熱學中的三個命題熱點（選修3-3）專題十七命題點(一)兩類常見模型模型1

“汽缸＋活塞”模型[例1]

(2022·全國乙卷)如圖，一豎直放置的汽缸由兩個粗細不同的圓柱形筒組成，汽缸中活塞Ⅰ和活塞Ⅱ之間封閉有一定量的理想氣體，兩活塞用一輕質(zhì)彈簧連接，汽缸連接處有小卡銷，活塞Ⅱ不能通過連接處。活塞Ⅰ、Ⅱ的質(zhì)量分別為2m、m，面積分別為2S、S，彈簧原長為l。初始時系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，此時彈簧的伸長量為0.1l，活塞Ⅰ、Ⅱ到汽缸連接處的距離相等，兩活塞間氣體的溫度為T0。已知活塞外大氣壓強為p0，忽略活塞與缸壁間的摩擦，汽缸無漏氣，不計彈簧的體積。(1)求彈簧的勁度系數(shù)；(2)緩慢加熱兩活塞間的氣體，求當活塞Ⅱ剛運動到汽缸連接處時，活塞間氣體的壓強和溫度。[例2]

(2023·湖北高考)如圖所示，豎直放置在水平桌面上的左右兩汽缸粗細均勻，內(nèi)壁光滑，橫截面積分別為S、2S，由體積可忽略的細管在底部連通。兩汽缸中各有一輕質(zhì)活塞將一定質(zhì)量的理想氣體封閉，左側(cè)汽缸底部與活塞用輕質(zhì)細彈簧相連。初始時，兩汽缸內(nèi)封閉氣柱的高度均為H，彈簧長度恰好為原長?，F(xiàn)往右側(cè)活塞上表面緩慢添加一定質(zhì)量的沙子，[思維建模](1)建模要素：汽缸、活塞和一定質(zhì)量的封閉氣體。(2)模型解法：[例2]

(2023·全國乙卷)如圖，豎直放置的封閉玻璃管由管徑不同、長度均為20cm的A、B兩段細管組成，A管的內(nèi)徑是B管的2倍，B管在上方。管內(nèi)空氣被一段水銀柱隔開，水銀柱在兩管中的長度均為10cm?，F(xiàn)將玻璃管倒置使A管在上方，平衡后，A管內(nèi)的空氣柱長度改變1cm。求B管在上方時，玻璃管內(nèi)兩部分氣體的壓強。(氣體溫度保持不變，以cmHg為壓強單位)模型2

“玻璃管＋液柱”模型由玻意耳定律，對A中氣體：pA1VA1＝pA2VA2對B中氣體：pB1VB1＝pB2VB2代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：pB1＝54.36cmHgpB2＝90.6cmHgpA1＝74.36cmHgpA2＝67.6cmHg。[答案]

A管氣體壓強為74.36cmHg

B管氣體壓強為54.36cmHg[思維建模](1)建模要素：液柱、玻璃管和一定質(zhì)量的封閉氣體。(2)模型解法：1.如圖所示，粗細均勻、兩端封閉的玻璃管內(nèi)，長為h的水銀柱將內(nèi)部的理想氣體分隔成A、B兩段，當玻璃管豎直靜止時，A、B的長度分別為L、2L，且A的壓強等于2ρgh(ρ為水銀的密度、g為重力加速度)。現(xiàn)使玻璃管保持如圖的豎直狀態(tài)以某一加速度a做豎直向上的勻加速運動，穩(wěn)定后，A、B的長度相等，求這個加速度a的大小。已知運動前后管內(nèi)各處溫度相等且不變。[考法全訓]解析：設玻璃管的橫截面積為S，由題述可知，溫度不變，A、B段氣體的狀態(tài)變化分別為A：由pA＝2ρgh，VA＝LS，變化為pA′，VA′＝1.5LSB：由pB＝pA＋ρgh＝3ρgh，VB＝2LS，變化為pB′，VB′＝1.5LS