單元復(fù)盤提升思維導(dǎo)圖知識串講

能夠完全重合的兩個圖形叫全等圖形，能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角.一、全等三角形的性質(zhì)BCEF如圖，若△ABC≌△DEF，則其中點(diǎn)

A和

，點(diǎn)

B和

，點(diǎn)

C和

是對應(yīng)頂點(diǎn)；AB和

，BC和

，AC和

是對應(yīng)邊；∠A和

，∠B和

，∠C和

是對應(yīng)角.AD點(diǎn)

D點(diǎn)

E點(diǎn)

FDEEFDF∠D∠E∠F知識串講ABCDEF性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.如圖，∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF(

)，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F(

).全等三角形的對應(yīng)邊相等全等三角形的對應(yīng)角相等應(yīng)用格式：知識串講二、三角形全等的判定方法知識串講二、三角形全等的判定方法知識串講二、三角形全等的判定方法知識串講二、三角形全等的判定方法知識串講二、三角形全等的判定方法知識串講三、角平分線的性質(zhì)與判定考點(diǎn)梳理考點(diǎn)一：全等三角形的性質(zhì)例1已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面積為18cm2，求EF邊上的高.

解：∵△ABC≌△DEF，

∴△ABC的面積等于△DEF的面積.

∵EF=6cm，△DEF的面積為18cm2，

∴EF邊上的高為6cm.

考點(diǎn)梳理考點(diǎn)一：全等三角形的性質(zhì)例2解：（1）∠BAE=∠CAD，理由如下：∵△ABD≌△ACE，

∴∠BAD=∠CAE.∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE.∴∠BAE=∠CAD.

如圖，已知△ABD≌△ACE，點(diǎn)B、D、E、C在同一條直線上.（1）∠BAE和∠CAD有什么關(guān)系？說明理由；（2）BE與CD相等嗎？請說明理由.

BDECA（2）BE=CD，理由如下：∵△ABD≌△ACE，

∴BD=CE.∵BE=BD+DE，CD=CE+DE，∴BD+DE=CE+DE.∴BE=CD.刻意練習(xí)練1在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，△MNC≌△BAC，則∠BCN=（）A.10°

B.20°

C.50°

D.80°

B解：設(shè)

∠A為3x，∠ABC為5x，∠ACB

為10x.由三角形內(nèi)角和得：3x+5x+10x=180°

，解得x=10°.則

∠A=30°

，∠ABC=50°

，∠ACB=100°.∵△MNC≌△BAC，

∴∠M=∠ABC=50°

，∠N=∠A=30°

，∠ACN=∠M+∠N=80°

，∠BCN=∠ACB-∠ACN=20°.ANMCB刻意練習(xí)練2解：∵∠ACB=105°，∠B=50°，∴∠CAB=180°-∠B-∠ACB=25°.

∵

△ABC≌△ADE，

∴∠EAD=∠CAB=25°.

又∵∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD=10°，

∴∠AEB=180°-∠EAB-∠B=70°.

∴∠DEF=∠AED-∠AEB=35°.如圖，已知△ABC≌△ADE，BC的延長線過點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF的度數(shù).ACEDFB考點(diǎn)梳理考點(diǎn)二：全等三角形的判定綜合例3如圖,O是線段AB和線段CD的中點(diǎn)．求證：(1)△AOD≌△BOC；(2)AD∥BC．考點(diǎn)梳理考點(diǎn)二：全等三角形的判定綜合例4如圖,在△ABC和△DEF中,點(diǎn)B,E,C,F在同一直線上,下面有四個條件,請你從中選三個作為題設(shè),余下的一個作為結(jié)論,寫出一個正確的命題,并加以證明.①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF.考點(diǎn)梳理考點(diǎn)二：全等三角形的判定綜合例4條件結(jié)論是否正確依據(jù)②③④①不正確由“SSA”不能得出△ABC與△DEF全等①③④②正確由“SAS”得△ABC≌△DEF①②④③正確由“SSS”得△ABC≌△DEF①②③④不正確由“SSA”不能得出△ABC與△DEF全等考點(diǎn)梳理考點(diǎn)二：全等三角形的判定綜合例5如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于點(diǎn)

G，交

AB于點(diǎn)

E，EF∥BC交

AC于點(diǎn)

F.求證：∠DEC=∠FEC.ABCDFEG證明：∵

CE⊥AD，∴∠AGE=∠AGC=90°.在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGC，AG=AG，∠EAG=∠CAG，∵

