x＝2對稱，求拋物線的函數(shù)表達式；（3）在（2）的條件下，連接AC，E是拋物線上一動點，過點E作AC的平行線交x軸于點F．是否存在這樣的點E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點所組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）a＞0，b2﹣4ac＞0；（2）∵直線x＝2是對稱軸，A（﹣2，0），∴B（6，0），∵點C（0，﹣4），將A，B，C的坐標分別代入y＝ax2+bx+c，解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣4，∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2﹣x﹣4；（3）存在，理由為：（i）假設存在點E使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點所組成的四邊形是平行四邊形，過點C作CE∥x軸，交拋物線于點E，過點E作EF∥AC，交x軸于點F，如圖1所示，則四邊形ACEF即為滿足條件的平行四邊形，∵拋物線y＝x2﹣x﹣4關于直線x＝2對稱，∴由拋物線的對稱性可知，E點的橫坐標為4，又∵OC＝4，∴E的縱坐標為﹣4，∴存在點E（4，﹣4）；（ii）假設在拋物線上還存在點E′，使得以A，C，F(xiàn)′，E′為頂點所組成的四邊形是平行四邊形，過點E′作E′F′∥AC交x軸于點F′，則四邊形ACF′E′即為滿足條件的平行四邊形，∴AC＝E′F′，AC∥E′F′，如圖2，過點E′作E′G⊥x軸于點G，∵AC∥E′F′，∴∠CAO＝∠E′F′G，又∵∠COA＝∠E′GF′＝90°，AC＝E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，∴E′G＝CO＝4，∴點E′的縱坐標是4，∴4＝x2﹣x﹣4，解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴點E′的坐標為（2+2，4），同理可得點E″的坐標為（2﹣2，4），綜上，點E的坐標為（4，﹣4），（2+2，4），（2﹣2，4）．【例題2】已知如圖，矩形OABC的長OA＝，寬OC＝1，將△AOC沿AC翻折得△APC．（1）求∠PCB的度數(shù)；（2）若P，A兩點在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，求b，c的值，并說明點C在此拋物線上；（3）（2）中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點D，與x軸相交于另外一點E，若點M是x軸上的點，N是y軸上的點，以點E、M、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求點M、N的坐標．【解析】（1）在Rt△OAC中，OA＝，OC＝1，則∠OAC＝30°，∠OCA＝60°；根據(jù)折疊的性質知：OA＝AP＝，∠ACO＝∠ACP＝60°；∵∠BCA＝∠OAC＝30°，且∠ACP＝60°，∴∠PCB＝30°．（2）過P作PQ⊥OA于Q；Rt△PAQ中，∠PAQ＝60°，AP＝；∴OQ＝AQ＝，PQ＝，所以P（，）；將P、A代入拋物線的解析式中，得：，解得；即y＝﹣x2+x+1；當x＝0時，y＝1，故C（0，1）在拋物線的圖象上．（3）①若DE是平行四邊形的對角線，點C在y軸上，CD平行x軸，∴過點D作DM∥CE交x軸于M，則四邊形EMDC為平行四邊形，把y＝1代入拋物線解析式得點D的坐標為（，1）把y＝0代入拋物線解析式得點E的坐標為（﹣，0）∴M（，0）；N點即為C點，坐標是（0，1）；②若DE是平行四邊形的邊，過點A作AN∥DE交y軸于N，四邊形DANE是平行四邊形，∴DE＝AN＝＝＝2，∵tan∠EAN＝，∴∠EAN＝30°，∵∠DEA＝∠EAN，∴∠DEA＝30°，∴M（，0），N（0，﹣1）；同理過點C作CM∥DE交y軸于N，四邊形CMDE是平行四邊形，∴M（﹣，0），N（0，1）．【例題3】（2020?