2023/12/11隨機(jī)信號(hào)通過(guò)非線性系統(tǒng)的分析2023/12/12內(nèi)容安排無(wú)惰性非線性系統(tǒng)輸出概率密度的計(jì)算

12非線性系統(tǒng)輸出統(tǒng)計(jì)特性的各種計(jì)算方法

2023/12/131.1

非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)相比，非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)：（1）疊加原理已不適用，故當(dāng)信號(hào)之和共同通過(guò)非線性系統(tǒng)時(shí)，不能像線性系統(tǒng)那樣將它們分開(kāi)研究；（2）會(huì)在輸出端產(chǎn)生輸入信號(hào)中不含有的新頻率分量；（3）一般不能得到閉合形式解，分析方法一般不通用2023/12/11.1

非線性系統(tǒng)常用的非線性系統(tǒng)(1)

理想雙向限幅器(2)

平方律檢波器(3)

全波線性檢波器(4)

半波線性檢波器2023/12/15無(wú)惰性非線性系統(tǒng)輸出概率密度的計(jì)算

非線性系統(tǒng)無(wú)惰性(無(wú)記憶)有惰性(有記憶)在某一給定時(shí)刻，非線性系統(tǒng)的輸出y(t)只取決于同一時(shí)刻的輸入x(t),而與x(t)的過(guò)去或未來(lái)值無(wú)關(guān)。惰性非線性系統(tǒng)可以看成無(wú)惰性的和線性系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。

1.1非線性系統(tǒng)2023/12/161.2非線性系統(tǒng)輸出概率密度的計(jì)算非線性系統(tǒng)的傳輸特性一維概率密度的求解步驟：輸入信號(hào)的概率密度非線性系統(tǒng)輸出的概率密度(1)寫(xiě)出輸入隨機(jī)信號(hào)的一維概率密度函數(shù)；(2)寫(xiě)出非線性系統(tǒng)的傳輸特性，并求其反函數(shù)；2023/12/171.2非線性系統(tǒng)輸出概率密度的計(jì)算(3)根據(jù)反函數(shù)求雅可比因子；(4)寫(xiě)出非線性系統(tǒng)輸出的一維概率密度。單值多值表示t時(shí)刻一個(gè)y值對(duì)應(yīng)n個(gè)x值中的第i個(gè)值

2023/12/181.2非線性系統(tǒng)輸出概率密度的計(jì)算二維概率密度的求解步驟：(1)寫(xiě)出輸入隨機(jī)信號(hào)的二維概率密度函數(shù)；(2)寫(xiě)出非線性系統(tǒng)的傳輸特性，并求其反函數(shù)；2023/12/191.2非線性系統(tǒng)輸出概率密度的計(jì)算(3)根據(jù)反函數(shù)求雅可比因子；(4)寫(xiě)出非線性系統(tǒng)輸出的二維概率密度單值2023/12/1102

非線性系統(tǒng)輸出統(tǒng)計(jì)特性的計(jì)算方法均值，方差相關(guān)函數(shù)平均功率功率譜密度統(tǒng)計(jì)特性計(jì)算方法直接法特征函數(shù)法多項(xiàng)式變換的矩函數(shù)法包線法2023/12/1112.1

直接法(1)寫(xiě)出非線性系統(tǒng)的傳輸特性和輸入隨機(jī)信號(hào)的一維概率密度或二維概率密度;(2)計(jì)算非線性系統(tǒng)輸出的均值;(3)計(jì)算非線性系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù);2023/12/1122.1

直接法(4)計(jì)算非線性系統(tǒng)輸出的平均功率;(5)計(jì)算非線性系統(tǒng)輸出的功率譜密度;自相關(guān)函數(shù)作傅里葉變換概率密度函數(shù)表達(dá)式和非線性系統(tǒng)的傳輸特性都比較簡(jiǎn)單

2023/12/1132.1

直接法若輸入X(t)是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程，非線性系統(tǒng)輸出？？至少是寬平穩(wěn)過(guò)程!平方律檢波器的傳輸特性為，其中b是常數(shù)。平方律檢波器設(shè)檢波器輸入端作用的是一個(gè)零均值的正態(tài)噪聲，因此令n＝1和

n＝2，得到

由于方差為的正態(tài)隨機(jī)變量X的各階矩為：正態(tài)噪聲作用于平方律檢波器輸出相關(guān)函數(shù)輸出功率譜密度設(shè)平方律檢波器輸入端的隨機(jī)信號(hào)是噪聲的均值為零，信號(hào)和噪聲彼此不相關(guān)，平方律檢波器輸出的自相關(guān)函數(shù)是當(dāng)輸入是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程時(shí)，

信號(hào)和噪聲同時(shí)作用于平方律檢波器

平方律檢波器輸出端的功率譜密度為在例1.假設(shè)輸入是等幅正弦信號(hào)是常數(shù)，，式中,之間均勻分布的隨機(jī)變量．輸入噪聲為零均值的平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，信號(hào)與噪聲彼此不相關(guān)。試計(jì)算平方律檢波器輸出信號(hào)的均值、方差、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。解：輸入信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)

輸入信號(hào)平方的自相關(guān)函數(shù)

輸入噪聲平方的相關(guān)函數(shù)為：

輸出信號(hào)的相關(guān)函數(shù)為

時(shí)，求得的自相關(guān)函數(shù)便是輸出的均方值，即2023/12/1222.2特征函數(shù)法利用特征函數(shù)法求解輸出自相關(guān)函數(shù)

