中考數(shù)學(xué)幾何模型12：主從聯(lián)動模型名師點睛①當(dāng)軌跡為直線時思考1如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌跡是？揭秘：將點P看成主動點，點Q看成從動點，當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線，且Q點運動路徑長為P點運動路徑長的一半．思考2如圖，點C為定點，點P、Q為動點，CP=CQ，且∠PCQ為定值，當(dāng)點P在直線AB上運動，請?zhí)骄奎cQ的運動軌跡.揭秘：當(dāng)CP與CQ夾角固定，且AP=AQ時，P、Q軌跡是同一種圖形，且PP1=QQ1．可以這樣理解：易知△CPP1≌△CPP1，則∠CPP1=CQQ1，故可知Q點軌跡為一條直線.思考3如圖，點C為定點，點P是直線AB上的一動點，以CP為斜邊作Rt△CPQ，且∠P=30°，當(dāng)點P在直線AB上運動，請?zhí)骄奎cQ的運動軌跡.揭秘：條件CP與CQ夾角固定時，P、Q軌跡是同一種圖形，且有．可以這樣理解：由CPQ∽△CP1Q1，易得△CPP1≌△CPP1，則∠CPP1=CQQ1，故可知Q點軌跡為一條直線.;SHAPE;軌跡是直線軌跡是直線總結(jié)條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量；主動點、從動點到定點的距離之比是定量．結(jié)論：①主動點、從動點的運動軌跡是同樣的圖形；②主動點路徑做在直線與從動點路徑所在直線的夾角等于定角③當(dāng)主動點、從動點到定點的距離相等時，從動點的運動路徑長等于主動點的運動路徑長；④當(dāng)主動點、從動點到定點的距離不相等時，.典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，在等邊△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，點P從點E出發(fā)沿EA方向運動，連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊△DPF，當(dāng)點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長是________．變式練習(xí)>>>1．如圖，在平面直角坐標系中，A（-3,0），點B是y軸正半軸上一動點，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值．例題2.如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．變式練習(xí)>>>2．（2017秋?江漢區(qū)校級月考）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點E在AB上，點D為BC的中點，△EDM為等邊三角形．若點E從點B運動到點A，則M點所經(jīng)歷的路徑長為．例3.如圖，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y=-x于點N，若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當(dāng)點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是________．變式練習(xí)>>>3．（2019?東臺市模擬）如圖，平面直角坐標系中，點A（0，﹣2），B（﹣1，0），C（﹣5，0），點D從點B出發(fā)，沿x軸負方向運動到點C，E為AD上方一點，若在運動過程中始終保持△AED～△AOB，則點E運動的路徑長為．名師點睛②當(dāng)軌跡為弧線時思考1：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？揭秘：Q點軌跡是一個圓，考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，．小結(jié)：確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，由Q為AP中點可得：AM=1/2AO．Q點軌跡相當(dāng)于是P點軌跡成比例縮放．根據(jù)動點之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系；根據(jù)動點之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．SHAPE軌跡是圓軌跡是圓思考2：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？揭秘：Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓．接下來確定圓心與半徑．考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．思考3：如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°，且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運動時，Q點軌跡是？揭秘：考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP：AQ=2：1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO：AM=2：1．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．推理：（1）如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為一邊作等邊△APQ．當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是和圓O全等的一個圓.（2）如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角△APQ．當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡為按AP：AQ=AO：AM=：1的比例縮放的一個圓.總結(jié)：為了便于區(qū)分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”．此類問題的必要條件：兩個定量，即：①主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；②主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP：AQ是定值）．結(jié)論：（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點距離之比：AP：AQ=AO：AM，也等于兩圓半徑之比，也等于兩動點運動軌跡長之比，按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮．古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．典題探究啟迪思維探究重點例題4.