河南模擬）如圖，直線y＝﹣2x+12與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y＝3ax2+10x+3c經(jīng)過B，C兩點，與x軸交于另一點A，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，過E作EF∥y軸交x軸于點F，交直線BC于點M．（1）求拋物線的解析式；（2）求線段EM的最大值；（3）在（2）的條件下，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P，Q，A，M為頂點的四邊形為平行四邊形？如果存在，請直接寫出P點坐標；如果不存在，請說明理由．【解析】（1）直線y＝﹣2x+12與x軸交于點C，與y軸交于點B，則點C、B的坐標分別為：（6，0）、（0，12），拋物線y＝3ax2+10x+3c經(jīng)過B，C兩點，則3c＝12，故拋物線的表達式為：y＝3ax2+10x+12，將點C的坐標代入上式并解得：a＝﹣，故拋物線的表達式為：y＝﹣2x2+10x+12；（2）設點E（x，﹣2x2+10x+12），則點M（x，﹣2x+12），EM＝（﹣2x2+10x+12）﹣（﹣2x+12）＝﹣2x2+12x，∵﹣2＜0，故EM有最大值，最大值為18，此時x＝3；（3）y＝﹣2x2+10x+12，令y＝0，則x＝﹣1或6，故點A（﹣1，0），由（2）知，x＝3，則點M（3，6），設點P的橫坐標為：m，點Q的坐標為：（，s），①當AM是邊時，當點A向右平移4個單位向上平移6個單位得到點M，同樣，點P（Q）向右平移4個單位向上平移6個單位得到點得到點Q（P），即m±4＝，解得：m＝﹣或，故點P（﹣，﹣）或（，﹣）；②當AM是對角線時，由中點公式得：﹣1+2＝m+，解得：m＝﹣，故點P（﹣，）；綜上，點P的坐標為：（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，）．【例題4】如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+5的圖象與坐標軸交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y＝的圖象交于M，N兩點，過點M作MC⊥y軸于點C，且CM＝1，過點N作ND⊥x軸于點D，且DN＝1．已知點P是x軸（除原點O外）上一點．（1）直接寫出M、N的坐標及k的值；（2）將線段CP繞點P按順時針或逆時針旋轉90°得到線段PQ，當點P滑動時，點Q能否在反比例函數(shù)的圖象上？如果能，求出所有的點Q的坐標；如果不能，請說明理由；（3）當點P滑動時，是否存在反比例函數(shù)圖象（第一象限的一支）上的點S，使得以P、S、M、N四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點S的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由題意M（1，4），n（4，1），∵點M在y＝上，∴k＝4；（2）當點P滑動時，點Q能在反比例函數(shù)的圖象上；如圖1，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，過Q作QH⊥x軸于H，易得：△COP≌△PHQ，∴CO＝PH，OP＝QH，由（2）知：反比例函數(shù)的解析式：y＝；當x＝1時，y＝4，∴M（1，4），∴OC＝PH＝4，設P（x，0），∴Q（x+4，x），當點Q落在反比例函數(shù)的圖象上時，x（x+4）＝4，x2+4x+4＝8，x＝﹣2±2，當x＝﹣2+2時，x+4＝2+2，如圖1，Q（2+2，﹣2+2）；當x＝﹣2﹣2時，x+4＝2﹣2，如圖2，Q（2﹣2，﹣2﹣2）；如圖3，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，設P（x，0）過P作GH∥y軸，過C作CG⊥GH，過Q作QH⊥GH，易得：△CPG≌△PQH，∴PG＝QH＝4，CG＝PH＝x，∴Q（x﹣4，﹣x），同理得：﹣x（x﹣4）＝4，解得：x1＝x2＝2，∴Q（﹣2，﹣2），綜上所述，點Q的坐標為（2+2，﹣2+2）或（2﹣2，﹣2﹣2）或（﹣2，﹣2）．