AD平分∠BAC，∴∠EAG=∠CAG.∴△AGE≌△AGC(ASA).∴

GE=GC.考點(diǎn)梳理考點(diǎn)二：全等三角形的判定綜合例5在△DGE和△DGC中，EG=CG，∠EGD=∠CGD，DG=DG，∴△DGE≌△DGC(SAS).∴∠DEG=∠DCG.∵

EF∥BC，∴∠FEC=∠DCG.∴∠DEG=∠FEC.ABCDFEG考點(diǎn)梳理考點(diǎn)二：全等三角形的判定綜合例6如圖，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=8，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上以每秒3個單位長度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，同時點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A以每秒a個單位長度的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒.（1）求CP的長（用含有t的式子表示）；CABQDP解：（1）由題意得：BP=3t.∵BC=8，

∴CP=BC-BP=8-3t.考點(diǎn)梳理考點(diǎn)二：全等三角形的判定綜合例6（2）若以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)B、D、P為頂點(diǎn)的三角形全等，且∠B和∠C是對應(yīng)角，求a和t的值.CABQDP解：（2）①若△BDP≌△CPQ，∵AB=10，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD=5.

根據(jù)題意：BP=3t，CP=8-3t，CQ=at.∵△BDP≌△CPQ，

∴BD=CP，BP=CQ，∴5=8-3t，3t=at，解得t=1，a=3.

②若△BDP≌△CQP，∵AB=10，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

∴BD=5.根據(jù)題意：BP=3t，CP=8-3t，CQ=at.∵△BDP≌△CQP，

∴BP=CP，BD=CQ.∴3t=8-3t，5=at，解得t=4/3，a=15/4.刻意練習(xí)練3如圖,點(diǎn)C,F,E,B在一條直線上,∠CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE.寫出CD與AB之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論．刻意練習(xí)練4如圖,在△ACD和△ABE中,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC上.下面四個條件中,請你以其中兩個為題設(shè),一個為結(jié)論,寫出一個真命題(只需寫出一種情況),并證明.①AE=AD；②AB=AC；③OB=OC；④∠B=∠C.刻意練習(xí)練5如圖,AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上兩點(diǎn),CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,則AD的長為().A．a(chǎn)+c B．b+cC．a(chǎn)-b+c D．a(chǎn)+b-cD分析∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C.又∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,BF=DE=b.∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.故選D.刻意練習(xí)練6如圖,已知AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC．求證：∠C=∠E.考點(diǎn)梳理考點(diǎn)三：利用全等三角形解決實(shí)際問題例7如圖所示,小強(qiáng)在河的一岸,要測量河面一只船B與對岸碼頭A的距離,他的做法如下：①在岸邊確定一點(diǎn)C,使C與A,B在同一直線上；②在與AC垂直的方向畫線段CD,取其中點(diǎn)O；③畫DF⊥CD,使F,O,A在同一直線上；④在線段DF上找到一點(diǎn)E,使E與O,B共線.他說測出線段FE的長就是船B與碼頭A的距離.他這樣做有道理嗎？為什么？考點(diǎn)梳理考點(diǎn)三：利用全等三角形解決實(shí)際問題例7解：小強(qiáng)這樣做有道理.理由：∵AC⊥CD,DF⊥CD,∴∠C=∠D=90°.又∵OC=OD,∠AOC=∠FOD(對頂角相等),∴△ACO≌△FDO(ASA),∴OA=OF,∠A=∠F(全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等).又∵∠AOB=∠FOE(對頂角相等),∴△AOB≌△FOE(ASA),∴AB=FE(全等三角形的對應(yīng)邊相等),∴線段FE的長就是船B與碼頭A的距離.刻意練習(xí)練7解：∵△AEF是由△AED沿直線AE折疊而成,∴△ADE≌△AFE,∴∠DAE=∠FAE.∵∠BAF=56°,∠BAD=90°,∴∠DAF=90°-∠BAF=90°-56°=34°,∴∠DAE=∠DAF=×34°=17°.如圖,將長方形紙片ABCD沿AE折疊,使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處.若∠BAF=56°,求∠DAE的度數(shù).考點(diǎn)梳理考點(diǎn)四：角平分線的性質(zhì)與判定例8如圖,∠B=∠C=90°,E是BC的中點(diǎn),DE平分∠ADC.求證：AD=AB+CD.刻意練習(xí)練8如圖,∠B=∠C=90°,E是BC的中點(diǎn),DE平分∠ADC,∠