如圖，點P（3，4），圓P半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_______．變式練習(xí)>>>4．如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當(dāng)點P從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為________．例題5.如圖，正方形ABCD中，，O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值．變式練習(xí)>>>5．△ABC中，AB=4，AC=2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點O，則線段AO的最大值為_____________．名師點睛③當(dāng)軌跡為其他種類時根據(jù)剛才我們的探究，所謂“瓜豆原理”，就是主動點的軌跡與從動點的軌跡是相似性，根據(jù)主、從動點與定點連線形成的夾角以及主、從動點到定點的距離之比，可確定從動點的軌跡，而當(dāng)主動點軌跡是其他圖形時，從動點軌跡必然也是．典題探究啟迪思維探究重點例題6.如圖，在反比例函數(shù)的圖像上有一個動點A，連接AO并延長交圖像的另一支于點B，在第一象限內(nèi)有一點C，滿足AC=BC，當(dāng)點A運動時，點C始終在函數(shù)的圖像上運動，若tan∠CAB=2，則k的值為（）A．2 B．4 C．6 D．8變式練習(xí)>>>6．（2017?深圳模擬）如圖，反比例函數(shù)y＝的圖象上有一動點A，連接AO并延長交圖象的另一支于點B，在第二象限內(nèi)有一點C，滿足AC＝BC，當(dāng)點A運動時，點C始終在函數(shù)y＝的圖象上運動，tan∠CAB＝2，則關(guān)于x的方程x2﹣5x+k＝0的解為．例題7.如圖，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），點P是△ABC邊上一動點，連接OP，以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作等腰直角△OPQ，當(dāng)點P在△ABC邊上運動一周時，點Q的軌跡形成的封閉圖形面積為________．變式練習(xí)>>>7．（2017春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，△ABC的面積為9，點P在△ABC的邊上運動．作點P關(guān)于原點O的對稱點Q，再以PQ為邊作等邊△PQM．當(dāng)點P在△ABC的邊上運動一周時，點M隨之運動所形成的圖形面積為（）A．3 B．9 C．27 D．例題8.如圖所示，AB=4，AC=2，以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD，連接AD并延長至點P，使AD=PD，則PB的取值范圍為___________．變式練習(xí)>>>8．（2018秋?新吳區(qū)期末）如圖已知：正方形OCAB，A（2，2），Q（5，7），AB⊥y軸，AC⊥x軸，OA，BC交于點P，若正方形OCAB以O(shè)為位似中心在第一象限內(nèi)放大，點P隨正方形一起運動，當(dāng)PQ達到最小值時停止運動．以PQ的長為邊長，向PQ的右側(cè)作等邊△PQD，求在這個位似變化過程中，D點運動的路徑長（）A．5 B．6 C．2 D．4例題9.（2019秋?硚口區(qū)期中）如圖，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在一個平面上，邊AC與EF重合，BC＝4cm．當(dāng)點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動，當(dāng)點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長為cm．變式練習(xí)>>>9．（2018?金華模擬）如圖，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜邊在x軸的正半軸上，點A與原點重合，隨著頂點A由O點出發(fā)沿y軸的正半軸方向滑動，點B也沿著x軸向點O滑動，直到與點O重合時運動結(jié)束．在這個運動過程中．（1）AB中點P經(jīng)過的路徑長．（2）點C運動的路徑長是．達標檢測領(lǐng)悟提升強化落實1.（2018秋?黃岡期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，線段BC上一動點P從C點開始運動，到B點停止，以AP為邊在AC的右側(cè)作等邊△APQ，則Q點運動的路徑為cm．2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，點F是對角線AC上的一個動點，連接DF，以DF為斜邊作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使點E和點A位于DF兩側(cè)，點F從點A到點C的運動過程中，點E的運動路徑長是．3．（2019?銅山區(qū)二模）如圖，已知點M（0，4），N（4，0），開始時，△ABC的三個頂點A、B、C分別與點M、N、O重合，點A在y軸上從點M開始向點O滑動，到達點O結(jié)束運動，同時點B沿著x軸向右滑動，則在此運動過程中，點C的運動路徑長．3．（2018?寶應(yīng)縣三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，若P是以AB為直徑所作半圓上由A沿著半圓向B運動的一點，連接CP，過P向下作PM⊥CP，且有PM＝0.5CP，如圖示，求點P運動過程中，點M的運動路徑長是．4．如圖，已知線段AB＝8，O為AB的中點，P是平面內(nèi)的一個動點，在運動過程中保持OP＝2不變，連結(jié)BP，將PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°到PC，連結(jié)BC、AC，則線段AC長的最大值是．5．（2017?江陰市二模）如圖，線段AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AB＝4，BC＝2，點P是⊙O上一動點，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，連接OD，則OD長的最大值為．6．（2018?建湖縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，A（4，0）、B（0，﹣3），以點B為圓心、2為半徑的⊙B上有一動點P．連接AP，若點C為AP的中點，連接OC，則OC的最小值為．7．（2016?江岸區(qū)校級模擬）如圖，線段AB＝2，C是AB上一動點，以AC、BC為邊在AB同側(cè)作正△ACE、正△BCF，連EF，點P為EF的中點．當(dāng)點C從A運動到B時，P點運動路徑長為．8．（2019秋?江岸區(qū)校級月考）如圖，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分別是AB，BC上的動點，且PQ＝AD，點M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，當(dāng)P從點A運動到點B時，M運動的路徑長為．9．如圖，點P（t，0）（