（3）當MN為平行四邊形對角線時，根據(jù)MN的中點的縱坐標為，可得點S的縱坐標為5，即S（，5）；當MN為平行四邊形的邊時，易知點S的縱坐標為3，即S（，3）；故點S坐標為（，5）或（，3）．【例題5】（2020?安陽模擬）如圖，直線y＝x﹣4與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，與x軸的另一交點為C，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點M在拋物線上，連接MB，當∠MBA+∠CBO＝45°時，求點M的橫坐標；（3）點P從點C出發(fā)，沿線段CA由C向A運動，同時點Q從點B出發(fā)沿線段BC由B向C運動，P，Q的運動速度都是每秒1個單位長度，當Q點到達C點時，P，Q同時停止運動，問在坐標平面內是否存在點D，使P，Q運動過程中的某些時刻t，以C，D，P，Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）直線解析式y(tǒng)＝x﹣4，令x＝0，得y＝﹣4；令y＝0，得x＝4．∴A（4，0）、B（0，﹣4）．∵點A、B在拋物線y＝x2+bx+c上，∴，解得，∴拋物線解析式為：y＝x2﹣x﹣4．（2）設M（x，y），令y＝x2﹣x﹣4＝0，解得：x＝﹣3或x＝4，∴C（﹣3，0）．①當BM⊥BC時，如答圖2﹣1所示．∵∠ABO＝45°，∴∠MBA+∠CBO＝45°，故點M滿足條件．過點M1作M1E⊥y軸于點E，則M1E＝x，OE＝﹣y，∴BE＝4+y．∵tan∠M1BE＝tan∠BCO＝，∴，∴直線BM1的解析式為：y＝x﹣4，∴∴（舍去），∴點M1的坐標（，﹣）②當BM與BC關于y軸對稱時，如答圖2﹣2所示．∵∠ABO＝∠MBA+∠MBO＝45°，∠MBO＝∠CBO，∴∠MBA+∠CBO＝45°，故點M滿足條件．過點M2作M2E⊥y軸于點E，則M2E＝x，OE＝y(tǒng)，∴BE＝4+y．∵tan∠M2BE＝tan∠CBO＝，∴，∴直線BM2的解析式為：y＝x﹣4，∴∴（舍去），∴點M2的坐標（5，），綜上所述：點M的橫坐標為：或5；（3）設∠BCO＝θ，則tanθ＝，sinθ＝，cosθ＝．假設存在滿足條件的點D，設菱形的對角線交于點E，設運動時間為t．①若以CQ為菱形對角線，如答圖3﹣1．此時BQ＝t，菱形邊長＝t．∴CE＝CQ＝（5﹣t）．在Rt△PCE中，cosθ＝＝＝，解得t＝．②若以PQ為菱形對角線，如答圖3﹣2．此時BQ＝t，菱形邊長＝t．∵BQ＝CQ＝t，∴t＝，③若以CP為菱形對角線，如答圖3﹣3．此時BQ＝t，菱形邊長＝5﹣t．在Rt△CEQ中，cosθ＝＝＝，解得t＝．綜上所述，當t＝或或時，以C，D，P，Q為頂點的四邊形為菱形．1．（2016?揚州）如圖1，二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象過點A（﹣1，3），頂點B的橫坐標為1．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）點P在該二次函數(shù)的圖象上，點Q在x軸上，若以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標；【解析】（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象過點A（﹣1，3），頂點B的橫坐標為1，則有解得，∴二次函數(shù)y＝x2﹣2x，（2）由（1）得，B（1，﹣1），∵A（﹣1，3），∴直線AB解析式為y＝﹣2x+1，AB＝2，設點Q（m，0），P（n，n2﹣2n）∵以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，①當AB為對角線時，根據(jù)中點坐標公式得，則有，解得或，∴P（1+，2）和（1﹣，2）②當AB為邊時，根據(jù)中點坐標公式得解得或∴P（1+，4）或（1﹣，4）．故答案為P（1+，2）或（1﹣，2）或P（1+，4）或（1﹣，4）．