寫(xiě)出非線性系統(tǒng)的傳輸特性，并求出其傅立葉變換或雙邊拉普拉斯變換（轉(zhuǎn)移函數(shù)）在變換域上分析隨機(jī)信號(hào)通過(guò)非線性系統(tǒng)2023/12/1232.2特征函數(shù)法(2)計(jì)算輸入隨機(jī)信號(hào)的二維特征函數(shù)

(3)計(jì)算輸出的自相關(guān)函數(shù)

2023/12/1242.2特征函數(shù)法(4)計(jì)算非線性系統(tǒng)輸出的功率譜密度;自相關(guān)函數(shù)作傅里葉變換這種方法可以在一定程度上解決直接法遇到的計(jì)算積分的困難，類似于把“時(shí)域”中難處理的問(wèn)題變換到“頻域”里來(lái)處理。但當(dāng)特征函數(shù)較復(fù)雜時(shí)，仍然會(huì)產(chǎn)生求解積分的困難。2023/12/1252.2特征函數(shù)法普賴斯(Price)定理普賴斯利用特征函數(shù)法證明，當(dāng)輸入為高斯過(guò)程時(shí)，輸出的自相關(guān)函數(shù)可以通過(guò)系統(tǒng)傳輸特性，和輸入的二維概率密度函數(shù)聯(lián)系起來(lái)設(shè)輸入為零均值、單位方差，平穩(wěn)高斯過(guò)程，系統(tǒng)的輸出為2023/12/1262.3多項(xiàng)式變換的矩函數(shù)法伏特拉(Voterra)級(jí)數(shù) 前面把一般非線性系統(tǒng)分成無(wú)記憶和線性的級(jí)聯(lián)，這里直接研究無(wú)記憶非線性系統(tǒng)，連續(xù)函數(shù)X(t)作用于非線性系統(tǒng)的輸出表示為：式中k0,k1稱為Volterra核函數(shù),具有以下性質(zhì) (1)因果律，當(dāng)任一時(shí)， (2)自變量可以交換2023/12/127將非線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)展開(kāi)成級(jí)數(shù)（即多項(xiàng)式），使系統(tǒng)輸出y(t)的矩函數(shù)能用輸入隨機(jī)信號(hào)的各階導(dǎo)數(shù)的線性組合來(lái)表示，它是伏特拉級(jí)數(shù)的特殊情況，只需令求系統(tǒng)輸出均值和自相關(guān)函數(shù)步驟(1)若非線性系統(tǒng)的傳輸特性g(x)在0處各階導(dǎo)數(shù)存在，則將其按馬克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)為2.3多項(xiàng)式變換的矩函數(shù)法

2023/12/128(2)計(jì)算輸入k階原點(diǎn)距，則輸出均值為2.3多項(xiàng)式變換的矩函數(shù)法

2023/12/129(3)計(jì)算輸入各階聯(lián)合原點(diǎn)距

則輸出自相關(guān)函數(shù)為(4)求輸出自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換得輸出功率譜密度

2.3多項(xiàng)式變換的矩函數(shù)法

2023/12/130非線性系統(tǒng)輸出端的統(tǒng)計(jì)特性可以用輸入隨機(jī)信號(hào)各階矩函數(shù)的線性組合來(lái)表示。缺點(diǎn)：當(dāng)展開(kāi)式中項(xiàng)數(shù)超過(guò)三項(xiàng)時(shí)，計(jì)算就顯得十分復(fù)雜。

2.3多項(xiàng)式變換的矩函數(shù)法

2023/12/1312.4

包線法若非線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)窄帶隨機(jī)過(guò)程，則采用包線法求解該系統(tǒng)輸出的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)，因?yàn)樵跈z波器輸出端，我們關(guān)心的只是低頻分量(1)寫(xiě)出輸入窄帶隨機(jī)過(guò)程的表達(dá)式

非線性系統(tǒng)輸出表達(dá)式

某一時(shí)刻t

2023/12/1322.4

包線法(2)展成傅立葉級(jí)數(shù)形式

(3)計(jì)算輸出低頻分量的均值

包絡(luò)的一維概率密度

2023/12/1332.4

包線法(4)計(jì)算輸出低頻分量的方差

2023/12/1342.4

包線法(5)計(jì)算輸出的自相關(guān)函數(shù)

包絡(luò)A(t)的二維聯(lián)合概率密度

(6)求輸出自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換得輸出功率譜密度問(wèn)題描述：線性檢波器的特性為，作用在檢波器，在線輸入端窄帶正態(tài)隨機(jī)過(guò)程在t時(shí)刻的狀態(tài)為性檢波器輸出端得求輸出信號(hào)的均值和方差窄帶正態(tài)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性檢波器由于檢波以后，我們關(guān)心的只是隨機(jī)過(guò)程的低頻起伏分量式中

為檢波器輸出端的低頻分量，因此

窄帶正態(tài)噪聲包絡(luò)的一維概率密度為于是可得輸出低頻起伏成分的方差為

平方律檢波器為，作用在檢波器輸入端的，在平方律檢波器隨機(jī)過(guò)程在t時(shí)刻的狀態(tài)為輸出端得問(wèn)題描述：求輸出信號(hào)的均值和方差窄帶正態(tài)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)平方律檢波器相位和幅度彼此獨(dú)立的隨機(jī)變量，可以分別求出由于

所以

故得

檢波器輸出端的統(tǒng)計(jì)平均值因?yàn)樵跈z波器輸出端，我們關(guān)心的只是低頻分量，是二次諧波項(xiàng)，在檢波后濾去了。所以

故得

根據(jù)積分公式檢波器輸出端的方差