2．（2018春?吳中區(qū)期中）如圖1，已知直線y＝2x分別與雙曲線y＝，y＝交于第一象限內P，Q兩點，且OQ＝PQ．（1）則P點坐標是（2，4）；k＝2．（2）如圖2，若點A是雙曲線y＝在第一象限圖象上的動點，AB∥x軸，AC∥y軸，分別交雙曲線y＝于點B，C；①連接BC，請你探索在點A運動過程中，△ABC的面積是否變化，若不變，請求出△ABC的面積；若改變，請說明理由；②若點D是直線y＝2x上的一點，請你進一步探索在點A運動過程中，以點A，B，C，D為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時點A的坐標；若不能，請說明理由．【解析】（1）過點Q作QE⊥x軸，垂足為E，過點P作PF⊥x軸，垂足為F，如圖1，聯(lián)立，解得：或．∵x＞0，∴點P的坐標為（2，4）．∴OF＝2，PF＝4．∵QE⊥x軸，PF⊥x軸，∴QE∥PF．∴△OEQ∽△OFP．∴＝＝．∵OQ＝PQ∴OF＝2OE＝2，PF＝2EQ＝4．∴OE＝1，EQ＝2．∴點Q的坐標為（1，2）．∵點Q（1，2）在雙曲線y＝上，∴k＝1×2＝2．∴k的值為2．故答案為（2，4），2．（2）①如圖2，設點A的坐標為（a，b），∵點A（a，b）在雙曲線y＝上，∴b＝．∵AB∥x軸，AC∥y軸，∴xC＝xA＝a，yB＝y(tǒng)A＝b＝．∵點B、C在雙曲線y＝上，∴xB＝＝，yC＝．∴點B的坐標為（，），點C的坐標為（a，）．∴AB＝a﹣＝，AC＝﹣＝．∴S△ABC＝?AB?AC＝××＝．∴在點A運動過程中，△ABC的面積不變，始終等于．②當AC為平行四邊形的一邊，Ⅰ．當點B在點Q的右邊時，如圖3，∵四邊形ACBD是平行四邊形，∴AC∥BD，AC＝BD．∴xD＝xB＝．∴yD＝2xD＝．∴DB＝﹣．∵AC＝﹣＝，∴＝﹣．解得：a＝±2．經(jīng)檢驗：a＝±2是該方程的解．∵a＞0，∴a＝2．∴b＝＝．∴點A的坐標為（2，）．Ⅱ．當點B在點Q的左邊且點C在點Q的右邊時，如圖4，∵四邊形ACDB是平行四邊形，∴AC∥BD，AC＝BD．∴xD＝xB＝a．∴yD＝2xD＝．∴DB＝﹣．∵AC＝，∴＝﹣，解得：a＝±2．經(jīng)檢驗：a＝±2是該方程的解．∵a＞0，∴a＝2．∴b＝＝4．∴點A的坐標為（2，4）．當AC為平行四邊形的對角線，此時點B、點C都在點Q的左邊，如圖5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴yD＝y(tǒng)C＝．∴xD＝＝．∴CD＝﹣a．∵AB＝a﹣＝，∴＝﹣a．解得：a＝±．經(jīng)檢驗：a＝±是該方程的解．∵a＞0，∴a＝．∴b＝＝4．∴點A的坐標為（，4）．綜上所述：當點A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形時，此時點A的坐標為（2，）或（2，4）或（，4）．3．（2019春?常熟市期中）如圖，平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝﹣在第二象限內的圖象相交于點A，與x軸的負半軸交于點B，與y軸的負半軸交于點C．（1）求∠BCO的度數(shù)；（2）若y軸上一點M的縱坐標是4，且AM＝BM，求點A的坐標；（3）在（2）的條件下，若點P在y軸上，點Q是平面直角坐標系中的一點，當以點A、M、P、Q為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點Q的坐標．【解析】（1）∵一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象交x軸于B，交y軸于C，則B（b，0），C（0，b），∴OB＝OC＝﹣b，∵∠BOC＝90°∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°．（2）如圖1中，作MN⊥AB于N．∵M（0，4），MN⊥AC，直線AC的解析式為y＝﹣x+b，∴直線MN的解析式為y＝x+4，由，解得，∴N（，），∵MA＝MB，MN⊥AB，∴NA＝BN，設A（m，n），則有，解得，∴A（﹣4，b+4），∵點A在y＝﹣上，∴﹣4（b+4）＝﹣4，∴b＝﹣3，∴A（﹣4，1）．（3）如圖2中，由（2）可知A（﹣4，1），M（0，4），∴AM＝＝5，當菱形以AM為邊時，AQ＝AQ′＝5，AQ∥OM，可得Q（﹣4，﹣4），Q′（﹣4，6），當A，Q關于y軸對稱時，也滿足條件，此時Q（4，1）當AM為菱形的對角線時，設P″（0，b），則有（4﹣b）2＝42+（b﹣1）2，∴b＝﹣．∴AQ″＝MP″＝，∴Q″（﹣4，），綜上所述，滿足條件的點Q坐標為（﹣4，﹣4）或（﹣4，6）或（﹣4，）或（4，1）．5．（2013?黔西南州模擬）已知拋物線經(jīng)過點A（2，0），設頂點為P，與X軸的另一交點B．（1）求b的值和點P、點B的坐標；（2）在直線上是否存在點D，使四邊形OPBD為平行四邊形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）∵拋物線y＝x2+bx+6經(jīng)過A（2，0），∴0＝×22+b×2+6，解得b＝﹣4，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+6．∵y＝x2﹣4x+6＝（x2﹣8x）+6＝（x﹣4）2﹣2，∴頂點P的坐標為（4，﹣2），令y＝0，得x2﹣4x+6＝0，解得x1＝2，x2＝6．∴點B的坐標是（6，0）；（2）在直線y＝x上存在點D，使四邊形OPBD為平行四邊形．理由如下：設直線PB的解析式為y＝kx+b，把B（6，0），P（4，﹣2）分別代入，得，解得，∴直線PB的解析式為y＝x﹣6．∵直線OD的解析式為y＝x，∴直線PB∥OD．設直線OP的解析式為y＝mx，把P（4，﹣2）代入，得4m＝﹣2，解得m＝﹣．如果OP∥BD，那么四邊形OPBD為平行四邊形．設直線BD的解析式為y＝﹣x+n，將B（6，0）代入，得0＝﹣3+n，解得n＝3，∴直線BD的解析式為y＝﹣x+3．解方程組，得，∴D點的坐標為（2，2）．5．（2017?宿遷）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），將該拋物線位于x軸上方曲線記作M，將該拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后所得曲線記作N，曲線N交y軸于點C，連接AC、BC．（1）求曲線N所在拋物線相應的函數(shù)表達式；（2）求△ABC外接圓的半徑；（3）點P為曲線M或曲線N上的一動點，點Q為x軸上的一個動點，若以點B，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點Q的坐標．【解析】（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x＝0可得y＝﹣3，又拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折后得到曲線N，∴C（0，3），設曲線N的解析式為y＝ax2+bx+c，把A、B、C的坐標代入可得，解得，∴曲線N所在拋物線相應的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+2x+3；（2）設△ABC外接圓的圓心為M，則點M為線段BC、線段AB垂直平分線的交點，∵B（3，0），C（0，3），∴線段BC的垂直平分線的解析式為y＝x，又線段AB的垂直平分線為曲線N的對稱軸，即x＝1，∴M（1，1），∴MB＝＝，即△ABC外接圓的半徑為；（3）設Q（t，0），則BQ＝|t﹣3|①當BC為平行四邊形的邊時，如圖1，則有BQ∥PC，∴P點縱坐標為3，即過C點與x軸平行的直線與曲線M和曲線N的交點即為點P，x軸上對應的即為點Q，當點P在曲線M上時，在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝3可解得x＝1+或x＝1﹣，∴PC＝1+或PC＝﹣1，當x＝1+時，可知點Q在點B的右側，可得BQ＝t﹣3，∴t﹣3＝1+，解得t＝4+，當x＝1﹣時，可知點Q在點B的左側，可得BQ＝3﹣t，∴3﹣t＝﹣1，解得t＝4﹣，∴Q點坐標為（4+，0）或（4﹣，0）；當點P在曲線N上時，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝3可求得x＝0（舍去）或x＝2，∴PC＝2，此時Q點在B點的右側，則BQ＝t﹣3，∴t﹣3＝2，解得t＝5，∴Q點坐標為（5，0）；②當BC為平行四邊形的對角線時，∵B（3，0），C（0，3），∴線段BC的中點為（，），設P（x，y），∴x+t＝3，y+0＝3，解得x＝3﹣t，y＝3，∴P（3﹣t，3），當點P在曲線M上時，則有3＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴Q點坐標為（2+，0）或（2﹣，0）；當點P在曲線N上時，則有3＝﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3，解得t＝3（Q、B重合，舍去）或t＝1，∴Q點坐標為（1，0）；綜上Q點坐標為（4+，0）或（4﹣，0）或（5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．6．（2020?山西模擬）綜合與探究．如圖1，拋物線y＝x2﹣x﹣2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線交y軸于點E（0，2）．（1）求A，B，C三點的坐標及直線BE的解析式．（2）如圖2，過點A作BE的平行線交拋物線于點D，點P是拋物線上位于線段AD下方的一個動點，連接PA，PD，求OAPD面積的最大值．（3）若（2）中的點P為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使得以A，D，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）令y＝0，則x2﹣x﹣2＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，則y＝﹣2，∴C（0，﹣2），設直線BE的解析式為y＝kx+b，將B（4，0）、E（0，2）代入得，，解得：，∴y＝﹣x+2；（2）由題意可設AD的解析式為y＝﹣x+m，將A（﹣1，0）代入，得到m＝﹣，∴y＝﹣x﹣，聯(lián)立，解得：，，∴D（3，﹣2），過點P作PF⊥x軸于點F，交AD于點N，過點D作DG⊥x軸于點G．∴S△APD＝S△APN+S△DPN＝PN?AF+PN?FG＝PN（AF+FG）＝PN?AG＝×4PN＝2PN，設P（a，﹣a2﹣a﹣2），則N（a，﹣a﹣），∴PN＝﹣a2+a+，∴S△APD＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4，∵﹣1＜0，﹣1＜a＜3，∴當a＝1時，△APD的面積最大，最大值為4；（3）存在；①當PD與AQ為平行四邊形的對邊時，∵AQ∥PD，AQ在x軸上，∴P（0，﹣2），∴PD＝3，∴AQ＝3，∵A（﹣1，0），∴Q（2，0）或Q（﹣4，0）；②當PD與AQ為平行四邊形的對角線時，PD與AQ的中點在x軸上，∴P點的縱坐標為2，∴P（，2）或P（，2），∴PD的中點為（，0）或（，0），∵Q點與A點關于PD的中點對稱，∴Q（，0）或Q（，0）；綜上所述：點Q的坐標為（2，0）或（﹣4，0）或（，0）或（，0）．7．（2016?南充）如圖，拋物線與x軸交于點A（﹣5，0）和點B（3，0）．與y軸交于點C（0，5）．有一寬度為1，長度足夠的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和Q，交直線AC于點M和N．交x軸于點E和F．（1）求拋物線的解析式；（2）當點M和N都在線段AC上時，連接MF，如果sin∠AMF＝，求點Q的坐標；（3）在矩形的平移過程中，當以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點M的坐標．【解析】（1）∵拋物線與x軸交于點A（﹣5，0），B（3，0），∴可以假設拋物線為y＝a（x+5）（x﹣3），把點（0，5）代入得到a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+5．（2）